2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明章末復(fù)習課學(xué)案 蘇教版選修1-2

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1、 第2章 推理與證明 學(xué)習目標　1.了解合情推理的含義，能利用歸納進行簡單的推理.2.了解合情推理的含義，能利用類比進行簡單的推理.3.了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法，并能利用分析法和綜合法證明簡單的問題.4.了解反證法的思想，并能靈活應(yīng)用． 知識點一　合情推理 1．歸納推理 (1)定義：從個別事實中推演出________的結(jié)論的推理稱為歸納推理．歸納推理的思維過程大致是：____________→______________→__________________. (2)特點：由________到整體、由________到一般的推理． 2．類比推理 (1)定義

2、：根據(jù)兩個(或兩類)對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相同，像這樣的推理通常稱為類比推理．類比推理的思維過程為：______________→______________→__________________. (2)特點：類比推理是由________到________的推理． 3．合情推理 合情推理是根據(jù)________________、________________、____________________，以及個人的________和直覺等推測某些結(jié)果的推理過程．__________和____________都是數(shù)學(xué)活動中常用的合情推理． 知識點二　演

3、繹推理 1．演繹推理 由一般性的命題推演出特殊性命題的推理方法叫演繹推理．簡言之，演繹推理是由________到________的推理． 2．“三段論”是演繹推理的一般模式 (1)大前提——已知的____________； (2)小前提——所研究的____________； (3)結(jié)論——根據(jù)一般原理，對____________做出的判斷． 知識點三　直接證明 1．綜合法 (1)定義：從已知條件出發(fā)，以已知的定義、公理、定理為依據(jù)，逐步下推，直到推出要證明的結(jié)論為止，這種證明方法常稱為綜合法． (2)推證過程：?…?…? (3)思維過程：由因?qū)Ч? 2．分析法 (1)

4、定義：從問題的結(jié)論出發(fā)，追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的條件，逐步上溯，直到使結(jié)論成立的條件和已知條件吻合為止，這種證明方法常稱為分析法． (2)推證過程：?…?…? (3)思維過程：執(zhí)果索因． 知識點四　間接證明 用反證法來證明時，要從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致邏輯矛盾，從而達到新的否定(即肯定原命題)． 類型一　歸納思想 例1　已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，＝(n＝1,2，3，…)． (1)求a2，a3，a4，a5，并猜想通項公式an； (2)根據(jù)(1)中的猜想，有下面的數(shù)陣： S1＝a1， S2＝a2＋a3， S3＝a4＋a5＋a6， S4＝a7＋a8＋a9＋a10

5、， S5＝a11＋a12＋a13＋a14＋a15. 試求S1，S1＋S3，S1＋S3＋S5，并猜想S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1的值． 　 　 反思與感悟　歸納猜想是理性思維的重要體現(xiàn)，是獲得發(fā)現(xiàn)的源泉．具有共同特征的歸納推理，首先要觀察式子的共同結(jié)構(gòu)特點，其次是式子中出現(xiàn)的數(shù)字、字母之間的關(guān)系，這樣便于觀察運算規(guī)律和結(jié)構(gòu)上的共同點． 跟蹤訓(xùn)練1　設(shè){an}是集合{2t＋2s|0≤s≤t，且s，t∈Z}中所有的數(shù)從小到大排列的數(shù)列，且a1＝3，a2＝5，a3＝6，a4＝9，a5＝10，a6＝12，…. 將數(shù)列{an}中的各項按照上小下大、左小右大的原則寫成如圖所示的三角

6、形數(shù)表： (1)寫出這個三角形數(shù)表中的第4行、第5行各數(shù)； (2)求出a100. 　 　 　 　 　 　 　 　 類型二　類比思想 例2　定義“等和數(shù)列”，在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫等和數(shù)列，這個常數(shù)叫該數(shù)列的公和．已知數(shù)列{an}為等和數(shù)列，且a1＝2，公和為5.那么a18的值為______，這個數(shù)列前n項和Sn的計算公式為_______________________． 反思與感悟　事物的各個性質(zhì)之間不是孤立的，而是相互聯(lián)系相互制約的，等和數(shù)列與等差數(shù)列之間有著很多類似的性質(zhì)，利用類比推

7、理可得出等和數(shù)列的性質(zhì)． 跟蹤訓(xùn)練2　已知面積為S的凸四邊形中，四條邊長分別記為a1，a2，a3，a4，點P為四邊形內(nèi)任意一點，且點P到四條邊的距離分別記為h1，h2，h3，h4，若＝＝＝＝k，則h1＋2h2＋3h3＋4h4＝.類比以上性質(zhì)，體積為V的三棱錐的每個面的面積分別記為S1，S2，S3，S4，此三棱錐內(nèi)任一點Q到每個面的距離分別為H1，H2，H3，H4，若＝＝＝＝K，則H1＋2H2＋3H3＋4H4＝________. 類型三　正難則反思想 例3　已知△ABC中，∠C是直角，求證：∠B一定是銳角． 　 　 　 　 　 反思與感悟　反證法是假設(shè)原命題不成

8、立，經(jīng)過正確的推理，最后推出矛盾，這里得出的矛盾可以是與某個已知條件矛盾，可以是與某個事實、定理、公理相矛盾，也可以是自身相矛盾．反證法的使用范圍：唯一性問題，“至少”“至多”問題，問題本身是否定語氣提出的問題． 跟蹤訓(xùn)練3　證明：無論x，y取任何非零實數(shù)，等式＋＝總不成立． 　 　 　 　 類型四　綜合法與分析法 例4　已知x，y>0，x＋y＝1，求證：log2(x2y2＋1)－log2x－log2y≥log217－2. 　 　 　 　 反思與感悟　證明問題時，往往利用分析法尋找解題思路，用綜合法書寫證明過程． 跟蹤訓(xùn)練4　求證：－2cos(

9、α＋β)＝. 　 　 　 　 1．有一個奇數(shù)列1,3,5,7,9，…，現(xiàn)在進行如下分組：第一組含一個數(shù){1}；第二組含兩個數(shù){3,5}；第三組含三個數(shù){7,9,11}；第四組含四個數(shù){13,15,17,19}；…，則每組內(nèi)各數(shù)之和f(n)(n∈N*)與組的編號數(shù)n的關(guān)系式為____________． 2．已知△ABC中，AD⊥BC于D，三邊是a，b，c，則有a＝ccos B＋bcos C；類比上述推理結(jié)論，寫出下列條件下的結(jié)論：四面體P—ABC中，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面積分別是S，S1，S2，S3，二面角P—AB—C，P—BC—A，P—A

10、C—B的度數(shù)分別是α，β，γ，則S＝______________________. 3．將下列給出的反證法證明過程填寫完整． 已知a≠0，證明關(guān)于x的方程ax＝b有且僅有一個根． 證明　由于a≠0，因此方程ax＝b至少有一個根x＝. 假設(shè)方程不止一個根，不妨設(shè)x1，x2是____________，即ax1＝b，ax2＝b，所以a(x1－x2)＝0，因為x1≠x2，所以x1－x2≠0，所以a＝0，這與________矛盾，故假設(shè)錯誤． 所以當a≠0時，關(guān)于x的方程ax＝b有且僅有一個根． 4．若tan(α＋β)＝2tan α，求證：3sin β＝sin(2α＋β)． 　

11、　 　 直接證明和間接證明是數(shù)學(xué)證明的兩類基本證明方法．直接證明的兩類基本方法是綜合法和分析法：綜合法是從已知條件推導(dǎo)出結(jié)論的證明方法；分析法是由結(jié)論追溯到條件的證明方法，在解決數(shù)學(xué)問題時，常把它們結(jié)合起來使用．間接證明的一種方法是反證法，反證法是從結(jié)論反面成立出發(fā)，推出矛盾的證明方法． 答案精析 問題導(dǎo)學(xué) 知識點一 1．(1)一般性　實驗、觀察　概括、推廣　猜測一般性結(jié)論 (2)部分　個別 2．(1)觀察、比較　聯(lián)想、類推　猜測新的結(jié)論　(2)特殊　特殊 3．已有的事實　正確的結(jié)論　實驗和實踐的結(jié)果　經(jīng)驗　歸納推理　類比推理 知識點二 1．一般　特殊 2．

12、(1)一般原理　(2)特殊情況　(3)特殊情況 題型探究 例1　解　(1)因為a1＝1，由＝知an＋1＝·an，故a2＝2，a3＝3，a4＝4，a5＝5. 可歸納猜想出an＝n(n∈N*)． (2)根據(jù)(1)中的猜想，數(shù)陣為： S1＝1， S2＝2＋3＝5， S3＝4＋5＋6＝15， S4＝7＋8＋9＋10＝34， S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65， 故S1＝1＝14，S1＋S3＝1＋15＝16＝24，S1＋S3＋S5＝1＋15＋65＝81＝34. 可猜想S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4. 跟蹤訓(xùn)練1　解　(1)第1行：3＝21＋20；第2行：5＝22＋2

13、0,6＝22＋21；第3行：9＝23＋20,10＝23＋21,12＝23＋22；由此歸納猜想：第4行：24＋20＝17,24＋21＝18,24＋22＝20,24＋23＝24；第5行，25＋20＝33,25＋21＝34,25＋22＝36,25＋23＝40,25＋24＝48. 故第4行各數(shù)依次為17,18,20,24；第5行各數(shù)依次為33,34,36,40,48. (2)每行中數(shù)的個數(shù)與行數(shù)相同，即第1行1個數(shù)，第2行2個數(shù)，第3行3個數(shù)，……，由≤100(n∈N*)，得n≤13.故前13行共有1＋2＋3＋…＋13＝91(個)數(shù)． 因此，a100應(yīng)當是第14行中第9個數(shù)，所以a100＝214

14、＋28＝16 384＋256＝16 640. 例2　3　Sn＝ 解析　∵{an}是等和數(shù)列，a1＝2，公和為5， ∴a2＝3，則a3＝2，a4＝3，知a2n＝3，a2n－1＝2(n∈N*)． ∴a18＝3，數(shù)列{an}形如：2,3,2,3,2,3，…. ∴Sn＝ 跟蹤訓(xùn)練2　 解析　根據(jù)三棱錐的體積公式， 得S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4＝V， 即KH1＋2KH2＋3KH3＋4KH4＝3V， H1＋2H2＋3H3＋4H4＝. 例3　證明　假設(shè)∠B不是銳角，則∠B≥90°， 因此∠C＋∠B≥90°＋90°＝180°， 這與三角形的內(nèi)角和等于180°矛盾． 所以

15、假設(shè)不成立． 從而∠B一定是銳角． 跟蹤訓(xùn)練3　證明　設(shè)存在非零實數(shù)x1，y1， 使等式＋＝成立， 則有y1(x1＋y1)＋x1(x1＋y1)＝x1y1， ∴x＋y＋x1y1＝0， 即(x1＋)2＋y＝0. 又∵x1，y1≠0， ∴(x1＋)2＋y>0，從而得出矛盾，故原命題成立． 例4　解　方法一　(分析法) ∵x，y>0， ∴欲證log2(x2y2＋1)－log2x－log2y≥log217－2， 需證log2≥log2. ∵由于對數(shù)的底數(shù)為2>1， ∴為了證明上式成立，需證≥. 由于x，y>0，于是為了證明上式成立， 只需證明4x2y2＋4≥17xy，即證

16、4x2y2－17xy＋4≥0. 即證(4xy－1)(xy－4)≥0， 即證xy≤或xy≥4.① 又∵x，y>0，x＋y＝1， ∴xy≤()2＝. ∴①式成立，這就證明了log2(x2y2＋1)－log2x－log2y≥log217－2成立． 方法二　(綜合法) 由條件知log2(x2y2＋1)－log2x－log2y＝log2. 設(shè)u＝，t＝xy. 由x＋y＝1，得xy≤()2＝， ∴t∈(0，]． ∴u＝＝xy＋＝t＋，t∈(0，]． ∵u′＝(t＋)′＝1－＝<0，t∈(0，]， ∴u＝t＋在t∈(0，]上是減函數(shù)， ∴u≥4＋＝. ∴l(xiāng)og2u≥log2，

17、 ∴l(xiāng)og2≥log217－2， 即log2(x2y2＋1)－log2x－log2y≥log217－2. 跟蹤訓(xùn)練4　證明　∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)－α]＝sin β， 兩邊同除以sin α得 －2cos(α＋β)＝. 達標檢測 1．f(n)＝n3 解析　由于1＝13,3＋5＝8＝23， 7＋9＋11＝27＝33,13＋1

18、5＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n組內(nèi)各數(shù)之和f(n)與組的編號數(shù)n的關(guān)系式為f(n)＝n3. 2．S1cos α＋S2cos β＋S3cos γ 3．兩不等根　a≠0 4．證明　由tan(α＋β)＝2tan α，得＝， 即sin(α＋β)cos α＝2sin αcos(α＋β)． 要證3sin β＝sin(2α＋β)， 即證3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]， 即證3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α] ＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α， 即證sin(α＋β)cos α＝2sin αcos (α＋β)， 故3sin β＝sin(2α＋β)． 10