機械手-兩足行走機器人——頭部、臂部控制部分設(shè)計

機械手-兩足行走機器人——頭部、臂部控制部分設(shè)計,機械手,行走,機器人,頭部,臂部,控制,節(jié)制,部分,部份,設(shè)計 南京理工大學泰州科技學院 畢業(yè)設(shè)計(論文)外文資料翻譯 系　　部： 機械工程 專 業(yè)： 機械工程及自動化 姓 名： 吳玉坤 學 號： 05010236 (用外文寫) 外文出處： Control and Robotics(CRB) Technical Report 附 件：1.外文資料翻譯譯文；2.外文原文。 指導教師評語： 譯文比較正確地表達了原文的意義、概念描述基本符合漢語的習慣，語句較通暢，層次較清晰。 簽名： 年 月 日 附件1：外文資料翻譯譯文 輪式移動機器人的導航與控制 摘要：本文研究了把幾種具有導航功能的方法運用于不同的控制器開發(fā)，以實現(xiàn)在一個已知障礙物前面控制一個開環(huán)系統(tǒng)（例如：輪式移動機器人）執(zhí)行任務(wù)。第一種方法是基于三維坐標路徑規(guī)劃的控制方法。具有導航功能的控制器在自由配置的空間中生成一條從初始位置到目標位置的路徑。位移控制器控制移動機器人沿設(shè)置的路徑運動并停止在目標位置。第二種方法是基于二維坐標路徑規(guī)劃的控制方法。在二維平面坐標系中建立導航函數(shù)，基于這種導航函數(shù)設(shè)計的微控制器是漸進收斂控制系統(tǒng)。仿真結(jié)果被用來說明第二種控制方法的性能。 1介紹 很多研究者已經(jīng)提出不同算法以解決在障礙物雜亂的環(huán)境下機器人的運動控制問題。對與建立無碰撞路徑和傳統(tǒng)的路徑規(guī)劃算法，參考文獻[19]的第一章第九部分中提供了的全面總結(jié)。從Khatib在參考文獻[13]的開創(chuàng)性工作以來，很顯然控制機器人在已知障礙物下執(zhí)行任務(wù)的主流方法之一依然是構(gòu)建和應(yīng)用位函數(shù)?？傊?，位函數(shù)能夠提供機器人工作空間、障礙位置和目標的位場。在參考文獻[19]中提供對于位函數(shù)的全面研究。應(yīng)用位函數(shù)的一個問題是局部極小化的情況可能發(fā)生以至于機器人無法到達目標位置。不少研究人士提出了解決局部極小化錯誤的方法（例如參考文獻[2], [3],[5], [14], [25]）。其中Koditschek在參考文獻[16]中提供了一種解決局部極小化錯誤的方法，那是通過基于一種特殊的位函數(shù)的完整系統(tǒng)構(gòu)建導航函數(shù)，此函數(shù)有精確的數(shù)學結(jié)構(gòu)，它能夠保證存在唯一最小值。 在針對標準的 (完整的)系統(tǒng)的先前的結(jié)果的影響下, 面對更多的具有挑戰(zhàn)性的非完整系統(tǒng)，越來越多的研究集中于位函數(shù)方法的發(fā)展(例如.,機器人)。例如, Laumond 等人 [18] 用幾何路線策劃器構(gòu)建了一條忽略機器人非完全約束的無障礙路線, 然后把幾何線路分成更短的線路來滿足非完全限制,然后應(yīng)用最佳路線來減少路程。在 [10] 和 [11]中, Guldner 等人使用間斷變化的模式控制器迫使機器人的位置沿著位函數(shù)的負傾斜度變動，及其定位與負傾斜度一致。在[1], [15], 和 [21]中,持續(xù)的位場控制器也保證了位函數(shù)的負傾斜度的位置追蹤和定位追蹤。在[9]中，面對目標因為周邊的障礙物而不能達到這一情況時，Ge和Cui 最近提出一種新的排斥的位函數(shù)的方法來解決這一問題。 在 [23]和[24]中, Tanner 等人采用[22] 中提出的導航函數(shù)研究和偶極位場概念為一個不完全移動操縱器建立導航函數(shù)控制器。特別是, [23] 和 [24] 中的結(jié)果使用了間斷控制器來追蹤導航函數(shù)的負傾斜度, 在此過程中，一個不平坦的偶極位場使得機器人按照預想的定位拐入目標位置。 本文介紹了為不完全系統(tǒng)達到導航目標的兩種不同的方法。在第一個方法中, 產(chǎn)生了一個三維空間似導航函數(shù)的預想的軌道，它接近于機器人自由配置空間上的唯一最小值的目標位置和定位。然后利用連續(xù)控制結(jié)構(gòu)使機器人沿著這條路線走，在目標位置和定位點停下(例如,控制器解決一體化的追蹤和調(diào)節(jié)問題)。這種方法特別的地方是機器人根據(jù)預想的定位到達目標位置，而不需要像許多先前的結(jié)果中一樣轉(zhuǎn)彎。正如 [4] 和 [20]中描述的一樣, 一些因素如光線降低現(xiàn)象，更有效處罰離開預期周線的機器人的能力，使執(zhí)行任務(wù)速度恒定的能力，以及達到任務(wù)協(xié)調(diào)性和同步性的能力提高等為按照目前位置和定位壓縮預期軌道提供動機。至于即時的二維空間問題 設(shè)計一個連續(xù)控制器，沿著一個導航函數(shù)的負傾斜度駕駛機器人到達目標位置。像許多先前的結(jié)果一樣，在線二維空間方法的定位需要進一步發(fā)展 (例如, 一個單獨的調(diào)節(jié)控制器，一個偶極位場方法 [23], [24]; 或一個有效障礙物[9])來使機器人與預期的定位在一條線上。模擬結(jié)果闡明了第二種方法的效果。 2 運動學模型 本文所討論的不完全系統(tǒng)的種類可以作為運動轉(zhuǎn)輪的模型 這里定義為 在(1)中, 矩陣定義為 速度向量 定義為 其中vc(t), ωc(t) ∈ R 表示系統(tǒng)線速度和角速度。在(2)中, xc(t), yc(t),θ(t) ∈ R 分別表示位置和定位，xc(t),yc(t) 表示線速度的笛卡爾成分,θ(t) ∈ R 表示角速度。 3 控制目標 本文的控制目標是在一個有障礙物且混亂的環(huán)境下，沿著無碰撞軌道駕駛不完全系統(tǒng)（例如，機器人）到達不變的目標位置和定位，用表示。 特別是從起始位置和定位沿著軌道控制不完全系統(tǒng)，q? ∈ D, 這里的 D 表示一個自由的配置空間。自由配置空間D是整個配置空間的子集，除去了所有含有障礙物碰撞的配置。使軌道計劃控制量化，實際笛卡爾位置和定位與預想的位置和定位之間的差異可表示為 ,定義為 如下 這里設(shè)計了預想的軌道，因此 qd(t) → q?. [16]中，運用導航函數(shù)方法, 利用似導航函數(shù)生成預期路線qd(t)。在本文中似導航函數(shù)有如下定義： 定義1 把D作為連接解析流形和邊界的紐帶, 把q? 當作D內(nèi)部的目標點. 似導航函數(shù)?(q) :D →[0, 1] 是符合下列條件的函數(shù)： 1. ? (q(t)) 第一個命令和可辨第二個命令 (例如,存在與D中的和)。 2. ? (q(t)) 在D的邊界有最大變量。 3. ? (q(t)) 在 q (t) = q?上有唯一的全局最小值. 4. 如果 ，其中εz, εr ∈ R 是正常數(shù)。 5. 如果?(q(t))被ε限制,那么被εr 限制，其中 ε∈ R是正常數(shù)。 4 在線三維空間軌道計劃 4.1 軌道計劃 生成的預期的三維空間軌道如下： 其中?(q) ∈ R 表示定義1中定義的似導航函數(shù), 表示?(q)的傾斜向量, 是另加的限制條件。 假設(shè) 定義1中定義的似導航函數(shù)，沿著由(6)生成的預期軌道，確保了輔助條件N (·) ∈ R3, 表示為 滿足了下面的不等式 其中正函數(shù)ρ (·) 在和 中是不減少的。(8) 中給的不等式將在以后的穩(wěn)定性分析中用到。 4.2 模型轉(zhuǎn)換 為了達到控制目標，控制器必須能夠追蹤預期軌道，停在目標位置q?上. 最后, 使用[7] 中提到的統(tǒng)一追蹤和調(diào)節(jié)控制器。為了改進[7]中的控制器,必須把 (5)中定義的開路錯誤系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為合適的形式。(5)中定義的位置和定位循跡誤差信號通過以下全應(yīng)可逆轉(zhuǎn)換[8]和輔助循跡誤差變量w(t) ∈ R 和有關(guān)。 ?? 運用 (9)中的時間導數(shù)和 (1)-(5)及(9)后, 根據(jù)(9)定義的輔助變數(shù)，循跡誤差可表示為 [8] 其中表示不相稱矩陣，定義為 定義為 (10)中介紹的輔助控制輸入 根據(jù) 和定義如下 ?. 4.3 控制發(fā)展 為了促進控制發(fā)展, 一個輔助誤差信號, 用表示, 是后來設(shè)計的動態(tài)似振蕩器信號 和轉(zhuǎn)換的變量z(t)之間的差別, 如下 根據(jù)(10)中開路運動系統(tǒng)和后來的穩(wěn)定性分析, 我們把 u(t)設(shè)計為[7] 其中 k2 ∈ R 是正的不變的控制增長率。(15)中介紹的輔助控制條件定義為 其中輔助信號zd(t)由下列微分方程式和初始條件決定 輔助條件Ω1(w, f, t) ∈ R and δd(t) ∈ R 分別為 和 , k1, α0, α1, ε1 ∈ R是正的不變的控制增長率, 在(12)中有定義。正如 [8]中描述的一樣, (17)和(19)中結(jié)構(gòu)是以以下事實為基礎(chǔ)的 根據(jù)(9), e (t) f能夠用, 和表示出來，如下 其中表示為 在隨后的穩(wěn)定性分析推動下，附加的限制條件vr (t) 表示如下 其中 k3, k4 ∈ R 是正的不變的控制增長率, 正函數(shù)ρ1 (zd1, z1, qd, e), ρ2 (zd1, z1, qd, e) ∈ R 表示為 4.4 閉環(huán)誤差系統(tǒng) 把(15)替換到(10)中后, 得到含有w(t) 如下的公式 這里利用了(14)和(11)中J的屬性。 第二次出現(xiàn) ua(t)時把(16)替換到(26)中，利用(20)和(11)中J的屬性, 最終得到的w(t)閉環(huán)誤差系統(tǒng)表達式如下 為了確定閉環(huán)誤差系統(tǒng), 我們運用(14)中的時間導數(shù)，替換 (10) 和(17) 到最終表達式， 達到下面的表達式 替換(15)和(16)到(28), (28) 可以寫成 第二次出現(xiàn) Ω1 (t) 時，替換(18)到(29) ，然后刪去相同部分，得到表達式： 因為(30)中的相等條件和 (16)中定義的ua (t)是一樣的, 得到 閉環(huán)誤差系統(tǒng)的最終表達式 如下 備注1 根據(jù)(19)中δd (t )接近任意小常量，(16), (17),和(18)中禁止產(chǎn)生位奇點。 4.5 穩(wěn)定性分析 法則1 倘若qd (0) ∈ D, (6)中產(chǎn)生的預期軌道連同附加的限制條件vr (t) 保證了 和 ， 其中 εr在定義1中有解釋。 證明: 讓V (t) ∈ R 表示下面的函數(shù) 其中 k ∈ R 是一個正常數(shù), V1 (t) ∈ R 表示 下面的函數(shù) V2 (qd) : D → R 表示下面的一個函數(shù) 運用(33)中時間導數(shù)，替換 (27) 和(31) 到最終的表達式，刪去相同部分, 得到下面的表達式 運用(34)中時間導數(shù)和(6), 得到下面的表達式 其中 N (·) 在(7)中有定義。 根據(jù) (8), V2 (t) 是上限，如下 替換 (21)到(37), 得到下面的不等式 其中向量表示如下 正函數(shù) ρ1 (zd1, z1, qd, e) 和ρ2 (zd1, z1, qd, e)在(25)中有所定義。替換 (24)到(38), V2 (t)可以重新寫成如下 根據(jù) (35) 和 (40), (32)中 V (t)的時間導數(shù)可以按下面的不等式得到上限 其中正常數(shù) 表示如下 . 案例 1: 如果,根據(jù)定義1中屬性4，得到 案例 2: 如果 ,根據(jù) (32), (33),(34), 和(41) 得到 其中 和 是正常數(shù). 根據(jù) (42), V (t)得到上限如下 因此 根據(jù) (32), (34), 和 (44),得到 如果 qd (0)不在D的邊界, ?(qd (0)) < 1， k 可以符合 根據(jù) (45) 和(46), ? (qd (t)) < 1, 因此從定義1得到qd (t) ∈ D， 從(43) 可以得出，?(qd) 最終被限制。 因此, 如果 , k4 則符合 , 其中 ε 在定義1中有解釋，進而在定義1的屬性5中得到定義, 最終被εr限制。 法則2 (15)-(19)中運動學控制法保證全局統(tǒng)一最終限制的(GUUB) 位置和定位按下面公式追蹤 其中 ε1 在(19)中給定, , ε3 和 γ0 是正常數(shù). 證明: 根據(jù) (33) 和(35), V1 (t) 得到上限如下 根據(jù) (48), 得到下面的不等式 根據(jù) (33), (49) 可以被寫成 其中向量Ψ1 (t)在(39)中有定義。 根據(jù)(33) 和(49), 得到w (t) , ∈L∞. 根據(jù) (19)和(20), 我們可以得到zd (t) ∈ L∞. 根據(jù)(14) 和, zd (t) ∈ L∞, 得到z (t) ∈ L∞.因為w (t) , z (t) ∈L∞, 根據(jù)(9)中的逆轉(zhuǎn)換, e (t) ∈L∞. 根據(jù)法則1中qd (t) ∈ L∞ 和 e (t) ∈ L∞,得到q (t) ∈ L∞.由于(22)-(25), qd (t) , zd (t) , z (t) , e (t) ∈ L∞,及定義1中的性質(zhì), 我們得到vr (t), qd (t) ∈ L∞. 根據(jù) (12) 和q (t) , z (t) , qd (t) ∈ L∞, f (θ, z2, qd) ∈ L∞. 然后根據(jù)(18)得到 Ω1 (t) ∈ L∞. 根據(jù)(15)-(17)得到 u (t) , ua (t) , zd (t) ∈ L∞. 根據(jù) f (θ, z2, qd) , z (t) , u (t) ∈ L∞, 利用(10) 得到w(t) , z(t) ∈ L∞. 由于z (t) , zd (t) ∈ L∞ 得到∈ L∞.利用論據(jù)的標準信號可以得出控制之下的所有的剩余信號和系統(tǒng)在閉環(huán)試驗中仍然被限定。 根據(jù) (19), (20), (39), 和(50), 把三元不等式應(yīng)用到(14)可以證明 利用(50)-(51), 根據(jù)(9)中的逆轉(zhuǎn)換得到(47)中的結(jié)果。 備注2 雖然qd (t) 是無碰撞軌道, 如果只確保實際機器人軌道在預期路線的附近，法則2的穩(wěn)定性結(jié)果保證了軌道的實際追蹤。根據(jù) (5) 和(47), 得到下面的限制 其中根據(jù)法則1的證明，qd (t) ∈ D .為了確保q (t) ∈ D, 自由配置空間需要處于(52)右邊的第二和第三條件共同作用。最后，障礙物的大小可以增加 。其中通過調(diào)節(jié)控制增加率，ε3ε1 可以任意小。為了使ε2的影響最小化, 起始條件w(0)和z(0) (因此, ) 要求足夠小來產(chǎn)生可行的路線到達目標。 5 在線二維空間導航 先前的方法中，因為似導航函數(shù)用預期軌道表示，障礙物的尺寸要求增加。在下面的方法中, [22]提出的導航函數(shù)是根據(jù)現(xiàn)有位置反饋表示出來的,因此, 不需要在起始條件里添加限制，q (t) 就可以證明是D的一部分。 5.1 軌道編制 讓?(xc, yc) ∈ R 表示二維空間位置型導航函數(shù), 其中梯度向量?(xc, yc)定義如下 讓θd (xc, yc) ∈ R 表示預期定位，定義為一個二維空間導航函數(shù)的負梯度函數(shù)，如下 其中 arc tan 2 (·) : R2 → R 表示第四象限逆切線函數(shù) [26], 其中 θd (t) 在下面的定義域中 按照[21]規(guī)定,通過定義 ，沿著任何到達目標位置的方向θd(t) 仍然是連續(xù)的。見附錄θd(t)的表達式， 根據(jù)先前的θd(t)連續(xù)定義。 備注3 正如[22]中討論的, 函數(shù) ?(q(t))的建立, 結(jié)合導航函數(shù), 滿足定義1的前三個性質(zhì) 因為排除故障不是簡單的問題。事實上, 對與典型的故障排除來說，建立 ?(q(t))如只有當 q (t) = q?時，，是不大可能的。 這就是說, 如[22]所述, 內(nèi)部承受點的外觀(如不穩(wěn)定平衡 )好像不可避免; 可是, 這些不穩(wěn)定均衡不會真正 造成實踐中的困難。這就是說，如[22]所述可以建立? (q(t))，只有少數(shù)起始條件能夠真正受不穩(wěn)定均衡影響。 5.2 控制發(fā)展 根據(jù)(1)-(4)介紹的開路系統(tǒng)和后來的穩(wěn)定性分析, 線速度控制輸入vc (t)表示如下 其中 kv ∈ R 表示正的不變的控制增長率, 在(5)中有介紹。替換 (55) 到(1),得到下面的 閉環(huán)系統(tǒng) 運用(5)中時間導數(shù)，得到開路定位追蹤誤差系統(tǒng)，如下 . 利用(1)，根據(jù) (57), 角速度控制輸入ωc (t)表示如下 其中 kω ∈ R 表示 正的不變的控制增長率,θd(t) 表示預期定位的時間導數(shù)。見附錄θd (t)外部表達式。替換 (58)到(57), 通過下面的線性關(guān)系，得到閉環(huán)定位追蹤誤差系統(tǒng) 線性分析技巧用來解決(59) 如下 替換 (60) 到(56)，得到下面的閉環(huán)誤差系統(tǒng) 5.3 穩(wěn)定性分析 法則3 (55)和(58)中的控制輸入和導航函數(shù) ?(xc (t) , yc (t)) 在下列條件下 保證了漸近導航 證明: 讓 V3 (xc, yc) : D → R 表示下面的非負函數(shù) 運用(63)時間導數(shù)，利用 (1),(53), 和(56),得到下面的表達式 根據(jù)附錄的說明, 導航函數(shù)的梯度可表示為 替換 (65) 到(64), 得到下面的表達式 利用三角恒等式，(66) 可以寫成 其中 g(t) ∈ R 表示下面的正函數(shù) 根據(jù) (53)和導航函數(shù)的屬性(與定義1的屬性1相同), 可以得到。因此,根據(jù) (55)可以得出vc (t) ∈ L∞ . 附錄同樣證明了θd (t) ∈ L∞ on D;因此, 根據(jù)(58) 得出ωc (t)∈L∞ . 根據(jù)vc (t) ∈ L∞ , 利用(1)-(4) 可以知道xc (t), yc (t) ∈ L∞ .應(yīng)用(53)的時間導數(shù)，得到下面的表達式 因為 xc (t), yc (t) ∈ L∞ , 也因為黑森矩陣的每個成分被導航函數(shù)的屬性限制 (與定義1的屬性1相同 ), 可以得到g(t) ∈ L∞. 根據(jù) (63), (67), (68), 和g(t) ∈ L∞ ,那么輔助定理[6]中的A.6可以用來證明 在D區(qū)域. 根據(jù)1 ,那么 (70) 可以用來證明 . 因此根據(jù)備注3中的分析，可以得到(62)中的結(jié)果。 備注4 這部分控制發(fā)展是以一個二維空間導航函數(shù)為基礎(chǔ)的. 為了達到目標, a 預期的定位 θd (t) 看作是二維空間導航函數(shù)的負梯度函數(shù). 先前的發(fā)展可以用來證明(62)的結(jié)果。如果一個導航函數(shù) ?(xc, yc) 能夠在θd|(x?c ,y?c ) = θ?中找到, 那么漸近導航可以通過(55) 和(58)中控制器達到; 否則, 根據(jù)θd|(x?c ,y?c ) → θ?一個標準的調(diào)節(jié)控制器 (如., 見[8] 中的候選控制器)可能用來調(diào)節(jié)機器人的定位。作為選擇, 偶極位場方法[23], [24] 或有效障礙物[9]可以用來使導航函數(shù)的梯度場與機器人的目標定位成一行。 6 模擬結(jié)果 為了說明(55) 和(58)中控制器的成效, 用數(shù)值模擬駕駛機器人從q (xc (0) , yc (0) , θ (0)) 到 q? (x?c , y?c , θ?)。因為導航函數(shù)的屬性是不變的under a diffeomorphism, a diffeomorphism 用來繪制機器人自由配置空間到模型空間 [17]. 正函數(shù) ? (xc, yc)如下 其中 κ 是正整數(shù)參量, 邊界函數(shù) β0 (xc, yc) ∈ R，障礙函數(shù)β1 (xc, yc) ∈ R 定義如下 在(72)中, (xr0, yr0 ) 和 (xr1, yr1 ) 分別是障礙物和分界線的中心, r0, r1 ∈ R 分別是障礙物和界面的半徑。 根據(jù)(71)和(72), 可以看出模型空間是一個排除障礙物函數(shù) β1 (xc, yc)形成的圓的單位圓. 如果 更多的障礙物出現(xiàn), 相應(yīng)的障礙物函數(shù)就能簡單的和導航函數(shù) [17]合成一體. 在[17]中, Koditschek 證明 ? (xc, yc) in (71) 是關(guān)于(xc (t) , yc (t))的導航函數(shù), 假設(shè)κ足夠大. 由于模擬, 模型空間配置選擇如下 其中起始位置和目標配置為 利用(55) 和(58)中定義的控制輸入沿著負梯度角駕駛機器人到目標點?？刂圃鲩L率kv 和 kω調(diào)整到下面的值來產(chǎn)生最好的效果 一旦機器人到達目標位置, [8]中的調(diào)節(jié)控制器按照θd|(x?c ,y?c ) → θ?調(diào)節(jié)機器人。機器人的實際軌道如圖1所示。. 圖1中的外圓描述了障礙物自由空間外邊界，內(nèi)部的圓代表了障礙物周圍的邊界。機器人的最終位置和定位誤差如圖2所示, 其中轉(zhuǎn)動誤差如圖2所示是實際定位和目標定位之間的誤差。(55)和(58)分別定義的控制輸入速度vc(t) 和ωc(t)如圖3所示。值得注意的是角速度輸入 在 ±90[deg ·s?1]之間人為飽和。 7 結(jié)論 兩種方法都把導航函數(shù)方法合并到不同的控制器，在已知障礙物面前執(zhí)行任務(wù)。第一種方法利用 以3D 位置和定位信息為基礎(chǔ)的似導航函數(shù)。似導航函數(shù)生成一條軌道從自由配置空間里的初始配置到目標配置. 一個可微的振蕩器型控制器使這個移動式遙控裝置沿著這條路線走，在目標位置停止.。利用這種方法, 機器人可以用一個任意的目標定位產(chǎn)生統(tǒng)一最終綁定路線和調(diào)節(jié)目標點(例如., 機器人不需要固定在目標位置旋轉(zhuǎn)來達到預期的定位)。 第二種方法使用的是二維空間位置信息建立的導航函數(shù)。根據(jù)這個導航函數(shù)，使用一個可辨的控制器。這個方法的好處是產(chǎn)生了漸近位置收斂; 可是，機器人如果沒有附加的條件就不能在任意定位停止。模擬結(jié)果用來說明第二種方法的效果。 附錄 根據(jù)(54)中θd (t)的定義, θd (t) 可用自然對數(shù)表示的表達式如下 [26] 其中 ， 使用下面的恒等式 [26] 利用(74)得到下面的表達式 利用 (75)和(76), 得到下面的表達式 根據(jù)(74)中的表達式，θd (t)的時間導數(shù)可以寫成 其中， · 替換 (1), (79), 和(80)到(78), 得到下面的表達式 替換 (55) 和(77)到(81), 得到下面的表達式 · 定義1的第一部分限制了黑森矩陣的每個元件，因此根據(jù) (82),直接得到úθd (t) ∈L∞. 附件2：外文原文（復印件） Navigation and Control of a Wheeled Mobile Robot Abstract: Several approaches for incorporating navigation function approach into different controllers are developed in this paper for task execution by a nonholonomic system (e.g., a wheeled mobile robot) in the presence of known obstacles. The first approach is a path planning-based control with planning a desired path based on a 3-dimensional position and orientation information. A navigation-like function yields a path from an initial configuration inside the free configuration space of the mobile robot to a goal configuration. A differentiable, oscillator-based controller is then used to enable the mobile robot to follow the path and stop at the goal position. A second approach is developed for a navigation function that is constructed using 2-dimensional position information. A differentiable controller is proposed based on this navigation function that yields asymptotic convergence. Simulation results are provided to illustrate the performance of the second approach. 1 Introduction Numerous researchers have proposed algorithms to address the motion control problem associated with robotic task execution in an obstacle cluttered environment. A comprehensive summary of techniques that address the classic geometric problem of constructing a collision-free path and traditional path planning algorithms is provided in Section 9, .Literature Landmarks of Chapter 1 of [19]. Since the pioneering work by Khatib in [13], it is clear that the construction and use of potential functions has continued to be one of the mainstream approaches to robotic task execution among known obstacles. In short, potential functions produce a repulsive potential field around the robot workspace boundary and obstacles and an attractive potential Teld at the goal configuration. A comprehensive overview of research directed at potential functions is provided in [19]. One of criticisms of the potential function approach is that local minima can occur that can cause the robot to get stuck without reaching the goal position. Several researchers have proposed approaches to address the local minima issue (e.g., see [2],[3], [5], [14], [25]). One approach to address the local minima issue was provided by Koditschek in [16] for holonomic systems (see also [17] and [22]) that is based on a special kind of potential function, coined a navigation function, that has a refined mathematical structure which guarantees a unique minimum exists. By leveraging from previous results directed at classic (holonomic) systems, more recent research has focused on the development of potential function-based approaches for more challenging nonholonomic systems (e.g., wheeled mobile robots (WMRs)). For example, Laumond et al. [18] used a geometric path planner to generate a collision-free path that ignores the nonholonomic constraints of a WMR, and then divided the geometric path into smaller paths that satisfy the nonholonomic constraints, and then applied an optimization routine to reduce the path length. In [10] and [11], Guldner et al. use discontinuous, sliding mode controllers to force the position of a WMR to track the negative gradient of a potential function and to force the orientation to align with the negative gradient. In [1], [15], and [21], continuous potential field-based controllers are developed to also ensure position tracking of the negative gradient of a potential function, and orientation tracking of the negative gradient. More recently, Ge and Cui present a new repulsive potential function approach in [9] to address the case when the goal is non-reachable with obstacles nearby (GNRON). In [23] and [24], Tanner et al. exploit the navigation function research of [22] along with a dipolar potential field concept to develop a navigation function-based controller for a nonholonomic mobile manipulator. Specifically, the results in [23] and [24] use a discontinuous controller to track the negative gradient of the navigation function, where a nonsmooth dipolar potential field causes the WMR to turn in place at the goal position to align with a desired orientation. In this paper, two different methods are proposed to achieve a navigation objective for a nonholonomic system. In the first approach, a 3-dimensional (3D) navigation-like function-based desired trajectory is generated that is proven to ultimately approach to the goal position and orientation that is a unique minimum over the WMR free configuration space. A continuous control structure is then utilized that enables the WMR to follow the path and stop at the goal position and orientation set point (i.e., the controller solves the unified tracking and regulation problem). The unique aspect of this approach is that the WMR reaches the goal position with a desired orientation and is not required to turn in place as in many of the previous results. As described in [4] and [20], factors such as the radial reduction phenomena, the ability to more effectively penalize the robot for leaving the desired contour, the ability to incorporate invariance to the task execution speed, and the improved ability to achieve task coordination and synchronization provide motivation to encapsulate the desired trajectory in terms of the current position and orientation. For the on-line 2D problem, a continuous controller is designed to navigate the WMR along the negative gradient of a navigation function to the goal position. As in many of the previous results, the orientation for the on-line 2D approach requires additional development (e.g., a separate regulation controller; a dipolar potential field approach [23], [24]; or a virtual obstacle [9]) to align the WMR with a desired orientation. Simulation results are provided to illustrate the performance of the second approach. 2 Kinematic Model The class of nonholonomic systems considered in this paper can be modeled as a kinematic wheel where are defined as In (1), the matrixis defined as follows and the velocity vector is defined as with vc(t), ωc(t) ∈ R denoting the linear and angular velocity of the system. In (2), xc(t), yc(t), and θ(t) ∈ R denote the position and orientation, respectively, xc(t), yc(t) denote the Cartesian components of the linear velocity, and θ(t) ∈ R denotes the angular velocity. 3 Control Objective The control objective in this paper is to navigate a non-holonomic system (e.g., a wheeled mobile robot) along a collision-free path to a constant, goal position and orientation, denoted by , in an obstacle cluttered environment with known obstacles. Specifically, the objective is to control the non-holonomic system along a path from an initial position and orientation to q? ∈ D, where D denotes a free configuration space. The free configuration space D is a subset of the whole configuration space with all configurations removed that involve a collision with an obstacle. To quantify the path planning-based control objective, the difference between the actual Cartesian position and orientation and the desired position and orientation, denoted by, is defined as as follows where the desired trajectory is designed so that qd(t) → q?. Motived by the navigation function approach in [16], a navigation-like function is utilized to generate the desired path qd(t). Specifically, the navigation-like function used in this paper is defined as follows Definition 1 Let D be a compact connected analytic manifold with boundary, and let q? be a goal point in the interior of D. The navigation-like function ? (q): D → [0, 1], is a function satisfies the following properties: 1. ? (q(t)) is first order and second order differentiable (i.e., and ′exist on D). 2. ? (q(t)) obtains its maximum value on the boundary of D. 3. ? (q(t)) has unique global minimum at q (t) = q?. 4. If with εz, εr ∈ R being known positive constants. 5. If ? (q(t)) is ultimately bounded by ε, then is ultimately bounded by εr with ε∈ R being some known positive constant. 4 Online 3D Path Planner 4.1 Trajectory Planning The 3D desired trajectory can be generated online as follows where ?(q) ∈ R denotes a navigation-like function defined in Definition 1, denotes the gradient vector of ?(q), and is an additional control term to be designed. Assumption The navigation-like function defined in Definition 1 along with the desired trajectory generated by (6) ensures an auxiliary terms N (·) ∈ R3, defined as satisfy the following inequality where the positive function ρ (·) is nondecreasing in and . The inequality given by (8) will be used in the subsequent stability analysis. 4.2 Model Transformation To achieve the control objective, a controller must be designed to track the desired trajectory developed in (6) and stop at the goal position q?. To this end, the unified tracking and regulation controller presented in [7] can be used. To develop the controller in [7], the open-loop error system defined in (5) must be transformed into a suitable form. Specifically, the position and orientation tracking error signals defined in (5) are related to the auxiliary tracking error variables w(t) ∈ R and through the following global invertible transformation [8] ?? After taking the time derivative of (9) and using (1)-(5) and (9), the tracking error dynamics can be expressed in terms of the auxiliary variables defined in (9) as follows [8] wheredenotes a skew-symmetric matrix defined as and is defined as The auxiliary control inputintroduced in (10) is defined in terms of and as follows 4.3 Control Development To facilitate the control development, an auxiliary error signal, denoted by, is defined as the difference between the subsequently designed dynamic oscillator-like signal and the transformed variable z(t), defined in (9), as follows Based on the open-loop kinematic system given in (10) and the subsequent stability analysis, we design u(t) as follows [7] where k2 ∈ R is a positive, constant control gain. The auxiliary control term introduced in (15) is defined as where the auxiliary signal zd(t) is defined by the following differential equation and initial condition The auxiliary terms Ω1 (w, f, t) ∈ R and δd(t) ∈ R are defined as and respectively, k1, α0, α1, ε1 ∈ R are positive, constant control gains, andwas defined in (12). As described in [8], motivation for the structure of (17) and (19) is based on