湖南大學機械振動習題課.ppt

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1 求圖1所示系統(tǒng)中均勻剛性桿AB在A點對坐標x的等效質(zhì)量 桿的質(zhì)量為m A端彈簧的剛度為k 鉸C點到A點的距離為al 0 a 1 試求C點鉸支座放置何處時系統(tǒng)的固有頻率達到最大值 圖1 解 取x為廣義坐標 根據(jù)等效系統(tǒng)與原系統(tǒng)的動能相等得 由于固有頻率與質(zhì)量的平方根成反比 欲得到最高固有頻率 必須使me為極小 得 代入 是為極小值 故鉸鏈應放在離A端處 故 2 一彈簧k與阻尼器c并聯(lián)于無質(zhì)量的水平板上 今將一質(zhì)量m輕放在板上后立即松手 系統(tǒng)即作衰減振動 問質(zhì)量m的最大振幅是多少 發(fā)生在何時 最大速度是多少 發(fā)生在何時 設(shè)阻尼比0 1 圖2 解 系統(tǒng)自由振動的微分方程為 在t 0 x x0 的初始條件下的響應為 式中 對 1 式取一次導數(shù) 最大振幅應發(fā)生在時 由 2 式可知 時質(zhì)量m振幅最大 代入 1 式得 最大速度發(fā)生在時 由 2 式可得 或 時速度最大 代入 2 式得 應注意最大速度并不發(fā)生在質(zhì)量m過靜平衡位置時 這是和無阻尼自由振動不同之處 3 一飛機升降舵的控制板鉸接于升降舵的軸上 如圖3所示O點 另有一相當于扭簧k 的聯(lián)動裝置控制其轉(zhuǎn)動 已知控制板繞O點的轉(zhuǎn)動慣量為IO 為計算控制板系統(tǒng)的固有頻率 用圖示試驗方法測定k 將升降舵固定 而在控制板的自由端聯(lián)接兩個彈簧k1 k2 使k2的一端有簡諧支承運動y asin 調(diào)節(jié)激振頻率至系統(tǒng)共振 測定共振頻率為 0 試計算k 及控制板的固有頻率 圖3 控制板 升降舵 當我們需要操縱飛機抬頭或低頭時 水平尾翼中的升降舵就會發(fā)生作用 升降舵是水平尾翼中可操縱的翼面部分 其作用是對飛機進行俯仰操縱 紅線表示氣流方向 也就是飛機機頭方向吹過來的風的方向 黑線表示平尾 藍線表示升降舵舵面 圖1 飛機起飛時升降舵舵面的情況 飛機往前飛 氣流就往后吹 氣流遇到升降舵上翹的舵面產(chǎn)生阻力 阻力產(chǎn)生壓力 壓力把升降舵舵面往下壓 飛機機頭就會自然向上了 飛機就往上飛 圖2 飛機下降時候升降舵舵面的情況 圖3 飛機就是平飛狀態(tài) 圖1 圖2 圖3 控制板的固有圓頻率為 圖3 解 取廣義坐標 如圖 系統(tǒng)的振動微分方程為 故 共振頻率為 1 求圖1所示系統(tǒng)的固有頻率 AB為剛性桿 桿本身質(zhì)量忽略不計 圖1 圖b 解 方法 1 能量法取廣義坐標 如圖 利用等效質(zhì)量和等效剛度的概念 可把原系統(tǒng)等效成為圖b所示等效系統(tǒng) 根據(jù)等效前后動能相等 Ie Ke me 得轉(zhuǎn)動慣量 等效轉(zhuǎn)動剛度 根據(jù)等效前后勢能相等 固有頻率為 取m1 m2 K1 K2處的豎向位移為廣義坐標 如何等效 方法 2 定義法設(shè)使系統(tǒng)繞A點產(chǎn)生單位角加速度需要施加彎矩M 則在m1 m2上產(chǎn)生繞A點的慣性矩 設(shè)使系統(tǒng)產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角需要施加彎矩M 則在K1 K2處將產(chǎn)生彈性恢復力 對支點取矩 固有頻率為 2 一質(zhì)量m 2000kg 以勻速度v 3cm s運動 與彈簧K 阻尼器C相撞后一起作自由振動 如圖所示 已知K 48020N m C 1960N s m 問質(zhì)量m在相撞后多少時間達到最大振幅 最大振幅是多大 圖2 解 系統(tǒng)自由振動的微分方程為 在t 0 x 0 的初始條件下的響應為 由 得最大振幅發(fā)生在 令 代入得tm 0 3s 最大振幅為 應注意最大振幅并不發(fā)生在 即時 此時 3 求圖3所示系統(tǒng)在支撐運動為ys y0sin t時的振動微分方程 AB為剛性桿 圖3 解 方法 1 按原系統(tǒng)列振動微分方程 設(shè) 為AB桿的相對轉(zhuǎn)角 y為m上下運動時的絕對位移 AB桿的靜平衡位置為水平 由運動學知識有 y 故 由動量矩或牛頓定律建立方程 將 1 代入 2 式 經(jīng)化簡可得系統(tǒng)的振動微分方程為 代入 得 所以 方法 2 按等效系統(tǒng)列振動微分方程 將系統(tǒng)在B點y方向上等效 利用勢能相等求等效剛度Ke有 由牛頓定理有 將 3 式代入 4 式得到系統(tǒng)的振動微分方程為 或