海淀區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試題及答案理科.doc

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海淀區(qū)高三年級(jí)第二學(xué)期期末練習(xí) 數(shù) 學(xué) （理科） 2010.5審核：陳亮 校對(duì)：張浩一、選擇題：本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng).1已知集合，則 A B C D2函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程可以為 A B C D 3如圖，是O的直徑，切O于點(diǎn)，連接，若，則的大小為 A. B. C. D. 4函數(shù)在定義域內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 A0 B1 C2 D3開始S=0MS=S+k結(jié)束輸出S是否k=15已知不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為4，則的值為 A1 B C1或 D06已知，是不同的直線，是不同的平面，則下列條件能使成立的是 A， B，C， D，7按照如圖的程序框圖執(zhí)行，若輸出結(jié)果為15，則M處條件為A B C D 8已知?jiǎng)訄AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，1),并且與直線相切，若直線與圓C有公共點(diǎn)，則圓C的面積 A有最大值為B有最小值為 C有最大值為 D有最小值為二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.把答案填在題中橫線上.9在極坐標(biāo)系中，若點(diǎn)()是曲線上的一點(diǎn)，則 .10某校高中年級(jí)開設(shè)了豐富多彩的校本課程，甲、乙兩班各隨機(jī)抽取了5名學(xué)生的學(xué)分，用莖葉圖表示（如右圖）.，分別表示甲、乙兩班各自5名學(xué)生學(xué)分的標(biāo)準(zhǔn)差，則 .（填“”、“”或“”）11已知向量a=，b=，若，則 ； .12. 已知數(shù)列滿足，（N），則的值為 .13在中，角,所對(duì)應(yīng)的邊分別為,，若，則的最大值為 .14給定集合，映射滿足：當(dāng)時(shí)，；任取若，則有.則稱映射：是一個(gè)“優(yōu)映射”.例如：用表1表示的映射：是一個(gè)“優(yōu)映射”. 表1 表212323112343（1）已知表2表示的映射： 是一個(gè)優(yōu)映射，請(qǐng)把表2補(bǔ)充完整（只需填出一個(gè)滿足條件的映射）；（2）若映射：是“優(yōu)映射”，且方程的解恰有6個(gè)，則這樣的“優(yōu)映射”的個(gè)數(shù)是_.三、解答題: 本大題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明, 演算步驟或證明過(guò)程.15（本小題滿分13分）記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.16（本小題滿分14分）已知四棱錐，底面為矩形，側(cè)棱，其中，為側(cè)棱上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，如圖所示.（）求證：；（）求異面直線與所成角的余弦值；（）求二面角的余弦值.17（本小題滿分13分）為保護(hù)水資源，宣傳節(jié)約用水，某校4名志愿者準(zhǔn)備去附近的甲、乙、丙三家公園進(jìn)行宣傳活動(dòng)，每名志愿者都可以從三家公園中隨機(jī)選擇一家，且每人的選擇相互獨(dú)立.（）求4人恰好選擇了同一家公園的概率；（）設(shè)選擇甲公園的志愿者的人數(shù)為，試求的分布列及期望18（本小題滿分13分）已知函數(shù)，其中a為常數(shù)，且.（）若，求函數(shù)的極值點(diǎn)；（）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.19（本小題滿分13分）已知橢圓和拋物線有公共焦點(diǎn)F(1,0), 的中心和的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M（4，0）的直線與拋物線分別相交于A,B兩點(diǎn).（）寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若，求直線的方程；（）若坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在拋物線上，直線與橢圓有公共點(diǎn)，求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值. 20（本小題滿分14分）已知函數(shù)的圖象在上連續(xù)不斷，定義：，其中，表示函數(shù)在上的最小值，表示函數(shù)在上的最大值若存在最小正整數(shù)，使得對(duì)任意的成立，則稱函數(shù)為上的“階收縮函數(shù)”（）若，試寫出，的表達(dá)式；（）已知函數(shù)，試判斷是否為上的“階收縮函數(shù)”，如果是，求出對(duì)應(yīng)的；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（）已知，函數(shù)是上的2階收縮函數(shù)，求的取值范圍. 海淀區(qū)高三年級(jí)第二學(xué)期期末練習(xí) 數(shù) 學(xué) （理） 參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 20105說(shuō)明： 合理答案均可酌情給分，但不得超過(guò)原題分?jǐn)?shù).第卷（選擇題 共40分）一、選擇題（本大題共8小題,每小題5分,共40分）題號(hào)12345678答案BADCABAD第卷（非選擇題 共110分）二、填空題（本大題共6小題,每小題5分, 有兩空的小題，第一空3分，第二空2分，共30分）91 10 112 ； 1248 13 14；84. 三、解答題(本大題共6小題,共80分)15（本小題滿分13分）解：（）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由， 可得 ， 2分 即， 解得，4分 ， 故所求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為.5分（）依題意， ，7分 又， 9分 兩式相減得11分 ，12分 .13分16（本小題滿分14分）（）證明：連結(jié)交于，連結(jié) ， ， 1分， 3分，. 4分（）如圖所示，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，,5分,7分異面直線與所成角的余弦值為.8分（）側(cè)棱, 9分設(shè)的法向量為,，并且,，令得，,的一個(gè)法向量為.11分,13分由圖可知二面角的大小是銳角,二面角大小的余弦值為.14分 17 （本小題滿分13分）解：（）設(shè)“4人恰好選擇了同一家公園”為事件A. 1分每名志愿者都有3種選擇，4名志愿者的選擇共有種等可能的情況. 2分事件A所包含的等可能事件的個(gè)數(shù)為3， 3分所以，. 即：4人恰好選擇了同一家公園的概率為. 5分（）設(shè)“一名志愿者選擇甲公園”為事件C，則.6分4人中選擇甲公園的人數(shù)可看作4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件C發(fā)生的次數(shù)，因此，隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布.可取的值為0，1，2，3，4. .8分， .10分的分布列為:01234.12分的期望為 .13分18.（本小題滿分13分）解法一：（）依題意得，所以，.1分 令，得，.2分 ，隨x的變化情況入下表：x0+0極小值極大值4分 由上表可知，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，是函數(shù)的極大值點(diǎn). 5分（） , .6分由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減可知：對(duì)任意恒成立，.7分 當(dāng)時(shí)，顯然對(duì)任意恒成立；.8分 當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，因?yàn)椋坏仁降葍r(jià)于,.9分 令， 則，在上顯然有恒成立，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，所以在上的最小值為，.11分由于對(duì)任意恒成立等價(jià)于對(duì)任意恒成立，需且只需，即，解得，因?yàn)椋?綜合上述，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.13分解法二：（）同解法一（）, .6分由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減可知：對(duì)任意恒成立， 即對(duì)任意恒成立，7分 當(dāng)時(shí)，顯然對(duì)任意恒成立；8分 當(dāng)時(shí)，令，則函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，.9分 若，即時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，要使對(duì)任意恒成立，需且只需，解得，所以;.11分 若，即時(shí)，由于函數(shù)的圖象是連續(xù)不間斷的，假如對(duì)任意恒成立，則有，解得，與矛盾，所以不能對(duì)任意恒成立.綜合上述，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.13分19（本小題滿分13分）解：（）由題意，拋物線的方程為：， 2分（）設(shè)直線的方程為：.聯(lián)立，消去，得 ， 3分顯然，設(shè)，則 4分又，所以 5分由 消去，得 ， 故直線的方程為或 . 6分（）設(shè)，則中點(diǎn)為， 因?yàn)閮牲c(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以，即，解之得， 8分將其代入拋物線方程，得：，所以，. 9分聯(lián)立 ，消去，得：. 10分由，得，即， 12分將，代入上式并化簡(jiǎn)，得，所以，即， 因此，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為. 13分20（本小題滿分14分）解：（）由題意可得: ,1分.2分（）, 3分, 4分,5分當(dāng)時(shí)，,;當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.綜上所述，6分即存在，使得是上的4階收縮函數(shù). 7分（）,令得或.函數(shù)的變化情況如下：令，解得或3. 8分）時(shí)，在上單調(diào)遞增，因此，.因?yàn)槭巧系?階收縮函數(shù)，所以，對(duì)恒成立；存在，使得成立. 9分即：對(duì)恒成立，由，解得：或，要使對(duì)恒成立，需且只需. .10分即：存在，使得成立.由得：或，所以，需且只需.綜合可得：. .11分）當(dāng)時(shí)，顯然有，由于在上單調(diào)遞增，根據(jù)定義可得：，可得 ，此時(shí)，不成立. .13分綜合）可得：.注：在）中只要取區(qū)間（1，2）內(nèi)的一個(gè)數(shù)來(lái)構(gòu)造反例均可，這里用只是因?yàn)楹?jiǎn)單而已.