高一數(shù)學必修一知識點總結(jié) 集合與函數(shù)概念.doc

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高一數(shù)學必修一知識點總結(jié):集合與函數(shù)概念一：集合的含義與表示1、集合的含義：集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識到這些東西，并且能判斷一個給定的東西是否屬于這個整體。把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合，簡稱為集。2、集合的中元素的三個特性：（1）元素的確定性：集合確定，則一元素是否屬于這個集合是確定的：屬于或不屬于。（2）元素的互異性：一個給定集合中的元素是唯一的，不可重復(fù)的。（3）元素的無序性:集合中元素的位置是可以改變的，并且改變位置不影響集合3、集合的表示：（1）用大寫字母表示集合：A=我校的籃球隊員,B=1,2,3,4,5（2）集合的表示方法：列舉法與描述法。a、列舉法：將集合中的元素一一列舉出來a,b,cb、描述法：區(qū)間法：將集合中元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合。xR|x-32,x|x-32語言描述法：例：不是直角三角形的三角形Venn圖:畫出一條封閉的曲線，曲線里面表示集合。4、集合的分類：（1）有限集：含有有限個元素的集合（2）無限集：含有無限個元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合5、元素與集合的關(guān)系：（1）元素在集合里，則元素屬于集合，即：aA（2）元素不在集合里，則元素不屬于集合，即：aA注意：常用數(shù)集及其記法：非負整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N正整數(shù)集N*或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實數(shù)集R6、集合間的基本關(guān)系（1）.“包含”關(guān)系（1）子集定義：如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A是集合B的子集。7、集合的運算二、函數(shù)的概念函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A-B為從集合A到集合B的一個函數(shù)記作：y=f(x)，xA（1）其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；（2）與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)|xA叫做函數(shù)的值域函數(shù)的三要素：定義域、值域、對應(yīng)法則函數(shù)的表示方法：（1）解析法：明確函數(shù)的定義域（2）圖想像：確定函數(shù)圖像是否連線，函數(shù)的圖像可以是連續(xù)的曲線、直線、折線、離散的點等等。（3）列表法：選取的自變量要有代表性，可以反應(yīng)定義域的特征。4、函數(shù)圖象知識歸納(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數(shù)y=f(x),(xA)中的x為橫坐標，函數(shù)值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數(shù)y=f(x),(xA)的圖象C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上.(2)畫法A、描點法：B、圖象變換法：平移變換；伸縮變換；對稱變換，即平移。（3）函數(shù)圖像平移變換的特點：1）加左減右只對x2）上減下加只對y3）函數(shù)y=f(x)關(guān)于X軸對稱得函數(shù)y=-f(x)4）函數(shù)y=f(x)關(guān)于Y軸對稱得函數(shù)y=f(-x)5）函數(shù)y=f(x)關(guān)于原點對稱得函數(shù)y=-f(-x)6）函數(shù)y=f(x)將x軸下面圖像翻到x軸上面去，x軸上面圖像不動得函數(shù)y=|f(x)|7）函數(shù)y=f(x)先作x0的圖像，然后作關(guān)于y軸對稱的圖像得函數(shù)f(|x|)三、函數(shù)的基本性質(zhì)1、函數(shù)解析式子的求法（1、函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系時，一是要求出它們之間的對應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域.（2、求函數(shù)的解析式的主要方法有：1）代入法：2）待定系數(shù)法：3）換元法：4)拼湊法：2定義域：能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零；(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數(shù)為零底不可以等于零，(7)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.3、相同函數(shù)的判斷方法：表達式相同（與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)）；定義域一致(兩點必須同時具備)4、區(qū)間的概念：（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間（2）無窮區(qū)間（3）區(qū)間的數(shù)軸表示5、值域（先考慮其定義域）（1）觀察法：直接觀察函數(shù)的圖像或函數(shù)的解析式來求函數(shù)的值域；（2）反表示法：針對分式的類型，把Y關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式化成X關(guān)于Y的函數(shù)關(guān)系式，由X的范圍類似求Y的范圍。(3)配方法：針對二次函數(shù)的類型，根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)來確定函數(shù)的值域，注意定義域的范圍。(4)代換法（換元法）：作變量代換，針對根式的題型，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的類型。6.分段函數(shù)（1）在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。（2）各部分的自變量的取值情況（3）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集（4）常用的分段函數(shù)有取整函數(shù)、符號函數(shù)、含絕對值的函數(shù)7映射一般地，設(shè)A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：A-B為從集合A到集合B的一個映射。記作“f（對應(yīng)關(guān)系）：A（原象）-B（象）”對于映射f：AB來說，則應(yīng)滿足：(1)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個；(3)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。注意：映射是針對自然界中的所有事物而言的，而函數(shù)僅僅是針對數(shù)字來說的。所以函數(shù)是映射，而映射不一定的函數(shù)8、函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))及最值（1、增減函數(shù)（1）設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當x1x2時，都有f(x1)/x2時，都有f(x1)（2）如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；函數(shù)的單調(diào)性還有單調(diào)不增，和單調(diào)不減兩種（2、圖象的特點如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.（3、函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(A)定義法：任取x1，x2D，且x1x2；/x2；作差f(x1)f(x2)；變形（通常是因式分解和配方）；定號（即判斷差f(x1)f(x2)的正負）；下結(jié)論（指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）(B)圖象法(從圖象上看升降)(C)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)：如果y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),則y=fg(x)=F(x)(xA)稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)fg(x)的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減”注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.9：函數(shù)的奇偶性（整體性質(zhì)）（1、偶函數(shù)一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù)（2、奇函數(shù)一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù)（3、具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：a、首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關(guān)于原點對稱；若是不對稱，則是非奇非偶的函數(shù)；若對稱，則進行下面判斷；b、確定f(x)與f(x)的關(guān)系；c、作出相應(yīng)結(jié)論：若f(x)=f(x)或f(x)f(x)=0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(x)=f(x)或f(x)f(x)=0，則f(x)是奇函數(shù)（4）利用奇偶函數(shù)的四則運算以及復(fù)合函數(shù)的奇偶性a、在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù)；a、復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇。注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對稱，(1)再根據(jù)定義判定;(2)由f(-x)f(x)=0或f(x)f(-x)=1來判定;(3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定.10、函數(shù)最值及性質(zhì)的應(yīng)用（1、函數(shù)的最值a利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值b利用圖象求函數(shù)的最大（?。┲礳利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（?。┲担喝绻瘮?shù)y=f(x)在區(qū)間a，b上單調(diào)遞增，在區(qū)間b，c上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a，b上單調(diào)遞減，在區(qū)間b，c上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；（2、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性。（3、判斷含糊單調(diào)性時也可以用作商法，過程與作差法類似，區(qū)別在于作差法是與0作比較，作商法是與1作比較。（4）絕對值函數(shù)求最值，先分段，再通過各段的單調(diào)性，或圖像求最值。（5）在判斷函數(shù)的奇偶性時候，若已知是奇函數(shù)可以直接用f(0)=0，但是f(0)=0并不一定可以判斷函數(shù)為奇函數(shù)。（高一階段可以利用奇函數(shù)f(0)=0）。高一數(shù)學必修一知識點總結(jié):基本初等函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)（一）指數(shù)指數(shù)與指數(shù)冪的運算：復(fù)習初中整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：am*an=am+n(am)n=amn(a*b)n=anbn分數(shù)指數(shù)冪正數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪的二、對數(shù)函數(shù)（一）對數(shù)2、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：三、冪函數(shù)高一數(shù)學必修一知識點總結(jié):函數(shù)的應(yīng)用方程的根與函數(shù)的零點1、函數(shù)零點的概念：對于函數(shù)，把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點。2、函數(shù)零點的意義：函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標。即：方程有實數(shù)根，函數(shù)的圖象與坐標軸有交點，函數(shù)有零點3、函數(shù)零點的求法：（1）（代數(shù)法）求方程的實數(shù)根；（2）（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點4、二次函數(shù)的零點：（1）0，方程有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點（2）0，方程有兩相等實根（二重根），二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點（3）0，方程無實根，二次函數(shù)的圖象與軸無交點，二次函數(shù)無零點