機(jī)械專業(yè)外文文獻(xiàn)翻譯-外文翻譯-- 利用三次樣條函數(shù)

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畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 )外文資料翻譯 學(xué)院 (系 )： 機(jī)械工程 院 專 業(yè)： 機(jī)械工程及自動(dòng)化 姓 名： 學(xué) 號(hào)： 外文出處： 附 件： 指導(dǎo)教師評(píng)語： 此翻譯文章翻譯用詞比較準(zhǔn)確，文筆也較為通順，為在以后工作中接觸英文資料打下了基礎(chǔ) 簽名： 年 月 日 注： 請將該封面與附件裝訂成冊。 附件 1：外文資料翻譯譯文 ( ) 1 s ?? 與 2? 的對比 利用 三次樣條函數(shù)的好處如下是： 1. 他們簡化計(jì)算的必要條件和數(shù)字的不穩(wěn)定性由高階的曲線引起的。 2. 他們允許有轉(zhuǎn)折點(diǎn)的最低階的三維曲線。 3. 他們在空間中有能力扭曲。 在這章中我們將提出兩種類型的樣條（ 參量性的和非參量性的樣條），我們在這里負(fù)責(zé)解釋基本的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和舉例論證他們的工具的任務(wù)。 拋物線的 三次樣條函數(shù) 考慮在 , , )著 1,...,變化描繪所得的一組數(shù)據(jù)點(diǎn)。我們的結(jié)果是要在所有的這些點(diǎn)之間通過一參量性的 三次樣條函數(shù)。參量性的三次樣條函數(shù)是表示為一或多個(gè)參量的函數(shù)的曲線。在任何兩點(diǎn)之間參量性的三次樣條函數(shù)等式是根據(jù)參數(shù) t 得到的，如下： 32, 0 , 1 , 2 , 3()i i i i iS t a a a t a t? ? ? ? (, 0 , 1 , 2,,i i ia a a 和 ,3據(jù)邊界條件和曲線的 連續(xù)性和穩(wěn)定性而決定的常數(shù)。注意在任何兩點(diǎn)之間如何定義精確的距離。如果距離是標(biāo)準(zhǔn)的，因此它的涵義是從 0到 1。在 0t? 時(shí)，樣條而， ,0 ( , )i i i i P x y? ? ? 1,..., ,0 [ , ]i i ia x y?(我們在這個(gè)時(shí)候目標(biāo)是要求在每一時(shí)間間隔之間常數(shù)的值。參數(shù) t 的弦長定義為 ? ? ? ?221 1 1i i i i it x x y y? ? ?? ? ? ?當(dāng) 1 2,..., (求其它常數(shù) 考慮這三點(diǎn)，1, 2和 3P。讓在1232在23性的三次樣條函數(shù)。因?yàn)?()t 的涵義是應(yīng)該在1束。實(shí)際上當(dāng)它們是被定義點(diǎn)所需要的時(shí)，在等式（ 定義常 數(shù)有 x 和 y 成分。按照 x 軸向和 y 軸向分量兩者所表示的參量性樣條函數(shù)的一般關(guān)系式如下被表達(dá)： 23, 0 , 0 , 1 , 1 , 2 , 2 , 3 , 3( ) ( ) , ( ) , , , ,i x i y i x i y i x i y i x i y i x i y iS t S t S t a a a a t a a t a a t? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (式中 10 ?和 1,..., 1 再次注意到當(dāng)我們在 0t? 如 何求們得到 23, 0 , 1 , 2 , 3 0 , 0( 0 ) [ ]i i i i i i t t a a t a t a t a?? ? ? ? ? ? ? (2,1 , 2 , 3 ,100()( 0 ) 2 3ii i i i i t a a t a t ????? ??? ? ? ? ? ? ???????(因此 ,0 ( , )i i i i iS a P x y??? (已知 : n 控制 頂點(diǎn) ) 1 ,1? (n 未知 ) (同樣地，我們以在點(diǎn) 1P 和 2P 寫入導(dǎo)數(shù) 2, 1 , 2 , 3()( ) 2 3ii i i tS t a a t a ? ? ? ? (2, 2 , 32()( ) 2 6ii i tS t a a ? ? ? (3,33()( ) 6 tS t ? ?? (我們由等式（ 義 三次樣條函數(shù) ,當(dāng)我們代替常數(shù) ,0和 ,1同 從等式（ （ 得的 1S 和 2S 的時(shí)候，采取下列的形式： 231 1 , 2 , 3()i i iS t S S t a t a t?? ? ? ? (在控制頂點(diǎn) ( , )x y 2,..., 1 的連續(xù)性使我們得出 1 1 1 1( ) ( 0 )i i i i iS t t S t S P? ? ? ?? ? ? ? ? 1 1 1( ) ( 0 )i i i iS t t S t S? ? ?? ? ?? ? ? ? (從那我們求出 ,2和 ,3因?yàn)橐阎?和 ,2和 ,3 S? 的函數(shù)，它是更多合乎需要的表示它們 231 , 2 1 , 3 1 12, 2 1 , 3 1 1i i i i i i i ii i i i i t a t a t SS a t a t S? ? ? ?? ? ??? ? ? ???? ? ?(現(xiàn)在我們可以求出適合 ,2和 ,3表達(dá)式當(dāng)作 1,,,i i S ?? 和 1 的函數(shù)。 利用等式（ （ 我們得到 , 2 1 12 1131( ) ( 2 )i i i i S S ?? ??? ? ? ? ? (, 3 1 1321121( ) ( )i i i i S S ?? ??? ? ? ? ? (因此，那樣條函數(shù)在 1P 和 2P 之間可以簡單的表示為 2 1 1 2 1 2 1 223112 3 2 22 2 2 2 2 23 ( ) 2 2 ( )()i S S S S S S S SS t S S t tt t t t t t? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?(在計(jì) 算機(jī) 圖形處理 的環(huán)境中和 通用算法的發(fā)展中，我們需要問下列問題： ( ) , ( ) , . . . , ( )i i nS t S t S t? 解決 1S? 和 2S? 的方法？ ,和 2t 而得到數(shù)據(jù)集點(diǎn)？ 2, ,..., P 中樣條函數(shù)之間的連續(xù)性？ 總之，等式（ 對于任何兩個(gè)相鄰的立方部分進(jìn)行歸納而得到解答，例如當(dāng) 12? ? 時(shí)的 () 1()， n 為數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)目。為一般的數(shù)據(jù)集改寫等式（ 我們得 1 1 1 1 1232 3 2 21 1 1 1 1 13 ( ) 2 2 ( )() i i i i i i ii i ii i i i i S S S S S SS t S S t t tt t t t t t? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?(回答前面的問題，我們首先指出那個(gè)確定 在立方部分之間的 連續(xù)性，我們必須計(jì)算 ()()的第二階導(dǎo)數(shù)與在他們的相應(yīng)的相連點(diǎn)方面把他們等同起來。從等式（ 我們得到 , 2 , 3( ) 2 6i i iS t a a t?? ?? (,2(0) 2 ? (2 , 2 , 3 2( ) 2 6i i iS t a a t?? ?? (我們也能分辨那邊界條件 21( ) ( 0 )t S ??? ??? (利用等式（ （ 和（ 等式（ （ 和（ 起我們得到 1 2 1 1 1 22 2 ( )i i i i i t t S t S? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?221 2 1 2 1123() i i i i i t S S t S ? ? ? ??? ??? ? ? ??? ? ?12? ? （ 在矩陣形式中，等式（ 被明確地寫成的，顯示了那等式的重要特征。 簡而言之， 3 2 3 2 14 3 4 3 25 4 5 4 312 ( ) 0 0 00 2 ( ) 0 00 0 2 ( ) 0: : : : : : :0 0 2 ( )n n n n nt t t t St t t t St t t t St t t t S??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?222 3 2 3 2 123223 4 3 4 3 234221 1 1 2133:3n n n n n S t S S t S S t S ? ? ??????? ? ???????? ? ????????? ? ?????(等式（ 到含未知數(shù) n 的 2n? 個(gè)等式是顯而易見的。本質(zhì)上，為了求出未知數(shù) n ，我們必須按照 S? 的兩個(gè)附加等式。 另一方面，如果端點(diǎn) 1S? 和 已知， 通常就是這樣在射束偏轉(zhuǎn)中分析 ,然后方程組結(jié)果形成一致的聯(lián)立方程式為我們求出所有的未知數(shù)?，F(xiàn)在我們能檢驗(yàn)邊界條件使上述問題徹底地 解決。 邊界條件自然樣條函數(shù) 。 亦稱衰減條件，自然樣條函數(shù)由 ())t 從開始階段和到 0結(jié)束所設(shè)定第二階導(dǎo)數(shù)來確定。因此， 11'' '' ( 0 ) 0S S t? ? ? (1'' '' ( ) 0n n t t?? ? ? (按照 S? 寫出這些條件，我們得到兩個(gè)等式 1 2 2 1 2' 0 . 5 ' 1 . 5 ( ) /S S S S t? ? ? ( 112 ' 4 ' ( 6 / ) ( )n n n n t S S??? ? ? (增加等式（ （ 等式（ 2n? 個(gè)方程，我們 因此能求出所有的S? 定位樣條函數(shù)。 為這樣條函數(shù)提出的邊界條件是以致于在 0t? 和 的第一階導(dǎo)數(shù)（斜率）被確定。它們必須在等式（ 構(gòu)成附加的其他兩個(gè)等式。 結(jié) 在任何兩點(diǎn)之間 參量性的三次樣條函數(shù)構(gòu)造如下： 1. 求出最大弦長和計(jì)算 1, 2,..., nt t t 。 2. 利用等式（ 相應(yīng)的 邊界條件求出 1, 2, ..., S? ? ? 。 3. 利用等式（ （ 和（ 出組成參量性三次樣條函數(shù)的系數(shù)。 范例 以下數(shù)據(jù)集 (1,1), (), ( 和 (求出參數(shù)的 三次樣條函數(shù) 在基點(diǎn)的兩個(gè)末端假設(shè)一種衰減形式。 解答 圖表 4.7 i xi 0 1 1 2 — 我們首先計(jì)算弦的跨度 221 1 1( ) ( )i i i i it x x y y? ? ?? ? ? ? 計(jì)算 S? 所必須的精確等式從等式（ 得 i=0) 1 2 2 1232 ( )S S S ? ? ? i=1) 233 1 3 2 2 2 3 2 3 2 2 2 12332 ( ) [ ( ) ( ) ]t S t t S t S t S S t S ? ?? ? ? ? ? ? ? i=2) 234 2 4 3 3 3 4 3 4 3 4 3 23432 ( ) [ ( ) ( ) ]t S t t S t S t S S t S ? ?? ? ? ? ? ? ? i=3) 3 4 4 3432 ( )S S S ? ? ? (利用等式（ （ 到邊界條件，與上述等式（ 者簡單地利用等式（ 起，我們得 [ ][ ] [ ]T i C? ? (式中 2 1 0 01 . 0 3 1 4 . 2 9 8 1 . 1 1 8 0[]0 0 . 7 0 7 3 . 4 7 6 1 . 0 3 10 0 1 2?????(2 2 2 22 3 2 32 1 2 1222 3 2 3 2 1 2 3 2 3 2 11 2 2 33 4 3 4 3 2 3 4 3 4 3 23 4 3 43 ( ) 3 ( )33[] [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ][ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]x x y yS x x x x y y y yx x x x y y y S t S S t S S t S S t S St t t S t S S t S S t S St t t t??? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?= 1 2 2 34 7 1 24 5 1 22 1 2 1????????(為了給 作解答，我們經(jīng)過 1[] 倍增等式（ 使其自動(dòng)地得到 ,1數(shù)，得出 1[ ] [ ] [ ]i T C?? ? 式中 1 , 12 , 13 , 14 , 10 . 2 7 9 2 1 . 2 9 1 70 . 7 8 3 6 0 . 0 9 9 60 . 8 7 7 6 0 . 1 7 2 00 . 6 2 1 7 0 . 9 7 4 5? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?(現(xiàn)在我們使用等式（ 到 ,21, 2 12113 ( ) 1 ( 2 )()i ???? ? ??? ? ? i=1,2,3 (1 , 22 , 23 , 2000 . 4 5 2 1 . 0 6 70 . 3 6 1 1 . 1 3 5 ???? ??? ????? ?????(相似地 ,等式（ 出 ,3數(shù) , 3 1 1321121( ) ( )( ) ( )i i i i S S ??? ??? ? ? ? (1 , 32 , 33 , 30 . 1 3 5 0 . 3 1 70 . 2 6 3 0 . 7 1 30 . 1 7 1 0 . 5 3 6 ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?(總之，我們已經(jīng)得到聯(lián)接所有的 4個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的所有的三條樣條和他們在他們的明確形式中被表達(dá) .。 ? ? ? ? ? ? ? ?231 1 1 0 . 2 7 9 1 . 2 9 2 0 0 0 . 1 3 5 0 . 3 1 7S t t t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?232 1 . 5 2 0 . 7 8 4 0 . 1 0 . 4 5 2 1 . 0 6 7 0 . 2 6 3 0 . 7 1 3S t t t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?233 2 . 5 1 . 7 5 0 . 8 7 8 0 . 1 7 2 0 . 3 6 1 1 . 1 3 5 0 . 1 7 1 0 . 5 3 6S t t t? ? ? ? ? ? (在圖 圖 參數(shù)的三次曲線是等式（ 出的。 范例 非參量性的三次樣條函數(shù) 非參量性的三次樣條函數(shù)被定義為是有唯一的單參數(shù)的函數(shù)的曲線。非參量性的三次樣條函數(shù)允許在 x 參數(shù)值和那三次樣條函數(shù)的數(shù)值之間的直線變量的關(guān)系式來決定。這從它的數(shù)學(xué)表達(dá)式中可看出： 23()S x a b x c x d x? ? ? ? (從等式（ 我們注意到那三次樣條函數(shù)是 x 獨(dú)自的函數(shù)。 如此，我們可以說在 ? ?0, 1, ..., nx x x 范圍內(nèi)的時(shí)間間隔中適合于已知的數(shù)據(jù)集點(diǎn) 1 2, ...,, P 的 判定，我們必須建立經(jīng)過所有這些點(diǎn)的樣條。讓每一子區(qū)間由 ,1[]來表示；因此，我們的任務(wù)將求出這些間隔中的每個(gè) 三次樣條函數(shù)。再次，我們必須得到一個(gè)為常數(shù) ,,和 d 作解答的算法。 三次樣條函數(shù) ()n? 三次部分樣條組成。每個(gè)點(diǎn)有 x 和 y 數(shù)值；因此，那 ()那間隔 1[ , ]，我們可以寫 ()i i iS x y? (1 1 1 1( ) ( )i i i iS x S x y? ? ? ??? (考慮那三次樣條函數(shù)的平滑性和連續(xù)性，從下列的情況得到： 1 1 1( ) ( )i i i iS x S x? ? ???? (1 1 1( ) ( )i i i iS x S x? ? ??? ??? (那非參量性的三次樣條函數(shù)適合于任何間隔 1x x ??? 可以表示為 23( ) ( ) ( ) ( )i i i i i i i iS x a b x x c x x d x x? ? ? ? ? ? ? (它的第一和第二導(dǎo)數(shù)是 22 ( ) 3 ( )i i i i i iS b c x x d x x? ? ? ? ? ? (2 6 ( )i i i iS c d x x?? ? ? ? (由等式（ （ 到樣條的利用標(biāo)準(zhǔn)，我們推斷出下列的： ()i i i iS x a y?? (2 311()i i i i i i i i i iS x a a b h c h d h??? ? ? ? ? (和 ()i i iS x b? ? (21 1 1 1( ) ( ) 2 3i i i i i i i i i iS x S x b b c h d h? ? ? ???? ? ? ? ? (1 1 1 1( ) ( ) 2 2 6i i i i i i i iS x S x c c d h? ? ? ??? ??? ? ? ? (式中 1i i ih x x??? 因?yàn)樗械?值是已知的，我們可以利用等式（ （ 出 11( 2 )3i i i i ii ia a h c cb h??????( 本質(zhì)上，上述等式適合于利用 和 1求出 結(jié)果。類似這樣的函數(shù)，如果我們使用 1 和 我們將得到另一個(gè)表達(dá)式，如下： 1 1 1( 2 )3i i i i ii ia a h c cb h ? ? ?????(等式（ （ 義同樣的 一旦我們使他們相等，他們就會(huì)變成一個(gè)依據(jù) 未知 等式 111 1 1 1 12 ( ) 3 ( )i i i ii i i i i i i a a ah c h h c h c ? ? ? ? ???? ? ? ? ? (當(dāng) 數(shù)被確定時(shí)，我們再一次在一矩陣形式中寫出上述等式 0 0 1 1 01 1 2 2 12 2 3 22 2 1 12 ( ) 0 00 2 ( ) 00 0 2 ( ) 0: : : : : :0 0 0 2 ( )n n n n nh h h h ch h h h ch h h ch h h h c? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2 1 1 0101 1 2123:n n n a a a a ? ???????????????(等式（ 等式 2n? 同未知數(shù) n 組成；因此 ,它不能被求解。但是，樣條的端點(diǎn) 0P 和 常被認(rèn)為必須滿足完全的邊界條件。通過已知 0c 和 等式（ 于通過 1值求出其余的 1c 。 上述等式可以用緊湊結(jié)構(gòu)來表示，如下 [ ][ ] [ ]c A? i=1,… , 1n? (H 和 A 可以當(dāng)作它們隨精確地已知系數(shù)來分別地計(jì)算 依次，樣條的等式確定通過由等式（ 出的 著由等式（ 出的 1 1 11( 2 )3i i i i a h c cb h ? ? ?????? (13h? ?? i=0,… , 1n? (邊界條件 然樣條函數(shù) 在自然樣條函數(shù)的邊界條件中由在曲線的開始和末端的點(diǎn)設(shè)定第二 導(dǎo)數(shù)為 0時(shí)而被求出。因此， 0( ) ( ) 0nS x S x? ???? (當(dāng)代入等式 (使我們得出 0 0 (位樣條函數(shù) 定位的邊界條件由在 x 和 定第一導(dǎo)數(shù)（ 斜率）來求出。簡而言之， 00( ) ( )S x f x??? (和 ( ) ( )x f x??? (當(dāng) f? 是一個(gè)指 定函數(shù)。下列范例說明這種方法計(jì)算 非參量性的三次樣條函數(shù)和使它的有用的部分最顯著。注意在唯一的一個(gè)簡單化的方法中我們已經(jīng)采用樣條的基本概念；它被留給讀者去研究在這個(gè)最主要的曲線擬合法之后數(shù)學(xué)的推進(jìn)。 范例 在下面的表格中顯示出的點(diǎn)求出 非參量性的三次樣條函數(shù)（自然樣條函數(shù)）。 i 0 1 1 2 1 n=2 — 解答： 第 1步：控制點(diǎn) ,時(shí)間間隔和 第 2步：求出 1c ： 自然樣條 (0c =2c =0) 2 1 1 00 0 0 1 1 1 2 102 ( ) 3 ( )a a a ah c h h c h c ? ? ? ? ? 1 1 . 7 5 2 2 10 . 5 0 2 ( 0 . 5 1 ) 1 0 3 ( )1 0 . 5c ??? ? ? ? ? ? ? 13 3 ( 0 2 )c ? ? ? 1 ? 第 3步：求出 和 11( 2 )3i i i i ii ia a h c cb h? ? ???? i = 0,… , 1n? 1 1 11( 2 )3i i i i a h c ? ?????? i = 1,… , n 13h? ?? i = 0,… , 1n? 1 0 0 0 1001000( 2 ) 2 . 3 7 5301 . 53a a h c ? ? ? ???? ??? ? ? ???2 1 1 1 2112111( 2 ) 1 . 2 5310 . 7 53a a h c ? ? ? ???? ??? ????結(jié)果如下 i 0 1 1 0 2 n? — — 0 — 圖 非參量性的三次樣條函數(shù)。 貝塞爾曲線 貝塞爾曲線的形狀是由那位置上的交點(diǎn)來定義的，并且那曲線不能與除邊界點(diǎn)之外的所有的已知點(diǎn)相交。在確實(shí)的情況中，存在著不適當(dāng)?shù)慕稽c(diǎn)或不適合地定位點(diǎn)，那三次樣條函數(shù)的方法在不判定更多點(diǎn)時(shí)不能形成平滑曲線。貝塞爾曲線允許非限制曲線的彎曲度適當(dāng)?shù)刎灤┧械狞c(diǎn)。這樣可設(shè)想曲線的形狀適合由一系列的點(diǎn)所定義的多邊形。 貝塞爾曲線的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（影響彎曲的形狀的重量因素）與伯恩斯坦基礎(chǔ)相關(guān)，通過下列 , ( ) (1 )i n nJ t t ???????? (式中 !!( ) !n ni i n i????????和 !n 定義為 **! ( 1 ) ( 2 ) * . . .n n n n? ? ? (在有序集合中 n 是 多項(xiàng)式的階和 i 是 特殊的極點(diǎn)（在 0 到 n 之間）。那曲線的交點(diǎn)被定義為 ,1( ) ( )n i n t S J t?? ? (0 1)t?? (從 1i? 到 n ，和 相當(dāng)于不同的點(diǎn)的矢量分量。 為了建立貝塞爾曲線，我們必須求 ,值，它有參數(shù) t 的函數(shù)。它是假設(shè)在it n? 時(shí) ,在最大值的函數(shù)和 ,由其給予的 , ( ) ( )( ) ( ) ni n i n i n iJ n i n??? (下列范例說明貝塞爾曲線的曲線擬合法。 范例 定貝塞爾曲線經(jīng)過下列各點(diǎn)： ? ?0 01P ? ? ?1 25P ? ? ?2 45P ? ? ?3 61P ? 求出 貝塞爾曲線經(jīng)過這些點(diǎn)的間距。 解答 我們 注意到 4個(gè)點(diǎn)構(gòu)成貝塞爾曲線的多邊形。因?yàn)槲覀冇?4個(gè)判定極點(diǎn)，則3n? 。 利用等式 (們可求出 J 函數(shù)的值，式中 0 3 33 , 023 , 123 , 233 , 3( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( ) 3 ( 1 )( ) 3 ( 1 )()J t t t tJ t tJ t t tJ t t? ? ? ??????(因此， 0 3 , 0 1 3 , 1 2 3 , 2 2 3 , 3()S t P J P J P J P J? ? ? ? (因?yàn)椴煌?t 的值，在圖表 可以求出 貝塞爾曲線適合的系數(shù)。結(jié)果是 ()? ?(0) 0 1S ? ? ?( 0 . 1 5 ) 0 . 9 2 . 5 2 9S ? ? ?( 0 . 3 5 ) 2 . 1 0 2 3 . 7 3 3S ? ? ?(0 3 4S ? ? ?( 0 . 6 5 ) 3 . 9 0 4 3 . 7 3 3S ? ? ?( 0 . 8 5 ) 5 . 0 9 9 2 . 5 2 9S ? ? ?(1) 6 1S ? 那答案被 繪制在圖 圖 貝塞爾曲線表示為圖表 表 貝塞爾曲線 函數(shù) 的賦值 3 , 1( 0 ,1, 2 , 3 ) 按照參數(shù) t t 3,0J 3,1J 3,2J 3,3J 0 1 0 0 0 0 0 0 1 范例 塞爾曲線等式的區(qū)別 貝塞爾曲線利用一階乘積的表達(dá)式和需要為了簡單化的計(jì)算而需要限制緊湊結(jié)構(gòu)的 , ()我們知道任何曲線的 函數(shù) 必須是在交點(diǎn)那個(gè)時(shí)候的區(qū)別，是定位最小值或最大值，斜率，和邊界點(diǎn)的必要條件。讓我們從那貝塞爾曲線正如等式 (所定義的開始，式中 ,1( ) ( )n i n t S J t?? ? (0 1)t?? (利用由等式 (部分地區(qū)別，我們獲得 ,,11() ( ) ( )n i i n t S J t S J ?????? (讓我們尋找一個(gè)由 和 J? 兩者都為了完成我們的區(qū)別的表達(dá)式。注解 變?yōu)榱闶且驗(yàn)樗?i 時(shí)表示出的特征值，和 , ( ) ( 1 )i n t t ????? ?????????? 11( 1 ) ( 1 ) ( 1 )i n i i n t t n t ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?(代替等式 (成等式 (我們得出 貝塞爾曲線的區(qū)別 11() ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )i n i i n t i t t S n t t ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? (上述等式注意到左邊和右邊的關(guān)系和標(biāo)志在 i 和 1i? 通過 i 隨著 1j? 在左邊關(guān)系簡單地轉(zhuǎn)換使我們可以引導(dǎo) S 的數(shù)值。 簡而言之 11 11100() ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 )1nn j n j i n t j t t S n i t t ? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ???(式中 1( 1 )1 ? ? ???? ? ? ??? ? ? ?和 1() i ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?然后等式 (下列的式子 ? ?1 1101() ( 1 )n i n j t n t t S ???????? ? ??????(在貝塞爾曲線中 起來控制頂點(diǎn)的數(shù)目影響曲線的真實(shí)度。此外，在貝塞爾曲線中的混合 函數(shù) 的性質(zhì)無法考慮到一個(gè)比較容易的方法修正當(dāng)前曲線的形狀。 ,0( ) ( )n i i t S N t?? ? 11()t t???? (式中 , 1 1 , 1, 11( ) ( ) ( ) ( )() i i k i k i i k i i k it t N t t t N t t t t? ? ? ?? ? ? ??????? (和 ,1 1() 0 ?? 1t t ??? 其余的全部 (此外， 被認(rèn)為是節(jié)點(diǎn)值并需要求值是為可獲得所有的 N 的函數(shù)。知道 ,1一常數(shù)；所以，根據(jù)等式 (,2比例為 1的一個(gè) 函數(shù)。類似這樣式子我們可看見 , () 1)k? ，當(dāng) k 是更大的時(shí)就要求按 1的比例。 k 的數(shù)值 明確表示曲線的種類。 這有兩種節(jié)點(diǎn)的類型： a) 周期性的節(jié)點(diǎn)： iT i k?? (0 )i n k? ? ? (b) 非周期性的節(jié)點(diǎn)： 0 12it i ? ? ??? ???0 i nn i n k????? ? ?(當(dāng) 明確表示周期性的節(jié)點(diǎn)的 曲線無法經(jīng)過第一個(gè)和最后一個(gè)點(diǎn)時(shí)，就由貝塞爾曲線來確定，反之非周期性的節(jié)點(diǎn)確定第一個(gè)和最后一個(gè)點(diǎn)經(jīng)過曲線。這個(gè)是由于述。 范例 例 3定義 為控制點(diǎn)的彎曲由 0, 1 2 解答： 當(dāng)那相鄰的節(jié)點(diǎn)之間的間隔總是 1時(shí)，這個(gè)定義那統(tǒng)一的節(jié)點(diǎn)情況。從等式(我們獲得那節(jié)點(diǎn)值如下： 0 1 2 3 40 , 0 , 0 , 1 , 1 ,t t t t t? ? ? ? ? 和 5 1t ? (注解 2n? k? ) 從等式 (們得到 , ()們需要求出 N 的函數(shù)相當(dāng)于按要求排序點(diǎn) 1, 2, 和 3。從 0t 到 我們定義 ( 1)n? 的混合函數(shù)。 種類 1. 讓我們求解全部可能的函數(shù)。 0, 11, 12, 13, 14, 11()01()1()01()01()0 ???? ???? ???? ???? ??0112233445t t t t t t ????????( 從以上可知在 0t? 和 1t? 時(shí)我們需要選擇非零的函數(shù)。因?yàn)槲覀冞x擇 2,1()0,1)內(nèi)有特征值為 1的僅有的非零的函數(shù)。 種類 2. 我們獲得種類 2 ,2函數(shù)如下： 1 1 , 1 3 2 , 11 , 2 2 1 3 2( ) ( )() t t N t t t t t t?????? 2, 1(1 )(1 )??(附件 2：外文原文 （復(fù)印件） ) 1 s ?? ? . of as 1. 2. 3. to in In we of we of to a of in , ),...,. is to a A is a is as a of or is in of a t as 32, 0 , 1 , 2 , 3()i i i i iS t a a a t a t? ? ? ? (, 0 , 1 , 2,,i i ia a a 3of t a So if is t? , is to 0 ,0 ( , )i i i i P x y? ? ? 1,..., ,0 [ , ]i i ia x y?(at is to t is ? ? ? ?221 1 1i i i i it x x y y? ? ?? ? ? ? 1 2,..., (is as 1, 2P. t. iS?P. )P, of t tt?P. In x y as to A of in of x? y? be as 23, 0 , 0 , 1 , 1 , 2 , 2 , 3 , 3( ) ( ) , ( ) , , , ,i x i y i x i y i x i y i x i y i x i y iS t S t S t a a a a t a a t a a t? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (0 ? 1,..., 1 we t? as as we 3, 0 , 1 , 2 , 3 0 , 0( 0 ) [ ]i i i i i i t t a a t a t a t a?? ? ? ? ? ? ? (2,1 , 2 , 3 ,100()( 0 ) 2 3ii i i i i t a a t a t ????? ??? ? ? ? ? ? ???????(0 ( , )i i i i iS a P x y??? (n 1 ,1? (n (we at P P , 1 , 2 , 3()( ) 2 3ii i i tS t a a t a ? ? ? ? (2, 2 , 32()( ) 2 6ii i tS t a a ? ? ? (3,33()( ) 6 tS t ? ?? (by we 01S S 231 1 , 2 , 3()i i iS t S S t a t a t?? ? ? ? (at , )x y 2,..., 1 1 1 1( ) ( 0 )i i i i iS t t S t