數字信號處理-程佩青第三版課件.ppt

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程佩青第三版課件,第一章 離散時間信號與系統(tǒng),學習目標,掌握序列的概念及其幾種典型序列的定義,掌握序列的基本運算，并會判斷序列的周期性。 掌握線性/移不變/因果/穩(wěn)定的離散時間系統(tǒng)的概念并會判斷，掌握線性移不變系統(tǒng)及其因果性/穩(wěn)定性判斷的充要條件。 理解常系數線性差分方程及其用迭代法求解單位抽樣響應。 了解對連續(xù)時間信號的時域抽樣，掌握奈奎斯特抽樣定理，了解抽樣的恢復過程。,1.1 離散時間信號序列,信號是傳遞信息的函數。針對信號的自變量和函數值的取值，可分為三種信號： （1）連續(xù)時間信號 -自變量取連續(xù)值，而函數值可連續(xù)可離散。當函數值是連續(xù)的，又常稱模擬信號，如語音信號、電視信號等。 （2）離散時間信號 -自變量取離散值，而函數值連續(xù)。 （3）數字信號 -自變量和函數值均取離散值。它是信號幅度離散化了的離散時間信號。,離散時間信號是對模擬信號 xa(t) 進行等間隔采樣獲得的，采樣間隔為T，得到：,一、離散時間信號序列的概念,這里 n 取整數。對于不同的 n 值，xa(nT) 是一個有序的數字序列，該數字序列就是離散時間信號。注意，這里的n取整數，非整數時無定義，另外，在數值上它等于信號的采樣值，即,離散時間信號的表示方法：公式表示法、圖形表示法、集合符號表示法，如,二、常用序列,1. 單位抽樣序列(n),2. 單位階躍序列u(n),(n)與u(n)之間的關系,令n-k=m，有,3. 矩形序列RN(n),N為矩形序列的長度,4. 實指數序列,，a為實數,a-1或-1a0,序列的幅值擺動,5. 正弦序列,式中，為數字域頻率，單位為弧度。,如果正弦序列是由模擬信號xa(t)采樣得到的，那么,為模擬角頻率，單位為弧度/秒。T為信號的采樣周期，fs為信號的采樣頻率。,6. 復指數序列,這里為數字域頻率，單位為弧度。當 =0時，上式可表示成,上式還可寫成,表明復指數序列具有以2為周期的周期性，在以后的研究中，頻率域只考慮一個周期就夠了。,7. 周期序列,如果對所有n存在一個最小的正整數N，使下面等式成立：,例：,則稱x(n)為周期序列，最小周期為N。,一般正弦序列的周期性,設,那么,如果,則,N，k均取整數,式中，A為幅度，0為數字域頻率，為初相。,正弦序列的周期性討論：,整數時，則正弦序列有周期，當k=1時，周期為,有理數時，設 =P/Q，要使N=(2/0)k=(P/Q)k為最小正整數，只有k=Q，即N=P 時，所以正弦序列的周期為P,無理數時，則正弦序列無周期。例如，,用單位采樣序列來表示任意序列,三、 序列的運算,1. 序列的加法,同序號的序列值逐項對應相加,2. 序列的乘法,同序號的序列值逐項對應相乘,3. 序列的移位,當 n00 時，序列右移 延遲 當 n00 時，序列左移 超前,4. 序列的翻轉,x(-n)是x(n)的翻轉序列。x(-n)是以縱軸（n=0）為對稱軸將序列x(n)加以翻轉。,5. 尺度變換,6. 累加（等效積分）,7. 差分運算 前向差分 后向差分,8. 卷積和,等效為翻褶、移位、相乘和相加四個步驟。,1.2 線性移不變系統(tǒng),在時域離散系統(tǒng)中，最重要、最常用的是線性時不變系統(tǒng)。,系統(tǒng)可定義為將輸入序列x(n)映射成輸出序列y(n)的唯一變換或運算，并用T表示，即,1.2.1 線性系統(tǒng),若系統(tǒng)滿足可加性與比例性,則稱此系統(tǒng)為離散時間線性系統(tǒng)。,其中a、b為任意常數。,設,例,是線性系統(tǒng)。,證：,所以，此系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。,例,所代表的系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。,證：,但是,所以，此系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。,增量線性系統(tǒng),對增量線性系統(tǒng)，任意兩個輸入的差是兩個輸入差的線性函數,1.2.2 時不變系統(tǒng)（移不變系統(tǒng)）,若,則,n0為任意整數。,輸入移動任意位（如n0位），其輸出也移動這么多位，而幅值卻保持不變。,例,證：,所以，此系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。,例,證：,所以，此系統(tǒng)不是時不變系統(tǒng)。,同理，可證明 所代表的系統(tǒng)不是時不變系統(tǒng)。,1.2.3 線性時不變系統(tǒng)輸入與輸出 之間的關系,一個既滿足疊加原理，又滿足時不變條件的系統(tǒng)，被稱為線性時不變系統(tǒng)(linear shift invariant,LTI)。線性時不變系統(tǒng)可用它的單位抽樣響應來表征。,單位取樣響應，也稱單位沖激響應，是指輸入為單位沖激序列時系統(tǒng)的輸出，一般用h(n)來表示：,根據線性系統(tǒng)的疊加性質,又根據時不變性質,設系統(tǒng)的輸入用x(n)表示，而,因此，系統(tǒng)輸出為,通常把上式稱為離散卷積或線性卷積。這一關系常用符號“*”表示：,線性時不變系統(tǒng)的一個重要特性是它的輸入與輸出序列之間存在著線性卷積關系：,用單位取樣響應h(n)來描述系統(tǒng),線性卷積的計算,計算它們的卷積的步驟如下： (1)折疊：先在啞變量坐標軸k上畫出x(k)和h(k)，將h(k)以縱坐標為對稱軸折疊成 h(-k)。 (2)移位：將h(-k)移位n，得h(n-k)。當n為正數時，右移n；當n為負數時，左移n。 (3)相乘：將h(n-k)和x(k)的對應取樣值相乘。 (4)相加：把所有的乘積累加起來，即得y(n)。,例 已知x(n)和h(n)分別為：,和,a為常數，且1a，試求x(n)和h(n)的線性卷積。,計算線性卷積時，一般要分幾個區(qū)間分別加以考慮，下面舉例說明。,解 參看圖，分段考慮如下：,(1)對于n4，且n-60，即46，且n-64，即64，即n10。,圖解說明,圖解說明,(2)在0n4區(qū)間上,(3)在4n6區(qū)間上,(4)在6n10區(qū)間上,綜合以上結果，y(n)可歸納如下：,卷積結果y(n)如圖所示,例,設有一線性時不變系統(tǒng)，其單位取樣響應為,解：,分段考慮如下：,(1)對于n0； (2)對于0n N1； (3)對于nN。,(2)在0nN 區(qū)間上,(3)在nN 區(qū)間上,例,設有一線性時不變系統(tǒng)，其,解：,對有限長序列相卷，可用豎乘法,注：1. 各點要分別乘、分別加且不跨點進位； 2. 卷和結果的起始序號等于兩序列的起始序號之和。,由上面幾個例子的討論可見，,設x(n)和h(n)兩序列的長度分別是N 和M ，線性卷積后的序列長度為(N + M -1)。,線性卷積滿足以下運算規(guī)律：,交換律,結合律,分配律,序列本身與單位取樣序列的線性卷積等于序列本身：,如果序列與一個移位的單位取樣序列(n-n0)進行線性卷積，就相當于將序列本身移位n0：,例,求系統(tǒng)的輸出y(n)。,m(n),解：設級聯的第一個系統(tǒng)輸出 m(n),1.2.4 系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性,在系統(tǒng)中，若輸出y(n)只取決于n時刻，以及n時刻以前的輸入，即,稱該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。,對于線性時不變系統(tǒng)，具有因果性的充要條件是系統(tǒng)的單位取樣響應滿足：,如,因果系統(tǒng)是指輸出的變化不領先于輸入的變化的系統(tǒng)。,穩(wěn)定系統(tǒng),對一個線性時不變系統(tǒng)來說，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是單位取樣響應絕對可和，即,穩(wěn)定系統(tǒng)是指對于每個有界輸入x(n)，都產生有界輸出y(n)的系統(tǒng)。即如果|x(n)|M(M為正常數)，有|y(n)|+，則該系統(tǒng)被稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。,例,設某線性時不變系統(tǒng)，其單位取樣響應為,式中a是實常數，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。,解：,由于n0時，h(n)=0，故此系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。,所以 時，此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。,例,設某線性時不變系統(tǒng)，其單位取樣響應為,式中a是實常數，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。,解：(1)討論因果性,由于n0時，h(n)0，故此系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)。,(2)討論穩(wěn)定性,所以 時，此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。,1.3 線性常系數差分方程,一個N 階線性常系數差分方程用下式表示：,連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng) 線性常系數微分方程,求解差分方程的基本方法有三種：,經典法,求齊次解、特解、全解,遞推法,求解時需用初始條件啟動計算,變換域法,將差分方程變換到Z域進行求解,例,設差分方程為,求輸出序列,設系統(tǒng)參數,設輸入為,初始條件為,解：,依次類推,差分方程表示法的另一優(yōu)點是可以直接得到系統(tǒng)的結構,1.4 連續(xù)時間信號的抽樣,信號經過采樣以后，將發(fā)生一些什么變化？例如，信號頻譜將發(fā)生怎樣變化； 經過采樣后信號內容會不會有丟失； 如果信號沒有被丟失，其反變換應該怎樣進行，即由數字信號恢復成模擬信號應該具備那些條件等。,1.4.1 采樣,理想采樣,一、理想采樣,定義,單位沖擊函數,t,0, (t),(1),單位沖擊函數有一個重要的性質：,采樣性,若f(t)為連續(xù)函數，則有,將上式推廣，可得,t0, (t-t0),二、頻譜的周期延拓,即,即,由于 是周期函數,可用傅立葉級數表示，即,采樣角頻率,系數,對稱性,移頻特性,根據,采樣信號的傅氏變換為,即,采樣信號的頻譜是原模擬信號頻譜的周期延拓，其延拓周期為s 。,討論：,稱Nyquist采樣率,稱折疊頻率,稱Nyquist范圍,采樣定理 ：,要想采樣后能夠不失真地還原出原信號，則采樣頻率必須大于兩倍原信號頻譜的最高截止頻率s2C。,由上面的分析有，頻譜發(fā)生混疊的原因有兩個： 1.采樣頻率低 2.連續(xù)信號的頻譜沒有被限帶,可選s =(34)C,頻域分析,且在 時，,1.4.2 采樣的恢復,時，,時域分析,g(t),時，,0,T,或,稱為內插函數,采樣內插公式,采樣內插公式說明：只要滿足采樣頻率高于兩倍信號最高截止頻率，則整個連續(xù)時間信號就可以用它的采樣值來完全代表，而不會丟失任何信息。,內插函數,采樣的內插恢復,第二章 z變換和DTFT,本章主要內容：,1、z變換的定義及收斂域 2、z變換的反變換 3、z變換的基本性質和定理 4、離散信號的DTFT 5、z變換與DTFT的關系 6、離散系統(tǒng)的z變換法描述,2.1 z變換的定義及收斂域,信號和系統(tǒng)的分析方法有兩種： 時域分析方法 變換域分析方法 連續(xù)時間信號與系統(tǒng) LT FT 離散時間信號與系統(tǒng) ZT FT,一、ZT的定義,z 是復變量，所在的復平面稱為z平面,二、ZT的收斂域,對于任意給定序列x(n)，使其z變換X(z)收斂的所有z值的集合稱為X(z)的收斂域。 級數收斂的充要條件是滿足絕對可和,1）有限長序列,除0和兩點是否收斂與n1和n2取值情況有關外，整個z 平面均收斂。,如果n20 ，則收斂域不包括點 如果n10 ，則收斂域不包括0點 如果n10n2，收斂域不包括0 、點,2）右邊序列,因果序列的z變換必在處收斂 在處收斂的z變換， 其序列必為因果序列,3）左邊序列,4）雙邊序列,例1,收斂域應是整個z的閉平面,例2：求x(n)=RN(n)的z變換及其收斂域,例3：求x(n)=anu(n)的變換及其收斂域,例4：求x(n)=-anu(-n-1)的變換及其收斂域,例5：求x(n)=a|n|，a為實數，求ZT及其收斂域,給定z變換X(z)不能唯一地確定一個序列，只有同時給出收斂域才能唯一確定。 X(z)在收斂域內解析，不能有極點，故： 右邊序列的z變換收斂域一定在模最大的有限極點所在圓之外 左邊序列的z變換收斂域一定在模最小的有限極點所在圓之內,2.2 z反變換,實質：求X(z)冪級數展開式 z反變換的求解方法： 圍線積分法（留數法） 部分分式法 長除法,z反變換: 從X(z)中還原出原序列x(n),1、圍數積分法求解（留數法）,若函數X(z)zn-1在圍數C上連續(xù)，在C以內有K個極點zk，而在C以外有M個極點zm，則有：,1、圍數積分法求解（留數法）,根據復變函數理論，若函數X(z)在環(huán)狀區(qū)域 內是解析的，則在此區(qū)域內X(z)可展開成羅朗級數，即 而 其中圍線c是在X(z)的環(huán)狀 收斂域內環(huán)繞原點的一條 反時針方向的閉合單圍線。,若F(z)在c外M個極點zm，且分母多項式z的階次比分子多項式高二階或二階以上，則：,利用留數定理求圍線積分，令,若F(z)在圍線c上連續(xù)，在c內有K個極點zk，則：,單階極點的留數：,思考：n=0,1時，F(z)在圍線c外也無極點，為何,2、部分分式展開法求解IZT ：,常見序列的ZT參見書p.54頁的表2-1,若函數X(z) 是z的有理分式，可表示為：,利用部分分式的z反變換和可以得到函數X(z) 的z反變換。,例2 設 利用部分分式法求z反變換。,解：,3、冪級數展開法求解（長除法）:,一般X(z)是有理分式，可利用分子多項式除分母多項式（長除法法）得到冪級數展開式，從而得到x(n)。,根據收斂域判斷x(n)的性質，在展開成相應的z的冪級數 將X(z) X(z)的 x(n) 展成z的 分子分母 按z的 因果序列 負冪級數 降冪排列 左邊序列 正冪級數 升冪排列,例1,ROC1:,長除法示例,解：由Roc判定x(n)是因果序列，用長除法展成z的負冪級數,ROC2:,解：由Roc判定x(n)是左邊序列，用長除法展成z的正冪級數,解：X(z)的Roc為環(huán)狀，故x(n)是雙邊序列 極點z=1/4對應右邊序列，極點z=4對應左邊序列 先把X(z)展成部分分式,1、線性性,2.3 Z變換的基本性質和定理,R1R2,R,|a|R,R,2、序列的移位,3、z域尺度變換 （乘以指數序列）,4、 z域求導 （序列線性加權）,Z變換的基本性質（續(xù)）,5、翻褶序列,1/R,R,6、共軛序列,7、初值定理,8、終值定理,Z變換的基本性質（續(xù)）,9、有限項累加特性,ZT的主要性質參見書p.69頁的表2-2,10、序列的卷積和,11、序列乘法,12、帕塞瓦定理,2.4 序列ZT、連續(xù)信號LT和FT的關系,若：,連續(xù)信號采樣后的拉氏變換LT,抽樣序列：,當,兩變換之間的關系，就是由復變量s平面到復變量z平面的映射，其映射關系為,對比：,進一步討論這一映射關系：,1,s平面到z平面的 映射是多值映射。,:,:,:,:,抽樣序列在單位圓上的z變換，就等于其理想抽樣信號的傅里葉變換,數字頻率w表示z平面的輻角，它和模擬角頻率W的關系為,在以后的討論中，將用數字頻率w來作為z平面上單位圓的參數，即,所以說，數字頻率是模擬角頻率的歸一化值，或是模擬頻率對抽樣頻率的相對比值乘以2p,2.5 離散信號的付氏變換DTFT,一、DTFT的定義,變換對：,稱為離散時間傅里葉變換（DTFT）。,FT存在的充分必要條件是：,如果引入沖激函數，一些絕對不可和的序列，如周期序列，其傅里葉變換可用沖激函數的形式表示出來。,二、比較ZT和DTFT的定義：,利用ZT和DTFT的關系可以有ZT計算DTFT。,序列的傅里葉變換是序列的z變換在單位圓上的值,例1、計算門序列的DTFT,(類似Sa(.)函數 ),(線性相位),解：,DTFT,幅頻特性：,相頻特性：,圖示說明：,例2、已知 ( ),計算其DTFT。,由此可以得到FT的幅頻特性和相頻特性,三、FT與DTFT的關系,歸一化,利用FT與DTFT關系計算下列序列的 DTFT,例：,解：1）,2）,3）,2.6 DTFT的一些性質,1、線性性：,2、實序列：,實偶性：,實奇性：,3、時移特性：,4、乘以指數序列 （調制性）,5、序列線性加權,6、序列翻褶,7、序列共軛,8、卷積定理： (時域) (頻域),DTFT的主要性質參見書p.78頁的表2-3,9、帕塞瓦爾定理：(Parseval Theory),頻域卷積在一周期內積分,稱周期卷積。,下面舉例說明DTFT性質的使用。 計算下列積分I的值。,解：根據,利用時域卷積定理有：,上式卷積n=0時就是積分I的值。,2.7 周期性序列的DTFT,1、復指數序列的傅里葉變換,復指數序列ejw0n的傅里葉變換，是以w0為中心，以2p的整數倍為間距的一系列沖激函數，其積分面積為2p 思考，DTFTcos(w0n+f)、 DTFTsin(w0n+f),2、常數序列的傅里葉變換,常數序列的傅里葉變換，是以w=0為中心，以2p的整數倍為間距的一系列沖激函數，其積分面積為2p,3、周期為N的抽樣序列串的傅里葉變換,周期為N的周期性抽樣序列，其傅里葉變換是頻率在w=2p/N的整數倍上的一系列沖激函數之和，這些沖激函數的積分面積為2p/N,4、一般性的周期為N的周期性序列的傅里葉變換,即：,周期性序列 （周期為N）的傅里葉變換是一系列沖激函數串，其沖激函數的積分面積等于 乘以 ，而 是x(n) 的一個周期的傅里葉變換X(ejw)在頻域中w= 2p/N的整數倍的各抽樣點上的抽樣值。,e滿足0e 2p/N,從w=0之前開始抽樣； 在w=2p之間結束抽樣； 此區(qū)間共有N個抽樣值： 0kN-1,周期序列的DFS正變換和反變換,周期序列的傅里葉級數（DFS）,其中：,2.8 Fourier變換的對稱性質,共軛對稱序列：,共軛反對稱序列：,任意序列可表示成xe(n)和xo(n)之和:,其中：,定義：,其中：,同樣，x(n)的Fourier變換 也可分解成：,對稱性質,序列 Fourier變換,實數序列的對稱性質,序列 Fourier變換,實數序列的Fourier變換滿足共軛對稱性,實部是的偶函數 虛部是的奇函數,幅度是的偶函數 幅角是的奇函數,2.9 離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數、系統(tǒng)的頻率響應,LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數H(z)： 單位抽樣響應h(n)的z變換,其中：y(n)=x(n)*h(n) Y(z)=X(z)H(z),系統(tǒng)的頻率響應 ：,單位圓上的系統(tǒng)函數,單位抽樣響應h(n)的DTFT,1、若LSI系統(tǒng)為因果穩(wěn)定系統(tǒng),穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數H(z)的Roc須包含單位圓， 即頻率響應存在且連續(xù),H(z)須從單位圓到的整個z域內收斂即系統(tǒng)函數H(z)的全部極點必須在單位圓內,1）因果：,2）穩(wěn)定：,序列h(n)絕對可和，即,而h(n)的z變換的Roc：,3）因果穩(wěn)定：Roc：,2、系統(tǒng)函數與差分方程,常系數線性差分方程：,取z變換,則系統(tǒng)函數,3、系統(tǒng)的頻率響應的意義,1）LSI系統(tǒng)對復指數序列的穩(wěn)態(tài)響應：,2）LSI系統(tǒng)對正弦序列的穩(wěn)態(tài)響應,輸出同頻 正弦序列 幅度受頻率響應幅度 加權 相位為輸入相位與系統(tǒng)相位響應之和,3）LSI系統(tǒng)對任意輸入序列的穩(wěn)態(tài)響應,其中：,微分增量（復指數）：,4、頻率響應的幾何確定法,利用H(z)在z平面上的零極點分布,頻率響應：,則頻率響應的,令,幅角：,幅度：,零點位置影響凹谷點的位置與深度 零點在單位圓上，谷點為零 零點趨向于單位圓，谷點趨向于零 極點位置影響凸峰的位置和深度 極點趨向于單位圓，峰值趨向于無窮 極點在單位圓外，系統(tǒng)不穩(wěn)定,5、IIR系統(tǒng)和FIR系統(tǒng),無限長單位沖激響應（IIR）系統(tǒng)： 單位沖激響應h(n)是無限長序列,有限長單位沖激響應（FIR）系統(tǒng)： 單位沖激響應h(n)是有限長序列,IIR系統(tǒng)：至少有一個,FIR系統(tǒng)：全部,全極點系統(tǒng)（自回歸系統(tǒng)，AR系統(tǒng)） ：分子只有常數項,零極點系統(tǒng)（自回歸滑動平均系統(tǒng)，ARMA系統(tǒng)）: 分子不止常數項,收斂域 內無極點，是全零點系統(tǒng),（滑動平均系統(tǒng)，MA系統(tǒng)）,IIR系統(tǒng)：至少有一個,有反饋環(huán)路，采用遞歸型結構,FIR系統(tǒng)：全部,無反饋環(huán)路，多采用非遞歸結構,Homework：P831(1)(2)(3) 3(1) 7 10 14 18,第三章 離散傅里葉變換,主要內容,離散傅里葉級數（DFS） 離散傅里葉變換（DFT） 抽樣z變換頻域抽樣理論,3.1 引言,傅里葉變換的幾種形式：,連續(xù)時間、連續(xù)頻率傅里葉變換,連續(xù)時間、離散頻率傅里葉級數,離散時間、連續(xù)頻率序列的傅里葉變換,離散時間、離散頻率離散傅里葉變換,FT,3.2 傅里葉變換的幾種可能形式,FS,時域周期化，頻域離散化,時域離散化，頻域周期化。,DTFT,但是，前三種傅里葉變換對都不適于計算機上運算，因為它們至少在一個域（時域或頻域）中函數是連續(xù)的。 因此，我們感興趣的是時域及頻域都是離散的情況。,若時域離散并周期化，頻域周期化并離散化。,四種傅里葉變換形式的歸納,3.3 離散傅里葉級數DFS ( Discrete Fourier Series ),連續(xù)周期信號:,周期序列 ( r 為整數, N 為周期),周期序列的DFS正變換和反變換：,其中：,一般性的周期為N的周期性序列的傅里葉變換,可看作是對 的一個周期 做z變換然后將z變換在z平面單位圓上按等間隔角 抽樣得到,DFS的圖示說明,2、序列的移位,3、調制特性,3.4 離散傅里葉級數的性質FS性,1、線性：,其中， 為任意常數,若,則,4、對偶性,證：,5、周期卷積和,若,則,討論: 周期卷積與線性卷積的區(qū)別在于：周期卷積求和只在一周期內進行。(注意周期信號的線性卷積不存在),式中的卷積稱為周期卷積,同樣，利用對稱性,若,則,3.5 離散傅里葉變換 有限長序列的離散頻域表示,在進行DFS分析時，時域、頻域序列都是無限長的周期序列 周期序列實際上只有有限個序列值有意義 長度為N的有限長序列可以看成周期為N的周期序列的一個周期（主值序列） 借助DFS變換對，取時域、頻域的主值序列可以得到一個新的變換DFT，即有限長序列的離散傅里葉變換,另外一種寫法是,其中 表示對 n 取模N 運算(或模 N的余數)。,對周期信號而言, 或 。,舉例：設周期為 N=6。則有周期序列和求余運算： 或 這是因為： (19=36+1) 同理 或 這是因為： (-2=-16+4),同樣：X(k)也是一個N點的有限長序列,有限長序列的DFT定義式,關于離散傅里葉變換(DFT)：,序列x(n)在時域是有限長的(長度為N)，它的離散傅里葉變換X(k)也是離散、有限長的(長度也為N)。 n為時域變量，k為頻域變量。 離散傅里葉變換與離散傅里葉級數沒有本質區(qū)別，DFT實際上是離散傅里葉級數的主值，DFT也隱含有周期性。 離散傅里葉變換(DFT)具有唯一性。 DFT的物理意義：序列x(n)的Z變換在單位圓上的等角距取樣。,x(n)的N點DFT是 x(n)的z變換在單位圓上的N點等間隔抽樣； x(n)的DTFT在區(qū)間0,2上的N點等間隔抽樣。,例1、計算 (N=12)的N點DFT. 解：,N=4點的DFT？,3.6 離散傅里葉變換的性質,1、線性,這里，序列長度及DFT點數均為N 若不等，分別為N1，N2，則需補零使兩序列長度相等，均為N，且,若,則,有限長序列的圓周移位導致頻譜線性相移，而對頻譜幅度無影響。 時域序列的調制等效于頻域的圓周移位,2、圓周移位,其中 ；同理可證另一公式。,證：,推論：,從圖中兩虛線之間的主值序列的移位情況可以看出： 當主值序列左移m個樣本時，從右邊會同時移進m個樣本 好像是剛向左邊移出的那些樣本又從右邊循環(huán)移了進來 因此取名“循環(huán)移位”。 顯然，循環(huán)移位不同于線性移位,若,則,證：,3、對偶性,4、圓周共軛對稱性,其中：,共軛反對稱分量：,共軛對稱分量：,任意周期序列：,定義：,則任意有限長序列：,圓周共軛反對稱序列：,圓周共軛對稱序列：,設N點復數序列,證明：,則,同理可證明：,序列 DFT,共軛對稱性,序列 DFT,實數序列的共軛對稱性,純虛數序列的共軛對稱性,例：設x1(n)和x2(n)都是N點的實數序列，試用一次N點DFT運算來計算它們各自的DFT:,五、Parseval Theory,若令 y(n) = x(n),表明序列時域、頻域能量相等,六、圓周卷積和,圓周卷積A：設,則,實際上，圓周卷積為周期卷積的主值序列。即,圓周卷積B：設,圓周卷積記為,N,N,圓周卷積過程： 1）補零 2）周期延拓 3）翻褶，取主值序列 4）圓周移位 5）相乘相加,兩個N點序列的N點圓周卷積得到的結果仍為N點序列。,m N-m 1 N-1 2 N-2 N-3 ,討論1:圓周卷積的物理意義圖示說明,討論2:圓周卷積與線性卷積：,1) 設,有限長(N點),有限長(M點),則線性卷積,有限長(N+M-1),2) 而作長度為L的圓周卷積，即,(周期卷積),其中,L,則,(補零),存在交疊現象,這就是利用DFT計算線性卷積的方法和要求，即可以選擇長度大于等于線性卷積的兩序列長度之和的DFT運算計算線性卷積。,討論3:周期卷積、圓周卷積與線性卷積, 周期卷積與圓周卷積的差別在于：周期卷積是線性卷積的周期延拓；而圓周卷積是取周期卷積的主值序列。 作圓周卷積 時，應先將兩者“補零”至長度為L點的序列后進行圓周卷積。而周期卷積是指兩者皆為長度為L點的周期序列(即周期延拓)的。 線性卷積的DFT計算方法要求DFT點數 L=N+M+1。, 物理意義不同，周期卷積是周期信號運算與DFS系數運算的關系；圓周卷積是有限序列運算與DFT變換結果運算的關系（后面將說明這是有限序列運算與對應的頻譜運算的關系）。,七、線性相關與圓周相關,線性相關：,自相關函數：,相關函數不滿足交換率：,相關函數的z變換：,相關函數的頻譜：,圓周相關定理,第四章 快速傅里葉變換 （FFT）,主要內容,DIT-FFT算法 DIF-FFT算法 IFFT算法 Chirp-FFT算法 線性卷積的FFT算法,4.1 引言,FFT: Fast Fourier Transform 1965年，Cooley-Turky 發(fā)表文章機器計算傅里葉級數的一種算法，提出FFT算法，解決DFT運算量太大，在實際使用中受限制的問題。 FFT的應用。頻譜分析、濾波器實現、實時信號處理等。 DSP芯片實現。TI公司的TMS 320c30，10MHz時鐘，基2-FFT1024點FFT時間15ms。,典型應用：信號頻譜計算、系統(tǒng)分析等,系統(tǒng)分析,頻譜分析與功率譜計算,4.2 直接計算DFT的問題及改進途徑,1、 DFT與IDFT,2、DFT與IDFT運算特點,同理：IDFT運算量與DFT相同。,3、降低DFT運算量的考慮,FFT算法分類:,時間抽選法 DIT: Decimation-In-Time 頻率抽選法 DIF: Decimation-In-Frequency,4.3 按時間抽?。―IT）的FFT算法,（Decimation In Time）,1、算法原理 設序列點數 N = 2L，L 為整數。 若不滿足，則補零,將序列x(n)按n的奇偶分成兩組：,N為2的整數冪的FFT算法稱基-2FFT算法。,將N點DFT定義式分解為兩個長度為N/2的DFT,記： （1）,再利用周期性求X(k)的后半部分,將上式表達的運算用一個專用“蝶形”信流圖表示。,注：a. 上支路為加法，下支路為減法； b. 乘法運算的支路標箭頭和系數。,用“蝶形結”表示上面運算的分解：,分解后的運算量：,運算量減少了近一半,進一步分解,由于 ， 仍為偶數，因此，兩個 點 DFT又可同樣進一步分解為4個 點的DFT。,“蝶形”信流圖表示,N點DFT分解為四個N/4點的DFT,類似的分解一直繼續(xù)下去，直到分解為最后的兩類蝶形運算為止(2點DFT). 如上述N=8=23，N/4=2點中：,類似進一步分解,進一步簡化為蝶形流圖：,因此8點FFT時間抽取方法的信流圖如下,FFT運算量與運算特點,1 N=2L時，共有L=log2N級運算；每一級有N/2個蝶形結。 2每一級有N個數據中間數據），且每級只用到本級的轉入中間數據，適合于迭代運算。 3計算量： 每級N/2次復乘法，N次復加。（每蝶形只乘一次，加減各一次）。共有L*N/2=N/2log2N 次復乘法；復加法L*N=Nlog2N 次。與直接DFT定義式運算量相比(倍數) N2/(Nlog2N) 。當 N大時，此倍數很大。,比較DFT,參考P150 表4-1 圖4-6,可以直觀看出，當點數N越大時，FFT的優(yōu)點更突出。,按時間抽取FFT蝶形運算特點,1、關于FFT運算的混序與順序處理（位倒序處理） 由于輸入序列按時間序位的奇偶抽取，故輸入序列是混序的，為此需要先進行混序處理。 混序規(guī)律： x(n)按n位置進行碼位（二進制）倒置規(guī)律輸入，而非自然排序，即得到混序排列。所以稱為位倒序處理。 位倒序實現： （1）DSP實現采用位倒序尋址 （2）通用計算機實現可以有兩個方法：一是嚴格按照位倒序含義進行；二是倒進位的加N/2。,倒位序,例 計算 ， 。計算 點FFT。用時間抽取輸入倒序算法，問倒序前寄存器的數 和倒序后 的數據值？,解：倒序前 倒序 倒序為 倒序后,DIT FFT中最主要的蝶形運算實現,（1）參與蝶形運算的兩類結點（信號）間“距離”（碼地址）與其所處的第幾級蝶形有關；第m級的“結距離”為 (即原位計算迭代） （2）每級迭形結構為,蝶形運算兩節(jié)點的第一個節(jié)點為k值，表示成L位二進制數，左移L m位，把右邊空出的位置補零，結果為r的二進制數。,（3） 的確定： 第m級的r取值：,DIT算法的其他形式流圖,輸入倒位序輸出自然序 輸入自然序輸出倒位序 輸入輸出均自然序 相同幾何形狀 輸入倒位序輸出自然序 輸入自然序輸出倒位序,參考P154-155,時間抽取、 輸入自然順序、 輸出倒位序的FFT流圖,例 用FFT算法處理一幅NN點的二維圖像，如用每秒可做10萬次復數乘法的計算機，當N=1024時，問需要多少時間（不考慮加法運算時間）？ 解 當N=1024點時，FFT算法處理一幅二維圖像所需復數乘法約為 次，僅為直接計算DFT所需時間的10萬分之一。 即原需要3000小時，現在只需要2 分鐘。,4.4 按頻率抽?。―IF）的FFT算法,與DIT-FFT算法類似分解，但是抽取的是X(k)。即分解X(k)成奇數與偶數序號的兩個序列。 設： N = 2L，L 為整數。將X(k)按k的奇偶分組前，先將輸入x(n)按n的順序分成前后兩半：,（Decimation In Frequency),一、算法原理,下面討論,按k的奇偶將X(k)分成兩部分：,顯然：,令：,用蝶型結構圖表示為：,N/2仍為偶數，進一步分解：N/2 N/4,按照以上思路繼續(xù)分解，即一個N/2的DFT分解成兩個N/4點DFT，直到只計算2點的DFT，這就是DIF-FFT算法。,2個1點的DFT蝶形流圖,進一步簡化為蝶形流圖：,二、按頻率抽取FFT蝶形運算特點,1）原位計算,L級蝶形運算，每級N/2個蝶形，每個蝶形結構：,m表示第m級迭代，k，j表示數據所在的行數,2）蝶形運算,對N=2L點FFT，輸入自然序，輸出倒位序， 兩節(jié)點距離：2L-m=N / 2m,第m級運算：,蝶形運算兩節(jié)點的第一個節(jié)點為k值，表示成L位二進制數，左移m-1位，把右邊空出的位置補零，結果為r的二進制數。,存儲單元,輸入序列x(n) : N個存儲單元,系數 ：N / 2個存儲單元,三、DIT與DIF的異同,基本蝶形不同,DIT: 先復乘后加減,DIF: 先減后復乘,運算量相同,都可原位運算,DIT和DIF的基本蝶形互為轉置,4.5 IDFT的FFT算法 （FFT應用一）,一、從定義比較分析,與DFT的比較： 1）、旋轉因子WN-kn 的不同； 2）、結果還要乘 1/N。,二、實現算法直接使用FFT程序的算法,直接調用FFT子程序計算IFFT的方法：,4.6 線性調頻Z變換（Chirp-Z變換）算法 （FFT應用二）,單位圓與非單位圓采樣 （a） 沿單位圓采樣; (b) 沿AB弧采樣,螺線采樣,zk=AW-k k=0, 1, , M-1,Chirp-Z變換的線性系統(tǒng)表示,由于系統(tǒng)的單位脈沖響應 可以想象為頻率隨時間(n)呈線性增長的復指數序列。在雷達系統(tǒng)中,這種信號稱為線性調頻信號（Chirp Signal），因此，這里的變換稱為線性調頻Z變換。,一、基本算法思路,4.7 線性卷積的FFT算法 （FFT應用三）,若L點x(n)，M點h(n)， 則直接計算其線性卷積y(n),需運算量：,若系統(tǒng)滿足線性相位，即：,則需運算量：,FFT法：以圓周卷積代替線性卷積,N,總運算量： 次乘法,比較直接計算和FFT法計算的運算量,討論：,1）當,2）當,x(n)長度很長時，將x(n)分為L長的若干小的片段，L與M可比擬。,1、重疊相加法,則：,輸出：,其中：,可以用圓周卷積計算：,選 ，上面圓周卷積可用FFT計算。,N,由于yi(n)長度為N，而xi(n)長度L ，必有M-1 點重疊， yi(n)應相加才能構成最后y(n)的。,重疊相加法圖形,和上面的討論一樣， 用FFT法實現重疊相加法的步驟如下: 計算N點FFT， H(k)=DFTh(n)； 計算N點FFT，Xi(k)=DFTxi(n)； 相乘，Yi(k)=Xi(k)H(k)； 計算N點IFFT，yi(n)=IDFTYi(k)； 將各段yi(n)（包括重疊部分）相加， 。 重疊相加的名稱是由于各輸出段的重疊部分相加而得名的。,例 已知序列xn=n+2,0n12, hn=1,2,1試利用重疊相加法計算線性卷積, 取L=5 。,yn=2, 7, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 41, 14,解: 重疊相加法,x1n=2, 3, 4, 5, 6,x2n=7, 8, 9, 10, 11,x3n=12,13, 14,y1n=2, 7, 12, 16, 20, 17, 6,y2n= 7, 22, 32, 36, 40, 32, 11,y3n=12, 37, 52, 41, 14,2、重疊保存法,此方法與上述方法稍有不同。 先將x(n)分段，每段L=N-M+1個點，這是相同的。 不同之處是，序列中補零處不補零，而在每一段的前邊補上前一段保留下來的（M-1）個輸入序列值， 組成L+M-1點序列xi(n) 。 如果L+M-12m， 則可在每段序列末端補零值點，補到長度為2m，這時如果用DFT實現h(n)和xi(n)圓周卷積，則其每段圓周卷積結果的前（M-1）個點的值不等于線性卷積值，必須舍去。,重疊保留法示意圖,重疊保留法示意圖,yk=2, 7, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 41, 14,x1k=0, 0, 2, 3, 4,x2k=3, 4, 5, 6 ,7,x3k=6 ,7 , 8, 9, 10,y1k= x1khk= 11, 4, 2, 7, 12,x4k=9, 10 , 11, 12,13,y2k= x2khk= 23, 17, 16, 20, 24,y3k= x3khk= 35, 29, 28, 32, 36,y4k= x4khk= 47, 41, 40, 44, 48,x5k=12,13, 14, 0, 0,y5k= x5khk= 12, 37, 52, 41, 14,解: 重疊保留法,例 已知序列xn=n+2,0n12, hn=1,2,1試利用重疊保留法計算線性卷積, 取L=5 。,語音信號消噪過程 信號淹沒在嘯叫噪聲中； (b) 信號與噪聲的功率譜； (c) 去噪后的功率譜； (d) 重構原語音信號,FFT應用舉例,第五章 數字濾波器的基本結構,主要內容,理解數字濾波器結構的表示方法 掌握IIR濾波器的基本結構 掌握FIR濾波器的直接型、級聯型、線性相位結構，理解頻率抽樣型結構 了解數字濾波器的格型結構,4.1 數字濾波器結構特點及表示,1、數字濾波器的表示：差分方程和系統(tǒng)函數,單位延時,基本運算單元,方框圖,流圖,加法器,常數乘法器,2、結構表示：方框圖和信流圖,3、實現方式：軟件與硬件 4、軟件方式：通用計算機或專用計算機 5、核心算法：乘加器 6、典型結構 無限長單位沖激響應（IIR）濾波器 有限長單位沖激響應（FIR）濾波器,5.2 IIR濾波器的基本結構,一、IIR濾波器的特點 1、電位沖激響應h(n)是無限長的（定義的由來） 2、系統(tǒng)函數H(z)在有限z平面上 有極點存在； 3、結構上存在著輸出到輸入的反饋，也就是結構上的遞歸型的。,二、有限階IIR的表達式：（其中至少有一個 ak0）,三、IIR濾波器四種結構,1、直接 I 型,結構特點： 直接實現 第一個網絡實現零點 第二個網絡實現極點 N+M個時延單元,2、直接II型:典范型,結構特點： Max(N、M) 個時延單元。,直接型的共同缺點：,系數ak，bk 對濾波器的性能控制作用不明顯,極點對系數的變化過于靈敏，易出現不穩(wěn)定或較大誤差,運算的累積誤差較大,3、級聯型(Cascade Form),將系統(tǒng)函數按零極點因式分解:,結構：將分解為一階及二階系統(tǒng)的串聯，每級子系統(tǒng)都用典范型實現。,特點：方便調整極點和零點；但分解不唯一;實際中需要優(yōu)化。,4、并聯型(Paralle Form),將因式分解的H(z)展成部分分式：,組合成實系數二階多項式：,特點: 方便調整極點，不便于調整零點；部分分式展開計算量大。,結構：將H(z)分解為一階及二階系統(tǒng)的并聯(部分分式展開)，每級子系統(tǒng)都用典范型實現。,IIR濾波器結構表示舉例,例：用典范型和一階級聯型、并聯型實現方程：,解：正準型、一階級聯和并聯的系統(tǒng)函數表示：,圖示如下：,轉置定理,對于一個信流圖，如果將原網絡中所有支路方向加以倒轉，且將輸入 x(n) 和輸出有 y(n) 相互交換，則其系統(tǒng)函數 H(z) 仍不改變。,直接II型的轉置:,5.3 FIR 數字濾波器結構,不存在極點(z=0除外)，系統(tǒng)函數在 處收斂。 系統(tǒng)單位沖擊響應在有限個 n 值處不為零。 結構上主要是非遞歸結構，沒有輸出到輸入的反饋。,一、FIR的特點：,二、FIR結構,1、橫截型 (又稱為直接型或卷積型，直接完成差分方程）,特點: N個延遲單元；不方便調整零點。,將H(z)分解為二階實系數因式的乘積。,2、級聯型結構：,特點: 便于調整零點.,3、頻率采樣型結構：,1） 理論型：,由,以及頻率采樣表達的內插公式得：,其中： 為梳狀濾波器； (諧振器)其極點正好與零點對消。,關于梳狀濾波器說明,梳狀濾波器傳輸函數:,梳狀濾波幅頻特性:,梳狀濾波相頻特性:,頻率抽樣型結構的優(yōu)缺點: 便于控制濾波器頻率響應，因為濾波器在處的頻率響應值。 需要復數乘法運算; 理論上諧振器的極點正好與零點對消，但實際上的有限字長效應，使之不能對消，系統(tǒng)將不穩(wěn)定。,理論型,頻率采樣型結構圖示,2）實際型 ( 解決量化誤差引入的不穩(wěn)定 ),第一步:采樣點修正為:,將零極點移至半徑為r的圓上,第二步:內插公式為:,實際型,4、快速卷積結構,結構圖示為:,設:,有:,5、線性相位FIR濾波器的結構,FIR濾波器單位抽樣響應h(n)為實數，,且滿足：,偶對稱：,或奇對稱：,即對稱中心在 (N-1) / 2處,則這種FIR濾波器具有嚴格線性相位。,N為奇數時,h(n)偶對稱，取“+”,h(n)奇對稱，取“-”，且,N為偶數時,第六章 IIR濾波器的設計,主要內容,理解數字濾波器的基本概念 了解最小相位延時系統(tǒng) 理解全通系統(tǒng)的特點及應用 掌握沖激響應不變法 掌握雙線性變換法 掌握Butterworth、Chebyshev低通濾波器的特點 了解利用模擬濾波器設計IIR數字濾波器的設計過程 了解利用頻帶變換法設計各種類型數字濾波器的方法,6.1 引言,數字濾波器：,是指輸入輸出均為數字信號，通過一定運算關系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者濾除某些頻率成分的器件。,高精度、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活，不要求阻抗匹配，可實現特殊濾波功能,優(yōu)點：,1、濾波器的基本概念,（1） 濾波器的功能 濾波器的功能是對輸入信號進行濾波以增強所需信號部分，抑制不要的部分。,a） 時域說明 b） 頻域說明,（2） 四種基本的濾波器,四種基本濾波器為低通（LP）、高通（HP）、帶通（BP）和帶阻濾波器（BRF）：,（3） 四種基本濾波器的數字表示,低通 高通 帶通 帶阻,2、LP到其他濾波器的變換,由LP實現的HP,LP實現的BP,LP實現的BRF,3、 濾波器的性能指標,帶寬：當幅度降低到0.707時的寬度稱為濾波器的帶寬（3dB帶寬）,通帶、阻帶與過渡帶：信號允許通過的頻帶為通帶，完全不允許通過的頻帶為阻帶，通帶與阻帶之間為過渡帶。,滾降與滾降率：濾波器幅頻特性在過渡帶的衰減和衰減速度稱為滾降與滾降率。,阻帶衰減：輸入信號在阻帶的衰減量,帶內平坦度：通帶和阻帶內的平坦程度,4、數字濾波器的設計步驟,數字濾波器的設計三個步驟: (1) 按要求確定濾波器的性能參數； (2) 用一個因果穩(wěn)定的離散線性移不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數去逼近去逼近這一性能要求； (3) 用有限精度的運算實現；實現可以采用通用計算機，也可以采用DSP。,5、數字濾波器的技術要求,選頻濾波器的頻率響應：,為幅頻特性：表示信號通過該濾波器后各頻率成分的衰減情況,為相頻特性：反映各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況,理想濾波器不可實現，只能以實際濾波器逼近,通帶最大衰減：,阻帶最小衰減：,6、表征濾波器頻率響應的特征參量,幅度平方響應,的極點既是共軛的，又是以單位圓成鏡像對稱的,H(z)的極點：單位圓內的極點,相位響應,相位響應：,群延遲響應,相位對角頻率的導數的負值,若濾波器通帶內 = 常數， 則為線性相位濾波器,7、IIR數字濾波器的設計方法,先設計模擬濾波器，再轉換為數字濾波器,用一因果穩(wěn)定的離散LSI系統(tǒng)逼近給定的性能要求：,即為求濾波器的各系數,計算機輔助設計法,s平面逼近：模擬濾波器,z平面逼近：數字濾波器,6.2 最小與最大相位延時系統(tǒng)、最小與最大相位超前系統(tǒng),LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數：,頻率響應：,模：,相角：,當,位于單位圓內的零/極矢量角度變化為2p,位于單位圓外的零/極矢量角度變化為 0,單位圓外的零點數為mo,單位圓內的極點數為pi,單位圓外的極點數為po,則：,全部極點在單位圓內：po = 0，pi = N,因果穩(wěn)定系統(tǒng),1）全部零點在單位圓內：,2）全部零點在單位圓外：,為最小相位延時系統(tǒng),為最大相位延時系統(tǒng),n 0時，h(n) = 0,相位延時系統(tǒng),逆因果穩(wěn)定系統(tǒng),1）全部零點在單位圓內：,2）全部零點在單位圓外：,全部極點在單位圓外：po = N，pi = 0,為最大相位超前系統(tǒng),為最小相位超前系統(tǒng),相位超前系統(tǒng),n 0時，h(n) = 0,最小相位延時系統(tǒng)的性質,1）在 相同的系統(tǒng)中，具有最小的相位滯后,2）最小相位延時系統(tǒng)的能量集中在n=0附近，而總能量相同,5）級聯一個全通系統(tǒng)，可以將一最小相位系統(tǒng)轉變成一相同幅度響應的非最小相位延時系統(tǒng),4）在 相同的系統(tǒng)中， 唯一,3）最小相位序列的 最大：,6.3 全通系統(tǒng),一階全通系統(tǒng)：,極點：,零點：,零極點以單位圓為鏡像對稱,極點：,零點：,實系數二階全通系統(tǒng),兩個零點（極點）共軛對稱,極點：,零點：,零點與極點以單位圓為鏡像對稱,N 階數字全通濾波器,極點： 的根,零點： 的根,全通系統(tǒng)的應用,1）任一因果穩(wěn)定系統(tǒng)H(z)都可以表示成全通系統(tǒng)Hap(z)和最小相位系統(tǒng)Hmin(z)的級聯,其中：H1(z)為最小相位延時系統(tǒng)， 為單位圓外的一對共軛零點,而幅度響應不變：,P231 圖66,2）級聯一個全通系統(tǒng)可以使非穩(wěn)定濾波器變成一個穩(wěn)定濾波器,把非穩(wěn)定系統(tǒng)的單位圓外的極點映射到單位圓內,單位圓外極點：,3）作為相位均衡器，校正系統(tǒng)的非線性相位，而不改變系統(tǒng)的幅度特性,利用均方誤差最小準則求均衡器Hap(z)的有關參數,6.4 用模擬濾波器設計IIR數字濾波器,設計思想：,s 平面 z 平面,模擬系統(tǒng) 數字系統(tǒng),H(z) 的頻率響應要能模仿 Ha(s) 的頻率響應， 即 s 平面的虛軸映射到 z 平面的單位圓,因果穩(wěn)定的 Ha(s) 映射到因果穩(wěn)定的 H(z) ， 即 s 平面的左半平面 Res 0 映射到 z 平面的單位圓內 |z| 1,設計方法：,- 沖激響應不變法,- 階躍響應不變法,- 雙線性變換法,6.5 沖激響應不變法,一、變換原理,數字濾波器的單位沖激響應h(n) 模仿模擬濾波器的單位沖激響應ha(t),T抽樣周期,設,則：,從頻率響應來看：,數字濾波器的頻率響應是模擬濾波器頻率響應的周期延拓，周期為2p/T 只有當模擬濾波器的頻率響應是帶限的，且?guī)抻谡郫B頻率以內時，即,才能使數字濾波器的頻響在折疊頻率以內重現模擬濾波器的頻響而不產生混迭失真,實際系統(tǒng)不可能嚴格限帶，都會混迭失真，在 |W|Ws/2處衰減越快，失真越小,當濾波器的設計指標以數字域頻率wc給定時，不能通過提高抽樣頻率來改善混迭現象,二、模擬濾波器的數字化,系數相同：,極點：s 平面 z 平面,穩(wěn)定性不變：s 平面 z 平面,當T 很小時，數字濾波器增益很大，易溢出，需修正,令：,則：,試用沖激響應不變法，設計IIR數字濾波器,例：設模擬濾波器的系統(tǒng)函數為,解：據題意，得數字濾波器的系統(tǒng)函數：,設T = 1s，則,模擬濾波器的頻率響應：,數字濾波器的頻率響應：,優(yōu)點：,缺點：,保持線性關系：w=WT 線性相位模擬濾波器轉變?yōu)榫€性相位數字濾波器,頻率響應混迭 只適用于限帶的低通、帶通濾波器,h(n)完全模仿模擬濾波器的單位抽樣響應ha(t) 時域逼近良好,沖激響應不變法的優(yōu)缺點,6.6 階躍響應不變法,變換原理,數字濾波器的階躍響應g(n) 模仿模擬濾波器的階躍響應ga(t),T 抽樣周期,階躍響應不變法同樣有頻率響應的混疊失真現象但比沖激響應不變法要小。,例：二階Butterworth 歸一化模擬濾波器（LPF）為：,設計對應3dB截止模擬頻率為50Hz的二階Butterworth數字濾波器。設數字系統(tǒng)采樣頻率為500Hz，并采用階躍響應不變法來設計。,解：求模擬系統(tǒng)函數：,最后得 （用在z-1表示）,代入T=1/500，計算ZT得,6.7 雙線性變換法,沖激響應不變法、階躍響應不變法：時域模仿逼近缺點是產生頻率響應的混疊失真 為了克服這一缺點，采用雙線性變換法。 使數字濾波器的頻率響應與模擬濾波器的頻率響應相似,一、變換原理及特點,脈沖響應不變法的映射是多值映射,導致頻率響應交疊。 改進思路：先將s域平面壓縮到一個中介平面s1，然后再將s1映射到Z平面。,為使模擬濾波器某一頻率與數字濾波器的任一頻率有對應關系，引入系數 c,2）某一特定頻率嚴格相對應：,1）低頻處有較確切的對應關系：,特定頻率處頻率響應嚴格相等，可以較準確地控制截止頻率位置,二、變換常數c的選擇,三、逼近情況,1）,2）,四、優(yōu)缺點,優(yōu)點：,避免了頻率響應的混迭現象,s 平面與 z 平面為單值變換,缺點：除了零頻率附近，W與w之間嚴重非線性,2）要求模擬濾波器的幅頻響應為分段常數型，不然會產生畸變,分段常數型模擬濾波器經