2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.2 拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)（第1課時(shí)）拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)學(xué)案（含解析）北師大版選修1 -1.docx

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第1課時(shí)拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解拋物線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等簡(jiǎn)單性質(zhì).2.會(huì)利用拋物線的性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的拋物線問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)一拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)圖形性質(zhì)范圍x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0對(duì)稱軸x軸y軸頂點(diǎn)(0,0)離心率e1開口方向向右向左向上向下通徑過(guò)焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的直線與拋物線交于兩點(diǎn)A，B，線段AB叫拋物線的通徑，長(zhǎng)度|AB|2p知識(shí)點(diǎn)二焦點(diǎn)弦設(shè)過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y22px(p0)|AB|x1x2py22px(p0)|AB|p(x1x2)x22py(p0)|AB|y1y2px22py(p0)|AB|p(y1y2)1拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條對(duì)稱軸，一條準(zhǔn)線，一條通徑()2當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，其方程是標(biāo)準(zhǔn)方程()3拋物線的離心率均為1，所以拋物線形狀都相同()4焦準(zhǔn)距p決定拋物線的張口大小，即決定拋物線的形狀()題型一拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)例1已知拋物線y28x.(1)求出該拋物線的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線方程、對(duì)稱軸、變量x的范圍；(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為頂點(diǎn)，作拋物線的內(nèi)接等腰三角形OAB，|OA|OB|，若焦點(diǎn)F是OAB的重心，求OAB的周長(zhǎng)考點(diǎn)拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)題點(diǎn)焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、對(duì)稱性的簡(jiǎn)單應(yīng)用解(1)拋物線y28x的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線方程、對(duì)稱軸、變量x的范圍分別為(0,0)，(2,0)，x2，x軸，x0.(2)如圖所示，由|OA|OB|可知ABx軸，垂足為點(diǎn)M，又焦點(diǎn)F是OAB的重心，則|OF|OM|.因?yàn)镕(2,0)，所以|OM|OF|3，所以M(3,0)故設(shè)A(3，m)，代入y28x得m224；所以m2或m2，所以A(3,2)，B(3，2)，所以|OA|OB|，所以O(shè)AB的周長(zhǎng)為24.反思感悟把握三個(gè)要點(diǎn)確定拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)(1)開口：由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程看圖像開口，關(guān)鍵是看準(zhǔn)二次項(xiàng)是x還是y，一次項(xiàng)的系數(shù)是正還是負(fù)(2)關(guān)系：頂點(diǎn)位于焦點(diǎn)與準(zhǔn)線中間，準(zhǔn)線垂直于對(duì)稱軸(3)定值：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p；過(guò)焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦(又稱為通徑)長(zhǎng)為2p；離心率恒等于1.跟蹤訓(xùn)練1等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y22px(p0)，O為拋物線的頂點(diǎn)，OAOB，則AOB的面積是()A8p2B4p2C2p2Dp2考點(diǎn)拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)題點(diǎn)焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、對(duì)稱性的簡(jiǎn)單應(yīng)用答案B解析因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為x軸，內(nèi)接AOB為等腰直角三角形，所以由拋物線的對(duì)稱性知，直線AB與拋物線的對(duì)稱軸垂直，從而直線OA與x軸的夾角為45.由方程組得或不妨設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2p,2p)和(2p，2p)所以|AB|4p，所以SAOB4p2p4p2.題型二拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題例2已知直線l經(jīng)過(guò)拋物線y26x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)若直線l的傾斜角為60，求|AB|的值考點(diǎn)拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題題點(diǎn)求拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)解因?yàn)橹本€l的傾斜角為60，所以其斜率ktan60.又F，所以直線l的方程為y.聯(lián)立消去y，得x25x0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x25，所以|AB|AF|BF|x1x2x1x2p538.反思感悟1.解決拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題時(shí)，要注意拋物線定義在其中的應(yīng)用，通過(guò)定義將焦點(diǎn)弦長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為端點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題，從而可借助根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解2設(shè)直線方程時(shí)要特別注意斜率不存在的直線應(yīng)單獨(dú)討論跟蹤訓(xùn)練2已知拋物線方程為y22px(p0)，過(guò)此拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|p，求AB所在直線的方程考點(diǎn)拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題題點(diǎn)知拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)求方程解由題意可知，焦點(diǎn)F.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)若ABx軸，則|AB|2pp，不合題意，故直線AB的斜率存在，設(shè)為k，則直線AB的方程為yk.聯(lián)立消去x，整理得ky22pykp20，則y1y2，y1y2p2.|AB|2pp，解得k2，AB所在直線方程為y2或y2.題型三與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題例3設(shè)P是拋物線y24x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)(1)求點(diǎn)P到點(diǎn)A(1,1)的距離與點(diǎn)P到直線x1的距離之和的最小值；(2)若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,2)，求|PB|PF|的最小值考點(diǎn)拋物線的定義題點(diǎn)由拋物線的定義求最值解(1)如圖，易知拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程是x1.由拋物線的定義知，點(diǎn)P到直線x1的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在曲線上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A(1,1)的距離與點(diǎn)P到F(1,0)的距離之和最小顯然，連接AF，AF與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，故最小值為，即點(diǎn)P到點(diǎn)A(1,1)的距離與點(diǎn)P到直線x1的距離之和的最小值為.(2)如圖，把點(diǎn)B的橫坐標(biāo)代入y24x中，得y2.因?yàn)?2，所以點(diǎn)B在拋物線內(nèi)部過(guò)點(diǎn)B作BQ垂直于準(zhǔn)線，垂足為點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)P1，連接P1F.此時(shí)，由拋物線的定義知，|P1Q|P1F|.所以|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|314，即|PB|PF|的最小值為4.反思感悟拋物線的定義在解題中的作用，就是靈活地對(duì)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化，另外要注意平面幾何知識(shí)的應(yīng)用，如兩點(diǎn)之間線段最短，三角形中三邊間的不等關(guān)系，點(diǎn)與直線上點(diǎn)的連線垂線段最短等跟蹤訓(xùn)練3已知點(diǎn)P是拋物線y22x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A(0,2)的距離與點(diǎn)P到該拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值為()A.B2C.D.考點(diǎn)拋物線的定義題點(diǎn)由拋物線的定義求最值答案A解析如圖，由拋物線的定義知|PA|PQ|PA|PF|，則所求距離之和的最小值轉(zhuǎn)化為求|PA|PF|的最小值，則當(dāng)A，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|PF|取得最小值又A(0,2)，F(xiàn)，(|PA|PF|)min|AF|.1以x軸為對(duì)稱軸的拋物線的通徑(過(guò)焦點(diǎn)且與對(duì)稱軸垂直的弦)長(zhǎng)為8，若拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，則其方程為()Ay28xBy28xCy28x或y28xDx28y或x28y考點(diǎn)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)求拋物線方程答案C解析設(shè)拋物線的方程為y22px或y22px(p0)，由題意將x或x分別代入y22px和y22px，得|y|p，2|y|2p8，p4.即拋物線方程為y28x.2設(shè)A，B是拋物線x24y上兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，若|OA|OB|，且AOB的面積為16，則AOB等于()A30B45C60D90考點(diǎn)拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)題點(diǎn)焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、對(duì)稱性的簡(jiǎn)單應(yīng)用答案D解析由|OA|OB|，知拋物線上點(diǎn)A，B關(guān)于y軸對(duì)稱，設(shè)A，B，a0.SAOB2a16，解得a4，AOB為等腰直角三角形，AOB90.3已知拋物線yax2的準(zhǔn)線方程是y2，則此拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線距離的最小值為()A1B2C3D4考點(diǎn)拋物線的定義題點(diǎn)由拋物線定義求距離答案B解析由題意知拋物線頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離最短，故最小值為2.4過(guò)拋物線y28x的焦點(diǎn)作傾斜角為45的直線，則被拋物線截得的弦長(zhǎng)為_考點(diǎn)拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題題點(diǎn)求拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)答案16解析由y28x得焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，由此直線方程為yx2，由聯(lián)立得x212x40，設(shè)交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程知x1x212，弦長(zhǎng)|AB|x1x2p12416.5已知正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y22px(p0)上，求這個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)考點(diǎn)拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)題點(diǎn)拋物線性質(zhì)的綜合應(yīng)用解如圖OAB為正三角形，設(shè)|AB|a，則ODa，將A代入y22px，即2pa，解得a4p.正三角形的邊長(zhǎng)為4p.1討論拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，一定要利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；利用簡(jiǎn)單性質(zhì)，也可以根據(jù)待定系數(shù)法求拋物線的方程2拋物線中的最值問(wèn)題：注意拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的轉(zhuǎn)化，其次是平面幾何知識(shí)的應(yīng)用一、選擇題1設(shè)拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3，則拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的取值范圍是()A(6，) B6，)C(3，) D3，)考點(diǎn)拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)題點(diǎn)焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、對(duì)稱性的簡(jiǎn)單應(yīng)用答案D解析拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3，3，即p6.又拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線距離的最小值為，拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線距離的取值范圍是3，)2若拋物線y2x上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點(diǎn)的距離，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A.B.C.D.考點(diǎn)拋物線的定義題點(diǎn)由拋物線的定義求點(diǎn)坐標(biāo)答案B解析由題意知，點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于它到頂點(diǎn)O的距離，因此點(diǎn)P在線段OF的垂直平分線上，而F，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，代入拋物線方程得y，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為，故選B.3已知拋物線y2px2(p0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線上，過(guò)點(diǎn)P作PQ垂直于拋物線的準(zhǔn)線，垂足為點(diǎn)Q，若拋物線的準(zhǔn)線與對(duì)稱軸相交于點(diǎn)M，則四邊形PQMF的面積為()A.B.C.D.考點(diǎn)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)拋物線方程的應(yīng)用答案C解析由P在拋物線上，得p，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24y，焦點(diǎn)為F(0,1)，準(zhǔn)線為y1，|FM|2，|PQ|1，|MQ|1，則四邊形PQMF的面積為1.4已知直線l1：4x3y60和直線l2：x1，拋物線y24x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是()A2B3C.D.考點(diǎn)拋物線的定義題點(diǎn)由拋物線定義求最值答案A解析如圖所示，動(dòng)點(diǎn)P到l2：x1的距離可轉(zhuǎn)化為PF的距離，由圖可知，距離和的最小值即F到直線l1的距離d2.5過(guò)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)作直線交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，若線段PQ中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，|PQ|10，則拋物線方程是()Ay28xBy22xCy26xDy24x考點(diǎn)拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題題點(diǎn)知拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)求方程答案A解析設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則3，即x1x26.又|PQ|x1x2p10，即p4，拋物線方程為y28x.6已知拋物線y22px(p0)，過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為()Ax1Bx1Cx2Dx2考點(diǎn)拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題題點(diǎn)與焦點(diǎn)弦有關(guān)的其他問(wèn)題答案A解析拋物線的焦點(diǎn)為F，所以過(guò)焦點(diǎn)且斜率為1的直線方程為yx，即xy.代入y22px，得y22pyp2，即y22pyp20，由根與系數(shù)的關(guān)系，得p2(y1，y2分別為點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo))，所以拋物線方程為y24x，準(zhǔn)線方程為x1.7已知直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，且與C的對(duì)稱軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|12，P為C的準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，則ABP的面積為()A18B24C36D48考點(diǎn)拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)題點(diǎn)拋物線性質(zhì)的綜合問(wèn)題答案C解析不妨設(shè)拋物線方程為y22px(p0)，依題意，lx軸，且焦點(diǎn)F，當(dāng)x時(shí)，|y|p，|AB|2p12，p6，又點(diǎn)P到直線AB的距離為p6，故SABP|AB|p12636.8設(shè)F為拋物線C：y23x的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為30的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OAB的面積為()A.B.C.D.考點(diǎn)拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題題點(diǎn)拋物線焦點(diǎn)弦的其他問(wèn)題答案D解析由已知得焦點(diǎn)坐標(biāo)為F，因此直線AB的方程為y.即4x4y30.聯(lián)立直線和拋物線方程，并化簡(jiǎn)得x2x0，故xAxB.根據(jù)拋物線的定義有|AB|xAxBp12，同時(shí)原點(diǎn)到直線AB的距離為h，因此SOAB|AB|h.二、填空題9拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，|AF|3，則|BF|_.考點(diǎn)拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題題點(diǎn)與焦點(diǎn)弦有關(guān)的其他問(wèn)題答案解析由題意知F(1,0)，且AB與x軸不垂直，則由|AF|3，知xA2.設(shè)lAB：yk(x1)，代入y24x，得k2x2(2k24)xk20，所以xAxB1，故xB，故|BF|xB1.10已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，且與圓x2y24相交的公共弦長(zhǎng)等于2，則這條拋物線的方程為_考點(diǎn)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)求拋物線方程答案y23x解析由題意設(shè)拋物線方程為y2ax(a0)，當(dāng)a0時(shí)，弦的端點(diǎn)坐標(biāo)為(1，)，代入拋物線方程得y23x，同理，當(dāng)a0)的焦點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，那么滿足條件的正三角形的個(gè)數(shù)為_考點(diǎn)題點(diǎn)答案2解析根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，正三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)一定關(guān)于x軸對(duì)稱，且過(guò)焦點(diǎn)的兩條直線傾斜角分別為30和150，這時(shí)過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線只有兩個(gè)交點(diǎn)，所以正三角形的個(gè)數(shù)為2.三、解答題12若拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向上，F(xiàn)為焦點(diǎn)，M為準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)，A為拋物線上一點(diǎn)，且|AM|，|AF|3，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程考點(diǎn)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)求拋物線方程解設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22py(p0)，A(x0，y0)，由題知M.|AF|3，y03.|AM|，x217，x8，代入方程x2py0，得82p，解得p2或p4.所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24y或x28y.13已知拋物線C的頂點(diǎn)為O(0,0)，焦點(diǎn)為F(0,1)(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)F的直線l：yx1交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，求AOB的面積考點(diǎn)直線與拋物線的位置關(guān)系題點(diǎn)弦長(zhǎng)與中點(diǎn)弦的問(wèn)題解(1)拋物線C的頂點(diǎn)為O(0,0)，焦點(diǎn)為F(0,1)，拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24y.(2)聯(lián)立得x24x40.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2), 則x1x24，x1x24，|AB|8.又O(0,0)到直線yx1的距離d，AOB的面積為S|AB|d82.14.如圖，過(guò)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|BC|2|BF|且|AF|3，則此拋物線的方程為()Ay23xBy29xCy2xDy2x考點(diǎn)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)求拋物線方程答案A解析作AM，BN分別垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)M，N，則|BN|BF|，|AM|AF|.又|BC|2|BF|，|BC|2|BN|，NCB30，|AC|2|AM|2|AF|6.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，|BF|x，則2xx36，得x1，而x13，x21，且x1x2，p，得拋物線方程為y23x.15已知拋物線y22x.(1)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，求拋物線上距離點(diǎn)A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)及相應(yīng)的距離|PA|；(2)在拋物線上求一點(diǎn)P，使P到直線xy30的距離最短，并求出距離的最小值考點(diǎn)拋物線的定義題點(diǎn)由拋物線的定義求最值解(1)設(shè)拋物線上任一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則|PA|22y222x2.x0，)，且在此區(qū)間上函數(shù)是增加的，故當(dāng)x0時(shí)，|PA|min，故距離點(diǎn)A最近的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0)(2)設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)是y22x上任一點(diǎn)，則P到直線xy30的距離為d，當(dāng)y01時(shí)，dmin，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.