2019高中數學 第四章 圓與方程 4.3 空間直角坐標系講義（含解析）新人教A版必修2.doc

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4.3 空間直角坐標系核心必知1預習教材，問題導入根據以下提綱，預習教材P134P137，回答下列問題(1)平面直角坐標系由兩條互相垂直的數軸組成，設想空間直角坐標系由幾條數軸組成？其相對位置關系如何？提示：三條交于一點且兩兩互相垂直的數軸(2)建立了空間直角坐標系以后，空間中任意一點M對應的三個有序實數如何找到呢？提示：如圖所示，設點M是空間的一個定點，過點M分別作垂直于x軸、y軸和z軸的平面，依次交x軸，y軸和z軸于點P、Q和R.設點P、Q和R在x軸、y軸和z軸上的坐標分別是x，y和z，那么點M就對應唯一確定的有序實數組(x，y，z)(3)設點P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)在xOy平面上的射影分別為M、N.M、N的坐標是什么？點M、N之間的距離如何？若直線P1P2是xOy平面的一條斜線，點P1，P2間的距離如何？提示：M(x1，y1,0)，N(x2，y2,0)；|MN|.如圖，在RtP1HP2中，|P1H|MN|，根據勾股定理，得|P1P2|.2歸納總結，核心必記(1)空間直角坐標系及相關概念空間直角坐標系：從空間某一定點引三條兩兩垂直，且有相同單位長度的數軸：x軸、y軸、z軸，這樣就建立了空間直角坐標系Oxyz.相關概念：點O叫做坐標原點，x軸、y軸、z軸叫做坐標軸通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為xOy平面、yOz平面、zOx平面(2)右手直角坐標系在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系(3)空間一點的坐標空間一點M的坐標可以用有序實數組(x，y，z)來表示，有序實數組(x，y，z)叫做點M在此空間直角坐標系中的坐標，記作M(x，y，z)其中x叫點M的橫坐標，y叫點M的縱坐標，z叫點M的豎坐標(4)空間兩點間的距離公式點P(x，y，z)到坐標原點O(0,0,0)的距離，|OP|.任意兩點P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)間的距離，|P1P2| .問題思考(1)給定的空間直角坐標系下，空間任意一點是否與有序實數組(x，y，z)之間存在唯一的對應關系？提示：是給定空間直角坐標系下，空間給定一點其坐標是唯一的有序實數組(x，y，z)；反之，給定一個有序實數組(x，y，z)，空間也有唯一的點與之對應(2)空間兩點間的距離公式對在坐標平面內的點適用嗎？提示：適用空間兩點間的距離公式適用于空間任意兩點，對同在某一坐標平面內的兩點也適用課前反思通過以上預習，必須掌握的幾個知識點(1)怎樣建立空間直角坐標系？如何確定空間一點的坐標？；(2)空間兩點間的距離公式是什么？怎樣用？.(1)如圖數軸上A點、B點(2)如圖在平面直角坐標系中，P、Q點的位置(3)下圖是一個房間的示意圖，我們如何表示板凳和氣球的位置？思考1上述(1)中如何確定A、B兩點的位置？提示：利用A、B兩點的坐標2和2.思考2上述(2)中如何確定P、Q兩點的位置？提示：利用P、Q兩點的坐標(a，b)和(m，n)思考3對于上述(3)中，空間中如何表示板凳和氣球的位置？提示：可借助于平面坐標系的思想建立空間直角坐標系，如圖示講一講1建立適當的坐標系，寫出底邊長為2，高為3的正三棱柱的各頂點的坐標(鏈接教材P135例1)嘗試解答以BC的中點為原點，BC所在的直線為y軸，以射線OA所在的直線為x軸，建立空間直角坐標系，如圖由題意知，AO2，從而可知各頂點的坐標分別為A(，0,0)，B(0,1,0)，C(0，1,0)，A1(，0,3)，B1(0,1,3)，C1(0，1,3)空間中點P坐標的確定方法(1)由P點分別作垂直于x軸、y軸、z軸的平面，依次交x軸、y軸、z軸于點Px、Py、Pz，這三個點在x軸、y軸、z軸上的坐標分別為x、y、z，那么點P的坐標就是(x，y，z)(2)若題所給圖形中存在垂直于坐標軸的平面，或點P在坐標軸或坐標平面上，則要充分利用這一性質解題練一練 1如圖所示，VABCD是正棱錐，O為底面中心，E，F分別為BC，CD的中點已知|AB|2，|VO|3，建立如圖所示空間直角坐標系，試分別寫出各個頂點的坐標解：底面是邊長為2的正方形，|CE|CF|1.O點是坐標原點，C(1,1,0)，同樣的方法可以確定B(1，1,0)，A(1，1,0)，D(1,1,0)V在z軸上，V(0,0,3)講一講2在空間直角坐標系中，點P(2,1,4)(1)求點P關于x軸的對稱點的坐標；(2)求點P關于xOy平面的對稱點的坐標；(3)求點P關于點M(2，1，4)的對稱點的坐標嘗試解答(1)由于點P關于x軸對稱后，它在x軸的分量不變，在y軸、z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?，所以對稱點為P1(2，1，4)(2)由于點P關于xOy平面對稱后，它在x軸、y軸的分量不變，在z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?，所以對稱點為P2(2,1，4)(3)設對稱點為P3(x，y，z)，則點M為線段PP3的中點，由中點坐標公式，可得x22(2)6，y2(1)13，z2(4)412，所以P3(6，3，12)(1)求空間對稱點的規(guī)律方法空間的對稱問題可類比平面直角坐標系中點的對稱問題，要掌握對稱點的變化規(guī)律，才能準確求解對稱點的問題常常采用“關于誰對稱，誰保持不變，其余坐標相反”這個結論(2)空間直角坐標系中，任一點P(x，y，z)的幾種特殊對稱點的坐標如下：關于原點對稱的點的坐標是P1(x，y，z)；關于x軸(橫軸)對稱的點的坐標是P2(x，y，z)；關于y軸(縱軸)對稱的點的坐標是P3(x，y，z)；關于z軸(豎軸)對稱的點的坐標是P4(x，y，z)；關于xOy坐標平面對稱的點的坐標是P5(x，y，z)；關于yOz坐標平面對稱的點的坐標是P6(x，y，z)；關于xOz坐標平面對稱的點的坐標是P7(x，y，z)練一練 2.保持本解中的點P不變，(1)求點P關于y軸的對稱點的坐標；(2)求點P關于yOz平面的對稱點的坐標；(3)求點P關于點N(5,4,3)的對稱點的坐標解：(1)由于點P關于y軸對稱后，它在y軸的分量不變，在x軸、z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?，故對稱點的坐標為P1(2,1，4)(2)由于點P關于yOz平面對稱后，它在y軸、z軸的分量不變，在x軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?，故對稱點的坐標為P2(2,1,4)(3)設所求對稱點為P3(x，y，z)，則點N為線段PP3的中點，由中點坐標公式，可得5，4，3，即x2(5)(2)8，y2417，z2342，故P3(8,7,2).(1)已知數軸上A點的坐標2，B點的坐標2.(2)已知平面直角坐標系中P(a，b)，Q(m，n)思考1如何求數軸上兩點間的距離？提示：|AB|x1x2|x2x1|.思考2如何求平面直角坐標系中P、Q兩點間距離？提示：d|PQ| .思考3若在空間中已知P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，如何求|P1P2|?提示：與平面直角坐標系中兩點的距離求法類似講一講3已知點A(4，1，9)，B(10,1，6)，C(2，4，3)，試判斷ABC的形狀嘗試解答|AB|7，|BC|7，|AC|7，則|AB|AC|，且|AB|2|AC|2|BC|2，所以ABC為等腰直角三角形求空間兩點間的距離時，一般使用空間兩點間的距離公式，應用公式的關鍵在于建立適當的坐標系，確定兩點的坐標確定點的坐標的方法視具體題目而定，一般說來，要轉化到平面中求解，有時也利用幾何圖形的特征，結合平面直角坐標系的知識確定練一練3已知兩點P(1,0,1)與Q(4,3，1)(1)求P、Q之間的距離；(2)求z軸上的一點M，使|MP|MQ|.解：(1)|PQ|.(2)設M(0,0，z)，由|MP|MQ|，得1202(z1)24232(z1)2，z6.M(0,0，6)課堂歸納感悟提升1本節(jié)課的重點是了解右手直角坐標系及有關概念，掌握空間直角坐標系中任意一點的坐標的含義，會建立空間直角坐標系，并能求出點的坐標，理解空間兩點間距離公式的推導過程和方法，掌握空間兩點間的距離公式及其簡單應用難點是空間直角坐標系的建立及求相關點的坐標、空間兩點間距離公式及其簡單運用2本節(jié)課要重點掌握的規(guī)律方法(1)空間直角坐標系中點的坐標的確定方法，見講1.(2)求空間中對稱點坐標的規(guī)律，見講2.(3)空間兩點間距離公式的應用，見講3.3本節(jié)課的易錯點是空間中點的坐標的確定，如講1.課下能力提升(二十六)學業(yè)水平達標練題組1空間直角坐標系的建立及坐標表示1點(2,0,3)在空間直角坐標系中的()Ay軸上BxOy平面上CxOz平面上 D第一象限內解析：選C點(2,0,3)的縱坐標為0，所以該點在xOz平面上2在空間直角坐標系中，點P(4,3，1)關于xOz平面的對稱點的坐標是()A(4，3，1) B(4,3，1)C(3，4,1) D(4，3,1)解析：選A過點P向xOz平面作垂線，垂足為N，則N就是點P與它關于xOz平面的對稱點P連線的中點，又N(4,0，1)，所以對稱點為P(4，3，1)3已知A(3,2，4)，B(5，2,2)，則線段AB中點的坐標為_解析：設中點坐標為(x0，y0，z0)，則x04，y00，z01，中點坐標為(4,0，1)答案：(4,0，1)4點P(1,2，1)在xOz平面內的射影為B(x，y，z)，則xyz_.解析：點P(1,2，1)在xOz平面內的射影為B(1,0，1)，x1，y0，z1，xyz1010.答案：05如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，E，F分別是棱BC，CC1上的點，|CF|AB|2|CE|，|AB|AD|AA1|124.試建立適當的坐標系，寫出E，F點的坐標解：以A為坐標原點，射線AB，AD，AA1的方向分別為正方向建立空間直角坐標系，如圖所示分別設|AB|1，|AD|2，|AA1|4，則|CF|AB|1，|CE|AB|，所以|BE|BC|CE|2.所以點E的坐標為，點F的坐標為(1,2,1)6如圖，在空間直角坐標系中，BC2，原點O是BC的中點，點D在平面yOz內，且BDC90，DCB30，求點D的坐標解：過點D作DEBC，垂足為E.在RtBDC中，BDC90，DCB30，BC2，得|BD|1，|CD|，|DE|CD|sin 30，|OE|OB|BE|OB|BD|cos 601，點D的坐標為.題組2空間兩點間的距離7(2016長春高一檢測)已知點A(x,1,2)和點B(2,3,4)，且|AB|2，則實數x的值是()A3或4 B6或2C3或4 D6或2解析：選D由題意得2，解得x2或x6.8在空間直角坐標系中，正方體ABCDA1B1C1D1的頂點A的坐標為(3，1,2)，其中心M的坐標為(0,1,2)，則該正方體的棱長為_解析：由A(3，1,2)，中心M(0,1,2)，所以C1(3,3,2)正方體體對角線長為|AC1|2，所以正方體的棱長為.答案：能力提升綜合練1在長方體ABCDA1B1C1D1中，若D(0,0,0)、A(4,0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3)，則對角線AC1的長為()A9 B.C5 D2解析：選B由已知求得C1(0,2,3)，|AC1|.2點A(1,2，1)，點C與點A關于面xOy對稱，點B與點A關于x軸對稱，則|BC|的值為()A2 B4 C2 D2解析：選B點A關于面xOy對稱的點C的坐標是(1,2,1)，點A關于x軸對稱的點B的坐標是(1，2,1)，故|BC| 4.3ABC在空間直角坐標系中的位置及坐標如圖所示，則BC邊上的中線的長是()A. B2 C. D3解析：選CBC的中點坐標為M(1,1,0)，又A(0,0,1)，|AM|.4在空間直角坐標系中，一定點P到三個坐標軸的距離都是1，則該點到原點的距離是()A. B. C. D.解析：選A設P(x，y，z)，由題意可知x2y2z2，.5在空間直角坐標系中，點(1，b,2)關于y軸的對稱點是(a，1，c2)，則點P(a，b，c)到坐標原點O的距離|PO|_.解析：點(1，b,2)關于y軸的對稱點是(1，b，2)，所以點(a，1，c2)與點(1，b，2)重合，所以a1，b1，c0，所以|PO|.答案：6在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，F是BD的中點，G在棱CD上，且|CG|CD|，E為C1G的中點，則EF的長為_解析：建立如圖所示的空間直角坐標系，D為坐標原點，由題意，得F，C1(0,1,1)，C(0,1,0)，G，則E.所以|EF| .答案：7如圖所示，在長方體ABCDA1B1C1D1中，|AB|AD|3，|AA1|2，點M在A1C1上，|MC1|2|A1M|，N在D1C上且為D1C中點，求M、N兩點間的距離解：如圖所示，分別以AB、AD、AA1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系由題意可知C(3,3,0)，D(0,3,0)，|DD1|CC1|AA1|2，C1(3,3,2)，D1(0,3,2)，A1(0,0,2)N為CD1的中點，N.M是A1C1的三分之一分點且靠近A1點，M(1,1,2)由兩點間距離公式，得|MN| .8如圖所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，|C1C|CB|CA|2，ACCB，D，E分別是棱AB，B1C1的中點，F是AC的中點，求DE，EF的長度解：以點C為坐標原點，CA、CB、CC1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系|C1C|CB|CA|2，C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，由中點坐標公式可得，D(1,1,0)，E(0，1,2)，F(1,0,0)，|DE|，|EF|.