2018-2019學年高中數學 第四講 數學歸納法證明不等式復習課學案 新人教A版選修4-5

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1、 第四講 數學歸納法證明不等式 復　習　課 [整合·網絡構建] [警示·易錯提醒] 1．數學歸納法的兩個關注點． (1)關注用數學歸納法證題的步驟．第一步稱“歸納奠基”，是遞推鏈的起點；第二步稱為“歸納遞推”，是遞推鏈具有傳遞性的保證．兩步缺一不可，否則不能保證結論成立． (2)關注適用范圍，數學歸納法適用于某些與正整數n有關的問題，這里n是任意的正整數，它可取無限多個值，但是，并不能說所有與正整數n有關的問題都可以用數學歸納法． 2．數學歸納法的兩個易錯點． (1)在數學歸納法中，沒有應用歸納假設． (2)歸納推理不到位． 專題一　數學歸納法 在使用數

2、學歸納法證明不等式時，一般來說，第一步，驗證比較簡明，而第二步歸納步驟情況較復雜．因此，熟悉歸納步驟的證明方法是十分重要的，其實歸納步驟可以看作是一個獨立的證明問題，歸納假設“P(k)”是問題的條件，而命題P(k＋1)成立就是所要證明的結論，因此，合理運用歸納假設這一條件就成了歸納步驟中的關鍵． [例?]　設0＜a＜1，定義a1＝1＋a，an＋1＝＋a，求證：對一切正整數n，有1＜an＜. 證明：(1)當n＝1時，a1＞1，a1＝1＋a＜，命題成立． (2)假設n＝k(k∈N*)時，命題成立．即1＜ak＜， 當n＝k＋1時，由遞推公式，知ak＋1＝＋a＞(1－a)＋a＝1. 同時，

3、ak＋1＝＋a＜1＋a＝＜， 故當n＝k＋1時，命題也成立，即1＜ak＋1＜， 綜合(1)(2)可知，對一切正整數n，有1＜an＜. 歸納升華 用數學歸納法證明不等式的題型多種多樣，所以不等式的證明是一個難點，在由n＝k成立，推導n＝k＋1也成立時，其他證明不等式的方法在此都可以使用，如比較法、放縮法、分析法、反證法等，有時還要考慮與原不等式等價的命題． [變式訓練]　證明不等式＋＋…＋＜1(n≥2，n∈N*)． 證明：先證明＋＋…＋＜1－(n≥2)，(*) 對(*)運用數學歸納法證明： (1)當n＝2時，(*)顯然成立． (2)設n＝k時，不等式(*)成立， 則＋＋…＋＜

4、1－. 當n＝k＋1時， ＋＋…＋＋＜1－＋＜1－＋＝1－＋＝1－. 故當n＝k＋1時，不等式(*)成立． 根據(1)和(2)知，對n∈N*且n≥2，不等式(*)成立，故原不等式成立. 專題二　歸納、猜想、證明思想的應用 歸納、猜想、證明屬于探索性問題的一種，一般經過計算、觀察、歸納，然后猜想出結論，再利用數學歸納法證明，由于“猜想”是“證明”的前提和“對象”，因此務必要保持猜想的正確性，同時要注意數學歸納法步驟的書寫． [例2]　數列{an}滿足Sn＝2n－an. (1)計算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項公式an； (2)用數學歸納法證明(1)的猜想． (1)解：

5、當n＝1時，a1＝S1＝2－a1， 所以a1＝1. 當n＝2時，a1＋a2＝S2＝2×2－a2， 所以a2＝. 當n＝3時，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3， 所以a3＝. 當n＝4時，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4， 所以a4＝. 由此猜想an＝(n∈N*)． (2)證明：①當n＝1時，a1＝1，結論成立． ②假設當n＝k(k≥1且k∈N＋)時，結論成立， 即ak＝. 當n＝k＋1時，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1 ， 即ak＋1＝2＋ak－ak＋1， 所以ak＋1＝＝＝， 這表明當n＝k＋1時，

6、結論成立． 由①②知猜想的通項公式an＝成立． 歸納升華 歸納—猜想—證明的三步曲 (1)計算：根據條件，計算若干項． (2)歸納猜想：通過觀察、分析、綜合、聯想、猜想出一般結論． (3)證明：用數學歸納法證明． [變式訓練]　“設f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，有f(1)＝1＞，f(3)＞1，f(7)＞，f(15)＞2，…”．試問：f(2n－1)與大小關系如何？試猜想并加以證明． 解：數列1，3，7，15，…，通項公式為an＝2n－1，數列，1，，2，…，通項公式為an＝， 所以猜想：f(2n－1)＞. 下面用數學歸納法證明： (1)當n＝1時，f(21－1)＝f

7、(1)＝1＞，不等式成立． (2)假設當n＝k(k≥1，k∈N＋)時不等式成立， 即f(2k－1)＞. 當n＝k＋1時， f(2k＋1－1)＝f(2k－1)＋＋＋…＋＋＞ f(2k－1)＋＋…＋,2k個＝f(2k－1)＋＞＋＝. 所以當n＝k＋1時不等式也成立． 據(1)(2)知對任何n∈N＋原不等式均成立． 專題三　轉化和化歸思想 把所要證的平面幾何問題轉化，運用數學歸納法來解決，這體現了轉化和化歸的思想．一般將待解決的平面幾何問題進行轉化，使之化為我們熟悉的或容易解決的問題． [例3]　設平面α內有n條直線，這n條直線把平面α分成互不垂疊的區(qū)域個數的最大值為f(n)，求

8、f(n)的解析式，并用數學歸納法證明． 解：設平面α內k(k≥1)條直線把平面α分成區(qū)域個數的最大值為f(k)，則第k＋1條直線與前k條直線最多有k個交點，因此第k＋1條直線最多可以被分成k＋1段，每一段可把所在的區(qū)域分為兩部分，所以比原來的區(qū)域增加k＋1個，即有f(k＋1)＝f(k)＋k＋1， 所以f(k＋1)－f(k)＝k＋1. 于是f(2)－f(1)＝2，f(3)－f(2)＝3，…，f(n)－f(n－1)＝n. 把以上n－1個等式相加得f(n)－f(1)＝2＋3＋…＋n. 因為f(1)＝2， 所以f(n)＝f(1)＋(2＋3＋…＋n)＝(n2＋n＋2)． 下面用數學歸納法證

9、明： (1)n＝1時，一條直線可以把平面分成2個， 即f(1)＝2，而(n2＋n＋2)＝(1＋1＋2)＝2， 所以命題成立． (2)假設n＝k時，f(k)＝(k2＋k＋2)成立， 當n＝k＋1時，f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)＝(k2＋k＋2)＋(k＋1)＝(k2＋2k＋1＋k＋3)＝[(k＋1)2＋(k＋1)＋2]，所以命題仍成立． 由(1)(2)知，當n∈N*時，f(n)＝(n2＋n＋2)成立． 歸納升華 有關幾何圖形的性質、公式等與自然數n有關的命題，主要是抓住遞推關系，明確要證明的表達式，然后轉化用數學歸納法進行證明． [變式訓練]　用數學歸納法證明：對于任意正整數n，整式an－bn都能被a－b整除． 證明：(1)當n＝1時，an－bn＝a－b能被a－b整除． (2)假設當n＝k(k∈N＋，k≥1)時，ak－bk能被a－b整除，那么當n＝k＋1時，ak＋1－bk＋1＝ak＋1－akb＋akb－bk＋1＝ak(a－b)＋b(ak－bk)． 因為(a－b)和ak－bk都能被a－b整除， 所以上面的和ak(a－b)＋b(ak－bk)也能被a－b整除． 這也就是說當n＝k＋1時，ak＋1－bk＋1能被a－b整除． 根據(1)(2)可知對一切正整數n，an－bn都能被a－b整除． 5