《2018高中數(shù)學(xué) 初高中銜接讀本 專題2.2 根與系數(shù)的關(guān)系韋達(dá)定理）高效演練學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018高中數(shù)學(xué) 初高中銜接讀本 專題2.2 根與系數(shù)的關(guān)系韋達(dá)定理）高效演練學(xué)案（7頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第2講 根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）
現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材主要要求學(xué)生掌握一元二次方程的概念、解法及應(yīng)用，而一元二次方程的根的判斷式及根與系數(shù)的關(guān)系，在高中教材中的二次函數(shù)、不等式及解析幾何等章節(jié)有著重要應(yīng)用．本專題將對(duì)一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系等進(jìn)行講述。
【知識(shí)梳理】
一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）
一元二次方程的兩個(gè)根為：
所以：，
定理：如果一元二次方程的兩個(gè)根為，那么：
說(shuō)明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱為”韋達(dá)定理”．上述定理成立的前提是．
【高效演練】
1.若 是一
2、元二次方程 的兩個(gè)根，則的值是( )
A．2 B．－2 C．4 D．－3
【解析】：方程的兩根為，，根據(jù)題意得．故選D．
【答案】D．
2．若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則α2+β2的值為（ ）
A. 5 B. 7 C. 9 D. 10
【解析】∵α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴α+β=2，αβ=﹣3，
∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=22﹣2×（﹣3）=10．故選D．
【答案】D
3．關(guān)于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的
3、兩根同為負(fù)數(shù)，則( )
A. p＞0且q＞0 B. p＞0且q＜0
C. p＜0且q＞0 D. p＜0且q＜0
【解析】試題解析：設(shè)x1，x2是該方程的兩個(gè)負(fù)數(shù)根，則有x1+x2＜0，x1x2＞0，
∵x1+x2=-p，x1x2=q
∴-p＜0，q＞0
∴p＞0，q＞0．故選A．
【答案】A
4.方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，且滿足x1＋x2＝x1x2，則m的值是( )
A. －2或3 B. 3
4、C. －2 D. －3或2
5.規(guī)定：如果關(guān)于x的一元二次方程（a≠0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根是另一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”．現(xiàn)有下列結(jié)論：
①方程是倍根方程；
②若關(guān)于x的方程是倍根方程，則a=±3；
③若關(guān)于x的方程（a≠0）是倍根方程，則拋物線與x軸的公共點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，0）和（4，0）；
④若點(diǎn)（m，n）在反比例函數(shù)的圖象上，則關(guān)于x的方程是倍根方程．
上述結(jié)論中正確的有（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．②④
【解析】
③關(guān)于x的方程（a≠0）是倍根方程，∴x2=2x1，∵
5、拋物線的對(duì)稱軸是直線x=3，∴拋物線與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，0）和（4，0），故③正確；
④∵點(diǎn)（m，n）在反比例函數(shù)的圖象上，∴mn=4，解得x1=﹣，x2=﹣，∴x2=4x1，∴關(guān)于x的方程不是倍根方程；故選C．
【答案】C．
6.已知關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，則=__________.
【解析】∵關(guān)于的方程： 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，
∴，
∴.
【答案】-3
7.若方程的兩實(shí)根為a、b，則的值為_(kāi)______。
【解析】∵方程x2–x–1=0的兩實(shí)根為a、b，
∴a+b=1，ab=–1，
∴．
【答案】-1
8．設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為_(kāi)___
6、___。
【解析】由是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
則且，
又
【答案】2017
9.關(guān)于x的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根之積為負(fù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍
是 ．
10.一元二次方程有兩個(gè)實(shí)根，一個(gè)比3大，一個(gè)比3小，的取值范圍為_(kāi)______。
【解析】解一：由 解得：
解二：設(shè)，則如圖所示，只須，解得
【答案】
11．若關(guān)于x的一元二次方程x2–4x+k–3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1、x2，且滿足x1=3x2，試求出方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根及k的值．
【解析】由根與系數(shù)的關(guān)系，得
x1+x2=4①，x1x2=k–3②
又∵x1=3x2③，
聯(lián)立①、③
7、，解方程組得，
∴k=x1x2+3=3×1+3=6
則方程兩根為x1=3，x2=1；k=6．
【答案】x1=3，x2=1；k=6．
12.已知關(guān)于的方程
（1）若這個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）若方程兩實(shí)數(shù)根分別為x1、x2，且滿足,求實(shí)數(shù)k的值.
【解析】分析：（1）根據(jù)方程有實(shí)根可得△≥0，進(jìn)而可得[-2（k-3）]2-4×1×（k2-4k-1）≥0，再解即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=2（k-3），x1?x2=k2-4k-1，再由完全平方公式可得x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2，代入x1+x2=2（k-3），x1?x2= k2-4
8、k-1可計(jì)算出m的值．
解析：（1）∵x2-2（k-3）x+k2-4k-1=0有實(shí)數(shù)根，
∴△=4（k-3）2-4（k2-4k-1）=4k2-24k+36-4k2+16k+4=40-8k≥0，
解得：k≤5；
13.已知關(guān)于的方程，根據(jù)下列條件，分別求出的值．
(1) 方程兩實(shí)根的積為5；
(2) 方程的兩實(shí)根滿足．
【解析】(1) ∵方程兩實(shí)根的積為5
∴
所以，當(dāng)時(shí)，方程兩實(shí)根的積為5．
(2) 由得知：
①當(dāng)時(shí)，，所以方程有兩相等實(shí)數(shù)根，故；
②當(dāng)時(shí)，，由于
，故不合題意，舍去．
綜上可得，時(shí)，方程的兩實(shí)根滿足．
【答案】（1）；（2）.
14.已知
9、關(guān)于x的一元二次方程 ，其中k為常數(shù)．
（1）求證：無(wú)論k為何值，方程總有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根；
（2）已知函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第三象限，求k的取值范圍；
（3）若原方程的一個(gè)根大于3，另一個(gè)根小于3，求k的最大整數(shù)值．
解析：（1）證明：∵△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=k2﹣6k+21=（k﹣3）2+12＞0，∴無(wú)論k為何值，方程總有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根；
（2）解：∵二次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第三象限，∵二次項(xiàng)系數(shù)a=1，∴拋物線開(kāi)口方向向上，∵△=（k﹣3）2+12＞0，∴拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，∴x1+x2=5﹣k＞0，x1x2=1﹣k≥0，
10、解得k≤1，即k的取值范圍是k≤1；
（3）解：設(shè)方程的兩個(gè)根分別是x1，x2，根據(jù)題意，得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，即x1x2﹣3（x1+x2）+9＜0，又x1+x2=5﹣k，x1x2=1﹣k，代入得，1﹣k﹣3（5﹣k）+9＜0，解得k＜．則k的最大整數(shù)值為2．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）k≤1；（3）2．
【解題反思】：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，綜合性較強(qiáng)。
15.已知是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
(1) 是否存在實(shí)數(shù)，使成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(2) 求使的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)的整數(shù)值．
【解析】(1) 假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使成立．∵ 一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴ ，又是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴
∴ ，但．
∴不存在實(shí)數(shù)，使成立．
7
2018高中數(shù)學(xué) 初高中銜接讀本 專題2.2 根與系數(shù)的關(guān)系韋達(dá)定理）高效演練學(xué)案
