2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)概念 第2節(jié) 函數(shù)及其表示（1）教案 新人教A版必修1.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)概念 第2節(jié) 函數(shù)及其表示（1）教案 新人教A版必修1教學(xué)分析函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的基本概念之一在中學(xué)，函數(shù)的學(xué)習(xí)大致可分為三個(gè)階段第一階段是在義務(wù)教育階段，學(xué)習(xí)了函數(shù)的描述性概念，接觸了正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等最簡單的函數(shù)，了解了它們的圖象、性質(zhì)等本節(jié)學(xué)習(xí)的函數(shù)概念與后續(xù)將要學(xué)習(xí)的函數(shù)的基本性質(zhì)、基本初等函數(shù)()和基本初等函數(shù)()是學(xué)習(xí)函數(shù)的第二階段，這是對函數(shù)概念的再認(rèn)識階段第三階段是在選修系列的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的學(xué)習(xí)，這是函數(shù)學(xué)習(xí)的進(jìn)一步深化和提高在學(xué)生學(xué)習(xí)用集合與對應(yīng)的語言刻畫函數(shù)之前，學(xué)生已經(jīng)把函數(shù)看成變量之間的依賴關(guān)系；同時(shí)，雖然函數(shù)概念比較抽象，但函數(shù)現(xiàn)象大量存在于學(xué)生周圍因此，課本采用了從實(shí)際例子中抽象出用集合與對應(yīng)的語言定義函數(shù)的方式介紹函數(shù)概念三維目標(biāo)1會用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，理解函數(shù)符號yf(x)的含義；通過學(xué)習(xí)函數(shù)的概念，培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、提出問題的探究能力，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和抽象概括能力；啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用函數(shù)模型表述思考和解決現(xiàn)實(shí)世界中蘊(yùn)涵的規(guī)律，逐漸形成善于提出問題的習(xí)慣，學(xué)會數(shù)學(xué)表達(dá)和交流，發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識2掌握構(gòu)成函數(shù)的三要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域，體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用，使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)函數(shù)的必要性和重要性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：理解函數(shù)的模型化思想，用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)教學(xué)難點(diǎn)：符號“yf(x)”的含義，不容易認(rèn)識到函數(shù)概念的整體性，而將函數(shù)單一地理解成對應(yīng)關(guān)系，甚至認(rèn)為函數(shù)就是函數(shù)值課時(shí)安排2課時(shí)第1課時(shí)作者：高建勇導(dǎo)入新課思路1.北京時(shí)間2005年10月12日9時(shí)整，萬眾矚目的“神舟”六號飛船勝利發(fā)射升空，5天后圓滿完成各項(xiàng)任務(wù)并順利返回在“神舟”六號飛行期間，我們時(shí)刻關(guān)注“神舟”六號離我們的距離y隨時(shí)間t是如何變化的，本節(jié)課就對這種變量關(guān)系進(jìn)行定量描述和研究引出課題思路2.問題：已知函數(shù)y請用初中所學(xué)函數(shù)的定義來解釋y與x的函數(shù)關(guān)系？先讓學(xué)生回答后，教師指出：這樣解釋會顯得十分勉強(qiáng)，本節(jié)將用新的觀點(diǎn)來解釋，引出課題推進(jìn)新課(1)給出下列三種對應(yīng)：(幻燈片)一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過26 s落到地面擊中目標(biāo)炮彈的射高為845 m，且炮彈距地面的高度h(單位：m)隨時(shí)間t(單位：s)變化的規(guī)律是h130t5t2.時(shí)間t的變化范圍是數(shù)集At|0t26，h的變化范圍是數(shù)集Bh|0h845則有對應(yīng)f：th130t5t2，tA，hB.近幾十年來，大氣層的臭氧迅速減少，因而出現(xiàn)了臭氧洞問題圖1中的曲線顯示了南極上空臭氧層空洞的面積S(單位：106 km2)隨時(shí)間t(單位：年)從1979xx年的變化情況圖1根據(jù)圖1中的曲線，可知時(shí)間t的變化范圍是數(shù)集At|1979txx，臭氧層空洞面積S的變化范圍是數(shù)集BS|0S26，則有對應(yīng)：f：tS，tA，SB.國際上常用恩格爾系數(shù)反映一個(gè)國家人民生活質(zhì)量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質(zhì)量越高下表中的恩格爾系數(shù)y隨時(shí)間t(年)變化的情況表明，“八五”計(jì)劃以來，我國城鎮(zhèn)居民的生活質(zhì)量發(fā)生了顯著變化“八五”計(jì)劃以來我國城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況時(shí)間(t)1991199219931994199519961997xxxxxxxx恩格爾系數(shù)(y)53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9根據(jù)上表，可知時(shí)間t的變化范圍是數(shù)集At|1991txx，恩格爾系數(shù)y的變化范圍是數(shù)集By|37.9y53.8.則有對應(yīng)：f：ty，tA，yB.以上三個(gè)對應(yīng)有什么共同特點(diǎn)？(2)我們把這樣的對應(yīng)稱為函數(shù)，請用集合的觀點(diǎn)給出函數(shù)的定義.(3)函數(shù)的定義域是自變量的取值范圍，那么你是如何理解這個(gè)“取值范圍”的？(4)函數(shù)有意義又指什么？(5)函數(shù)f：AB的值域?yàn)镃，那么集合BC嗎？活動：讓學(xué)生認(rèn)真思考以上三個(gè)對應(yīng)，也可以分組討論交流，引導(dǎo)學(xué)生找出這三個(gè)對應(yīng)的本質(zhì)共性解：(1)共同特點(diǎn)是：集合A，B都是數(shù)集，并且對于數(shù)集A中的每一個(gè)元素x，在對應(yīng)關(guān)系f：AB下，在數(shù)集B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)(2)一般地，設(shè)A，B都是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作yf(x)，xA，其中x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，函數(shù)值的集合f(x)|xA叫做函數(shù)的值域在研究函數(shù)時(shí)常會用到區(qū)間的概念，設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且ab，如下表所示：定義名稱符號數(shù)軸表示x|axb閉區(qū)間a，bx|axb開區(qū)間(a，b)x|axb半開半閉區(qū)間a，b)x|aa(a，)x|xa(，ax|x0時(shí)，求f(a)，f(a1)的值活動：(1)讓學(xué)生回想函數(shù)的定義域指的是什么？函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，故轉(zhuǎn)化為求使和有意義的自變量的取值范圍.有意義，則x30，有意義，則x20，轉(zhuǎn)化為解由x30和x20組成的不等式組(2)讓學(xué)生回想f(3)，f()表示什么含義？f(3)表示自變量x3時(shí)對應(yīng)的函數(shù)值，f()表示自變量x時(shí)對應(yīng)的函數(shù)值分別將3，代入函數(shù)的對應(yīng)法則中得f(3)，f()的值(3)f(a)表示自變量xa時(shí)對應(yīng)的函數(shù)值，f(a1)表示自變量xa1時(shí)對應(yīng)的函數(shù)值分別將a，a1代入函數(shù)的對應(yīng)法則中得f(a)，f(a1)的值解：(1)要使函數(shù)有意義，自變量x的取值需滿足解得3x2，即函數(shù)的定義域是3，2)(2，)(2)f(3)1；f().(3)a0，a3，2)(2，)，即f(a)，f(a1)有意義則f(a)；f(a1).點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的定義域以及對符號f(x)的理解求使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，通常轉(zhuǎn)化為解不等式組f(x)是表示關(guān)于變量x的函數(shù)，又可以表示自變量x對應(yīng)的函數(shù)值，是一個(gè)整體符號，分開符號f(x)沒有什么意義符號f可以看作是對“x”施加的某種法則或運(yùn)算例如f(x)x2x5，當(dāng)x2時(shí)，看作“2”施加了這樣的運(yùn)算法則：先平方，再減去2，再加上5；當(dāng)x為某一代數(shù)式(或某一個(gè)函數(shù)記號時(shí))，則左右兩邊的所有x都用同一個(gè)代數(shù)式(或某一個(gè)函數(shù))來代替如：f(2x1)(2x1)2(2x1)5，fg(x)g(x)2g(x)5等等符號yf(x)表示變量y是變量x的函數(shù)，它僅僅是函數(shù)符號，并不表示y等于f與x的乘積符號f(x)與f(m)既有區(qū)別又有聯(lián)系：當(dāng)m是變量時(shí)，函數(shù)f(x)與函數(shù)f(m)是同一個(gè)函數(shù)；當(dāng)m是常數(shù)時(shí)，f(m)表示自變量xm對應(yīng)的函數(shù)值，是一個(gè)常量已知函數(shù)的解析式，求函數(shù)的定義域，就是求使得函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍，即(1)如果f(x)是整式，那么函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R.(2)如果f(x)是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實(shí)數(shù)的集合(3)如果f(x)是二次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于零的實(shí)數(shù)的集合(4)如果f(x)是由幾個(gè)部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義的實(shí)數(shù)集合(即求各部分定義域的交集)(5)對于由實(shí)際問題的背景確定的函數(shù)，其定義域還要受實(shí)際問題的制約.變式訓(xùn)練1函數(shù)y的定義域?yàn)開答案：x|x1，且x1點(diǎn)評：本題容易錯解：化簡函數(shù)的解析式為yx1，得函數(shù)的定義域?yàn)閤|x1其原因是這樣做違背了討論函數(shù)問題要保持定義域優(yōu)先的原則化簡函數(shù)的解析式容易引起函數(shù)的定義域發(fā)生變化，因此求函數(shù)的定義域之前時(shí)，不要化簡解析式2若f(x)的定義域?yàn)镸，g(x)|x|的定義域?yàn)镹，令全集UR，則MN等于()AM BNCUM DUN解析：由題意得Mx|x0，NR，則MNx|x0M.答案：A3已知函數(shù)f(x)的定義域是1,1，則函數(shù)f(2x1)的定義域是_解析：要使函數(shù)f(2x1)有意義，自變量x的取值需滿足12x11，0x1.答案：0,1本節(jié)課學(xué)習(xí)了：函數(shù)的概念、函數(shù)定義域的求法和對函數(shù)符號f(x)的理解課本習(xí)題1.2，A組，1,5.本節(jié)教學(xué)中，在歸納函數(shù)的概念時(shí)，本節(jié)設(shè)計(jì)運(yùn)用了大量的實(shí)例，如果不借助于信息技術(shù)，那么會把時(shí)間浪費(fèi)在實(shí)例的書寫上，會造成課時(shí)不足即拖堂現(xiàn)象本節(jié)重點(diǎn)設(shè)計(jì)了函數(shù)定義域的求法，而函數(shù)值域的求法將放在函數(shù)的表示法中學(xué)習(xí)由于函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，也是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，因此對函數(shù)的概念等知識進(jìn)行了適當(dāng)?shù)耐卣?，以滿足高考的需要第2課時(shí)作者：劉玉亭復(fù)習(xí)1函數(shù)的概念2函數(shù)的定義域的求法導(dǎo)入新課思路1.當(dāng)實(shí)數(shù)a，b的符號相同，絕對值相等時(shí)，實(shí)數(shù)ab；當(dāng)集合A，B中元素完全相同時(shí)，集合AB；那么兩個(gè)函數(shù)滿足什么條件才相等呢？引出課題：函數(shù)相等思路2.我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念，yx與y是同一個(gè)函數(shù)嗎？這就是本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容，引出課題：函數(shù)相等推進(jìn)新課指出函數(shù)yx1的構(gòu)成要素有幾部分？一個(gè)函數(shù)的構(gòu)成要素有幾部分？分別寫出函數(shù)yx1和函數(shù)yt1的定義域和對應(yīng)關(guān)系，并比較異同.函數(shù)yx1和函數(shù)yt1的值域相同嗎？由此可見兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系分別相同，值域相同嗎？由此你對函數(shù)的三要素有什么新的認(rèn)識？討論結(jié)果：函數(shù)yx1的構(gòu)成要素為：定義域R，對應(yīng)關(guān)系xx1，值域是R.一個(gè)函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域，簡稱為函數(shù)的三要素其中定義域是函數(shù)的靈魂，對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)的核心當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的三要素都相同時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)才相同定義域和對應(yīng)關(guān)系分別相同值域相同如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系分別相同，那么它們的值域一定相等因此只要兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系分別相同，那么這兩個(gè)函數(shù)就相等例題 下列函數(shù)中哪個(gè)與函數(shù)yx相等？(1)y()2；(2)y；(3)y；(4)y.活動：讓學(xué)生思考兩個(gè)函數(shù)相等的條件后，引導(dǎo)學(xué)生求出各個(gè)函數(shù)的定義域，化簡函數(shù)關(guān)系式為最簡形式只要它們定義域和對應(yīng)關(guān)系分別相同，那么這兩個(gè)函數(shù)就相等解：函數(shù)yx的定義域是R，對應(yīng)關(guān)系是xx.(1)函數(shù)y()2的定義域是0，)，函數(shù)y()2與函數(shù)yx的定義域不相同函數(shù)y()2與函數(shù)yx不相等(2)函數(shù)y的定義域是R，函數(shù)y與函數(shù)yx的定義域相同又yx，函數(shù)y與函數(shù)yx的對應(yīng)關(guān)系也相同函數(shù)y與函數(shù)yx相等(3)函數(shù)y的定義域是R，函數(shù)y與函數(shù)yx的定義域相同又y|x|，函數(shù)y與函數(shù)yx的對應(yīng)關(guān)系不相同函數(shù)y與函數(shù)yx不相等(4)函數(shù)y的定義域是(，0)(0，)，函數(shù)y與函數(shù)yx的定義域不相同，函數(shù)y與函數(shù)yx不相等點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)相等的含義討論函數(shù)問題時(shí)，要保持定義域優(yōu)先的原則對于判斷兩個(gè)函數(shù)是否是同一個(gè)函數(shù)，要先求定義域，若定義域不同，則不是同一個(gè)函數(shù)；若定義域相同，再化簡函數(shù)的解析式，若解析式相同(即對應(yīng)關(guān)系相同)，則是同一個(gè)函數(shù)，否則不是同一個(gè)函數(shù).變式訓(xùn)練判斷下列各組的兩個(gè)函數(shù)是否相同，并說明理由yx1，xR與yx1，xN；y與y；y1與u1；yx2與yx；y2|x|與y是同一個(gè)函數(shù)的是_(把是同一個(gè)函數(shù)的序號填上即可)解析：只需判斷函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則是否均相同即可 前者的定義域是R，后者的定義域是N，由于它們的定義域不同，故不是同一個(gè)函數(shù)； 前者的定義域是x|x2或x2，后者的定義域是x|x2，它們的定義域不同，故不是同一個(gè)函數(shù)； 定義域相同均為非零實(shí)數(shù)，對應(yīng)法則相同都是自變量取倒數(shù)后加1，那么值域必相同，故是同一個(gè)函數(shù)；定義域是相同的，但對應(yīng)法則不同，故不是同一個(gè)函數(shù)； 函數(shù)y2|x|則定義域和對應(yīng)法則均相同，那么值域必相同，故是同一個(gè)函數(shù)故填.答案：1下列給出的四個(gè)圖形中，是函數(shù)圖象的是()圖2A BC D答案：B2函數(shù)yf(x)的定義域是R，值域是1,2，則函數(shù)yf(2x1)的值域是_答案：1,23下列各組函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的有_f(x)，g(x)x；f(x)x0，g(x)；f(x)，g(u)；f(x)x22x，g(u)u22u.答案：問題：函數(shù)yf(x)的圖象與直線xm有幾個(gè)交點(diǎn)？探究：設(shè)函數(shù)yf(x)定義域是D，當(dāng)mD時(shí)，根據(jù)函數(shù)的定義知f(m)唯一，則函數(shù)yf(x)的圖象上橫坐標(biāo)為m的點(diǎn)僅有一個(gè)(m，f(m)，即此時(shí)函數(shù)yf(x)的圖象與直線xm僅有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)mD時(shí)，根據(jù)函數(shù)的定義知f(m)不存在，則函數(shù)yf(x)的圖象上橫坐標(biāo)為m的點(diǎn)不存在，即此時(shí)函數(shù)yf(x)的圖象與直線xm沒有交點(diǎn)綜上所得，函數(shù)yf(x)的圖象與直線xm有交點(diǎn)時(shí)僅有一個(gè)，或沒有交點(diǎn)(1)復(fù)習(xí)了函數(shù)的概念，總結(jié)了函數(shù)的三要素；(2)判斷兩個(gè)函數(shù)是否是同一個(gè)函數(shù)1設(shè)Mx|2x2，Ny|0y2，給出下列4個(gè)圖形，其中能表示以集合M為定義域，N為值域的函數(shù)關(guān)系的是()圖3答案：B2某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品的成本為1 000元，以1 100元的價(jià)格批發(fā)出去，隨生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量的增加，公司收入_，它們之間是_關(guān)系解析：由題意，多生產(chǎn)一單位產(chǎn)品則多收入100元生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量看成是自變量，公司收入看成是因變量，容易得出對于自變量的每一個(gè)確定值，因變量都有唯一確定的值與之對應(yīng)，從而判斷兩者是函數(shù)關(guān)系答案：增加函數(shù)3函數(shù)yx2與St2是同一函數(shù)嗎？答：函數(shù)的確定只與定義域與對應(yīng)關(guān)系有關(guān)，而與所表示的字母無關(guān)，因此yx2與St2表示的是同一個(gè)函數(shù)因此并非字母不同便是不同的函數(shù)，這是由函數(shù)的本質(zhì)決定的本節(jié)教學(xué)內(nèi)容主要是依據(jù)高考說明，對課本內(nèi)容適當(dāng)拓展，重點(diǎn)對函數(shù)的相等問題進(jìn)行了引申，設(shè)計(jì)時(shí)對拓展的內(nèi)容采取漸進(jìn)式，設(shè)計(jì)時(shí)本著逐步提高、拓展，不能急于求成，否則事倍功半備選例題【例1】 已知函數(shù)f(x)，則函數(shù)ff(x)的定義域是_解析：f(x)，x1.ff(x)f().10，即0.x2.f(x)的定義域?yàn)閤|x2且x1答案：x|x2且x1【例2】 已知函數(shù)f(2x3)的定義域是4,5)，求函數(shù)f(2x3)的定義域解：由函數(shù)f(2x3)的定義域得函數(shù)f(x)的定義域，從而求得函數(shù)f(2x3)的定義域設(shè)2x3t，當(dāng)x4,5)時(shí)，有t5,13)，則函數(shù)f(t)的定義域是5,13)，解不等式52x313，得1x8，即函數(shù)f(2x3)的定義域是1,8)函數(shù)的傳統(tǒng)定義和近代定義的比較函數(shù)的傳統(tǒng)定義(初中學(xué)過的函數(shù)定義)與它的近代定義(用集合定義函數(shù))在實(shí)質(zhì)上是一致的兩個(gè)定義中的定義域和值域的意義完全相同；兩個(gè)定義中的對應(yīng)法則實(shí)際上也一樣，只不過敘述的出發(fā)點(diǎn)不同傳統(tǒng)定義是從運(yùn)動變化的觀點(diǎn)出發(fā)，其中對應(yīng)法則是將自變量x的每一個(gè)取值與唯一確定的函數(shù)值對應(yīng)起來；近代定義則是從集合、對應(yīng)的觀點(diǎn)出發(fā)，其中的對應(yīng)法則是將原象集合中任一元素與象集合中的唯一確定的元素對應(yīng)起來至于函數(shù)的傳統(tǒng)定義向近代定義過渡的原因，從歷史上看，函數(shù)的傳統(tǒng)定義來源于物理公式，最初的函數(shù)概念幾乎等同于解析式，要說清楚變量以及兩個(gè)變量的依賴關(guān)系，往往先要弄清各個(gè)變量的物理意義，這就使研究受到了不必要的限制后來，人們認(rèn)識到了定義域和值域的重要性，如果只根據(jù)變量的觀點(diǎn)來解析，會顯得十分勉強(qiáng)，如：符號函數(shù)sgn x用集合與對應(yīng)的觀點(diǎn)來解釋，就顯得十分自然了，用傳統(tǒng)定義幾乎無法解釋，于是就有了函數(shù)的近代定義由于傳統(tǒng)的定義比較生動、直觀，有時(shí)仍然會使用這一定義