06-07微積分BII期末(答案)zucc 浙江大學城市學院_.doc

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年級：_____________ 專業(yè)：_____________________ 班級：_________________ 學號：_______________ 姓名：__________________ …………………………………………………………..裝………………….訂…………………..線……………………………………………………… 誠信應考 考出水平 考出風格 年級：_____________ 專業(yè)：_____________________ 班級：_________________ 學號：_______________ 姓名：__________________ …………………………………………………………..裝………………….訂…………………..線……………………………………………………… 浙江大學城市學院 2006—2007學年第二學期考試試卷 《 微積分（B）II》 開課單位：計算分院 ；考試形式：閉卷；考試日期：07年7月10日；時間：120分鐘 題序 一 二 三 四 五 六 總 分 得分 評卷人 得分 一． 微分方程問題(本大題共 3 題，每題 5分，共15 分) 1． 求解微分方程 . 解：； 　　　　　記，得通解：， 　　　　　由，得，所以微分方程特解為 點評：此題考可分離變量微分方程掌握情況。可分離變量微分方程的關鍵是將方程通過因式分解，使“分家”，變成：形式，然后積分。本題還要注意的變化。 2.求解微分方程 . 解: , 點評：　本題為典型的一階線性微分方程，這類方程只要記住公式： 　　　　　　 　注意公式中三個不定積分計算后不需要另再加積分常數(shù)，因為本公式中已經(jīng)有了。如果這個公式不能記住，那下學期只好跟著唐老師重修了。 3.求解微分方程 . 解：　設，得， 　　　 即　　 通解為：　 點評：對可降階的三種二階微分方程如何求解問題必需掌握。另外注意二階微分方程的通解中一定有二個不可合并的任意常數(shù)，否則拜托，一定有錯！ 得分 二.向量與空間解析幾何問題(本大題共 4 題,每題 5 分，共 20分) 1． 設向量 ，求，并求。 ，＝ 點評：如果連，，，的夾角等都不會求，那恐怕不是重修的問題了。 2．求直線與平面的交點，并求經(jīng)過點且與垂直的直線方程。 解：　解方程即可得交點， 令，得代入 得：，，交點為， 所求直線的一個方向即平面的一個法向：， 因此經(jīng)過點且與垂直的直線方程為： 　　　　　　　　 　點評：平面的點法式方程和直線的點向式方程是二個最基本的問題，必需會做。另外，千萬看清是求直線方程還是求平面方程，二者不要混淆了（每年大概有２０%同學會混淆） 3.方程是什么圖形，求該方程與軸在第一卦限的交點，并求經(jīng)過的平面方程。 解：　此圖形乃橢球面也。 將代入得點坐標， 同理可得點坐標為，點坐標為 　　所求平面方程為： 點評：本題題目稍有欠缺，因為軸不可能在第一卦限，似乎應將第一卦限改為正軸較好。但這也不影響對問題的理解。學了空間解析幾何，幾個常見的曲面：球面，橢球面，拋物面，各類柱面，旋轉面（包括怎么旋轉得到）等它們的方程總應該記記牢，另外平面的截距式方程似乎也是很容易記住。 　4．將直線的一般式方程化為點向式方程與參數(shù)方程。 解：　曲線上取一點，直線的一個方向： 　　 點向式方程：；　　　參數(shù)方程： 　點評：習題冊上一模一樣的題目占30%，你復習時總要看看的。 得分 三．多元函數(shù)微分學問題(本大題共 5 題，每題 5 分，共 25 分) 1． 設, 求. 　　　　解：　，　　　　　　 　點評：送分題。只要一元微積分的導數(shù)會求，那么對某個變量的偏導數(shù)就是將其他變量當作常數(shù)來求導就行了，注意偏導數(shù)的四種記號都要熟悉，這可不是“茴香豆的茴字有四種寫法”。 2． 設，求。 解：　 ，＝ 點評：求是冪指函數(shù)的求導問題，在求導之前先對函數(shù)采用變換，可是老生常談了。 3． 設，其中具有二階連續(xù)偏導數(shù)，求 解： 點評：　多元復合函數(shù)求導的鏈式法則，只要記號弄清楚，沒難度可言 4． 設求 解：　記 　　　 　　　 點評：公式套套。只要記住隱函數(shù)求導的公式就可以毫不費力解此題 5.求曲面在點處的切平面方程與法線方程. 解：　 　　 在處切平面的一個法向 　切平面方程：即 　法線方程：。 點評：　曲面的切平面方程與法線方程.，空間曲線的切線與法平面方程求法如果沒記牢的話再去記一記。 得分 四.重積分問題 (本大題共 4題，每題 5 分，共 20分) 求，D由與所圍。 　　　　 點評：求二重積分的關鍵是畫出積分區(qū)域，然后應用公式。此題是書中P107頁7(5)原題。書中的題目也要做做的。 2．計算二重積分， 其中由與直線所圍成. 見習題冊p40頁(4) 3．求由旋轉拋物面與所圍立體的體積。 答案見書中P105例2. 4．求三重積分,其中是與所圍的空間區(qū)域. 解：（其中為平面區(qū)域 　　 得分 五．曲線積分與曲面積分問題 (本大題共3題，每題5分，共 15 分) 1. 求第一類曲線積分，其中是沿拋物線從到的曲線. 解：曲線的參數(shù)方程： 　 點評：第一類曲線積分計算的關鍵是將積分曲線參數(shù)化，然后再套公式。 2. 計算第一類曲面積分，其中為錐面及平面所圍成的 區(qū)域的邊界曲面。 解：　習題冊p50頁2(2), 3. 計算第二類曲線積分，其中為先沿直線從點到點，然后再沿直線到的折線。 習題冊p5１頁2(2), 得分 六．應用題或證明題 (本大題每題5分，共 10 分) 1． 某馬戲團的演出場是由帆布圍成的（自頂至地面），外形是開口向下的旋轉拋物面，其方程為 （地平面對應，單位為），若帆布的價格是，計算要搭建這樣的演出場，帆布的成本應為多少？ 解： 　 　　　成本應為 2．在橢圓上求一點，使其到直線的距離最短。（提示：設是到直線的距離，求的最小值等價于求的最小值）。 解：點到直線距離平方 　　　　 　　作　 由　 解得點或，由圖分析知應為 第 6 頁 共 6 頁