數(shù)學(xué)規(guī)范答題示例2 導(dǎo)數(shù)與不等式的恒成立問題 理

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1、規(guī)范答題示例2導(dǎo)數(shù)與不等式的恒成立問題典例典例2(12分)設(shè)函數(shù)f(x)emxx2mx.(1)證明：f(x)在(，0)上單調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞增；(2)若對于任意x1，x21,1，都有|f(x1)f(x2)|e1，求m的取值范圍.規(guī)規(guī) 范范 解解 答答分分 步步 得得 分分(1)證明證明f(x)m(emx1)2x.1分若m0，則當(dāng)x(，0)時(shí)，emx10，f(x)0；當(dāng)x(0，)時(shí)，emx10，f(x)0.若m0，則當(dāng)x(，0)時(shí)，emx10，f(x)0；當(dāng)x(0，)時(shí)，emx10，f(x)0.4分所以，f(x)在(，0)上單調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞增.6分(2)解解由(1)知，對任意

2、的m，f(x)在1,0上單調(diào)遞減，在0,1上單調(diào)遞增，故f(x)在x0處取得最小值所以對于任意x1，x21,1，|f(x1)f(x2)|e1的充要條件是設(shè)函數(shù)g(t)ette1，則g(t)et1. 9分當(dāng)t0時(shí)，g(t)0；當(dāng)t0時(shí)，g(t)0.故g(t)在(，0)上單調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞增.又g(1)0，g(1)e12e0，故當(dāng)t1,1時(shí)，g(t)0.當(dāng)m1,1時(shí)，g(m)0，g(m)0，即式成立；10分當(dāng)m1時(shí)，由g(t)的單調(diào)性，得g(m)0，即emme1；當(dāng)m1時(shí)，g(m)0，即emme1.11分綜上，m的取值范圍是1,1.12分構(gòu)構(gòu) 建建 答答 題題 模模 板板第一步求導(dǎo)數(shù)：求

3、導(dǎo)數(shù)：一般先確定函數(shù)的定義域，再求f(x)第二步定區(qū)間：定區(qū)間：根據(jù)f(x)的符號確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間第三步尋條件：尋條件：一般將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題第四步寫步驟：寫步驟：通過函數(shù)單調(diào)性探求函數(shù)最值，對于最值可能在兩點(diǎn)取到的恒成立問題，可轉(zhuǎn)化為不等式組恒成立第五步再反思：再反思：查看是否注意定義域、區(qū)間的寫法、最值點(diǎn)的探求是否合理等.評分細(xì)則評分細(xì)則(1)求出導(dǎo)數(shù)給1分；(2)討論時(shí)漏掉m0扣1分；兩種情況只討論正確一種給2分；(3)確定f(x)符號時(shí)只有結(jié)論無中間過程扣1分；(4)寫出f(x)在x0處取得最小值給1分；(5)無最后結(jié)論扣1分；(6)其他方法構(gòu)造函數(shù)同樣給分解答(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減因此函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(0,1)，減區(qū)間為(1，)，極大值為f(1)1，無極小值.解答(2)若對任意的x1，恒有l(wèi)n(x1)k1kx成立，求k的取值范圍；解解因?yàn)閤1，所以f(x1)maxk，所以k1.證明當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號令xn2 (nN*，n2)