高考數學人教A版（理）一輪復習：第九篇 第6講 拋物線

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第6講 拋物線 A級　基礎演練(時間：30分鐘　滿分：55分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．(2011·遼寧)已知F是拋物線y2＝x的焦點，A，B是該拋物線上的兩點，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為 (　　)． A. B．1 C. D. 解析　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線的定義，知|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝3，∵p＝，∴x1＋x2＝，∴線段AB的中點的橫坐標為＝. 答案　C 2．(2013·東北三校聯考)若拋物線y2＝2px(p>0)上一點P到焦點和拋物線的對稱軸的距離分別為10和6，則p的值為 (　　)． A．2 B．18 C．2或18 D．4或16 解析　設P(x0，y0)，則 ∴36＝2p，即p2－20p＋36＝0，解得p＝2或18. 答案　C 3．(2011·全國)已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，直線y＝2x－4與C交于A，B兩點，則cos∠AFB＝ (　　)． A. B. C．－ D．－ 解析　由得x2－5x＋4＝0，∴x＝1或x＝4.不妨設A(4,4)，B(1，－2)，則||＝5，||＝2，·＝(3,4)·(0，－2)＝－8，∴cos∠AFB＝＝＝－.故選D. 答案　D 4．(2012·山東)已知雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為 (　　)． A．x2＝y(tǒng) B．x2＝y(tǒng) C．x2＝8y D．x2＝16y 解析　∵－＝1的離心率為2，∴＝2，即＝＝4，∴＝.x2＝2py的焦點坐標為，－＝1的漸近線方程為y＝±x，即y＝±x.由題意，得＝2，∴p＝8.故C2：x2＝16y，選D. 答案　D 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．(2013·鄭州模擬)設斜率為1的直線l過拋物線y2＝ax(a>0)的焦點F，且和y軸交于點A，若△OAF(O為坐標原點)的面積為8，則a的值為________． 解析　依題意，有F，直線l為y＝x－，所以A，△OAF的面積為××＝8.解得a＝±16，依題意，只能取a＝16. 答案　16 6．(2012·陜西)如圖是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米．水位下降1米后，水面寬________米． 解析　如圖建立平面直角坐標系，設拋物線方程為x2＝－2py.由題意A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.設B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝，故水面寬為2米． 答案　2 三、解答題(共25分) 7．(12分)已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)過點A(1，－2)． (1)求拋物線C的方程，并求其準線方程； (2)是否存在平行于OA(O為坐標原點)的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點，且直線OA與l的距離等于？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由． 解　(1)將(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1， 所以p＝2. 故所求的拋物線C的方程為y2＝4x，其準線方程為x＝－1. (2)假設存在符合題意的直線l，其方程為y＝－2x＋t， 由得y2＋2y－2t＝0. 因為直線l與拋物線C有公共點， 所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－. 另一方面，由直線OA與l的距離d＝， 可得＝，解得t＝±1. 因為－1?，1∈， 所以符合題意的直線l存在，其方程為2x＋y－1＝0. 8．(13分)(2012·溫州十校聯考)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，以原點為圓心、橢圓短半軸長為半徑的圓與直線y＝x＋2相切． (1)求a與b； (2)設該橢圓的左、右焦點分別為F1，F2，直線l1過F2且與x軸垂直，動直線l2與y軸垂直，l2交l1于點P.求線段PF1的垂直平分線與l2的交點M的軌跡方程，并指明曲線類型． 解　(1)由e＝＝ ＝，得＝. 又由原點到直線y＝x＋2的距離等于橢圓短半軸的長，得b＝，則a＝. (2)法一　由c＝＝1，得F1(－1,0)，F2(1,0)． 設M(x，y)，則P(1，y)． 由|MF1|＝|MP|，得(x＋1)2＋y2＝(x－1)2，即y2＝－4x，所以所求的M的軌跡方程為y2＝－4x，該曲線為拋物線． 法二　因為點M在線段PF1的垂直平分線上，所以|MF1|＝|MP|，即M到F1的距離等于M到l1的距離．此軌跡是以F1(－1,0)為焦點，l1：x＝1為準線的拋物線，軌跡方程為y2＝－4x. B級　能力突破(時間：30分鐘　滿分：45分) 一、選擇題(每小題5分，共10分) 1．設F為拋物線y2＝4x的焦點，A，B，C為該拋物線上三點，若＋＋＝0，則||＋||＋||＝ (　　)． A．9 B．6 C．4 D．3 解析　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，由于拋物線y2＝4x的焦點F的坐標為(1,0)，由＋＋＝0，可得x1＋x2＋x3＝3，又由拋物線的定義可得||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋3＝6. 答案　B 2．(2013·洛陽統(tǒng)考)已知P是拋物線y2＝4x上一動點，則點P到直線l：2x－y＋3＝0和y軸的距離之和的最小值是 (　　)． A. B. C．2 D.－1 解析　由題意知，拋物線的焦點為F(1,0)．設點P到直線l的距離為d，由拋物線的定義可知，點P到y(tǒng)軸的距離為|PF|－1，所以點P到直線l的距離與到y(tǒng)軸的距離之和為d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值為點F到直線l的距離，故d＋|PF|的最小值為＝，所以d＋|PF|－1的最小值為－1. 答案　D 二、填空題(每小題5分，共10分) 3．(2012·北京)在直角坐標系xOy中，直線l過拋物線y2＝4x的焦點F，且與該拋物線相交于A，B兩點，其中點A在x軸上方．若直線l的傾斜角為60°，則△OAF的面積為________． 解析　直線l的方程為y＝(x－1)，即x＝y(tǒng)＋1，代入拋物線方程得y2－y－4＝0，解得yA＝＝2(yB<0，舍去)，故△OAF的面積為×1×2＝. 答案　 4．(2012·重慶)過拋物線y2＝2x的焦點F作直線交拋物線于A，B兩點，若|AB|＝，|AF|<|BF|，則|AF|＝________. 解析　設過拋物線焦點的直線為y＝k，聯立得，整理得，k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0，x1＋x2＝，x1x2＝.|AB|＝x1＋x2＋1＝＋1＝，得，k2＝24，代入k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0得，12x2－13x＋3＝0，解之得x1＝，x2＝，又|AF|<|BF|，故|AF|＝x1＋＝. 答案　 三、解答題(共25分) 5．(12分)已知拋物線C：y2＝4x，過點A(－1,0)的直線交拋物線C于P、Q兩點，設＝λ. (1)若點P關于x軸的對稱點為M，求證：直線MQ經過拋物線C的焦點F； (2)若λ∈，求|PQ|的最大值． 思維啟迪：(1)可利用向量共線證明直線MQ過F；(2)建立|PQ|和λ的關系，然后求最值． (1)證明　設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，－y1)． ∵＝λ，∴x1＋1＝λ(x2＋1)，y1＝λy2， ∴y＝λ2y，y＝4x1，y＝4x2，x1＝λ2x2， ∴λ2x2＋1＝λ(x2＋1)，λx2(λ－1)＝λ－1， ∵λ≠1，∴x2＝，x1＝λ，又F(1,0)， ∴＝(1－x1，y1)＝(1－λ，λy2) ＝λ＝λ， ∴直線MQ經過拋物線C的焦點F. (2)由(1)知x2＝，x1＝λ， 得x1x2＝1，y·y＝16x1x2＝16， ∵y1y2>0，∴y1y2＝4， 則|PQ|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2 ＝x＋x＋y＋y－2(x1x2＋y1y2) ＝2＋4－12 ＝2－16， λ∈，λ＋∈， 當λ＋＝，即λ＝時，|PQ|2有最大值，|PQ|的最大值為. 探究提高　圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來求最值；二是代數法，常將圓錐曲線的最值問題轉化為二次函數或三角函數的最值問題，然后利用基本不等式、函數的單調性或三角函數的有界性等求最值． 6．(13分)(2012·新課標全國)設拋物線C：x2＝2py(p＞0)的焦點為F，準線為l，A為C上一點，已知以F為圓心，FA為半徑的圓F交l于B，D兩點． (1)若∠BFD＝90°，△ABD的面積為4 ，求p的值及圓F的方程； (2)若A，B，F三點在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個公共點，求坐標原點到m，n距離的比值． 解　(1)由已知可得△BFD為等腰直角三角形，|BD|＝2p，圓F的半徑|FA|＝p. 由拋物線定義可知A到l的距離d＝|FA|＝ p. 因為△ABD的面積為4 ，所以|BD|·d＝4 ， 即·2p· p＝4 ，解得p＝－2(舍去)或p＝2. 所以F(0,1)，圓F的方程為x2＋(y－1)2＝8. (2)因為A，B，F三點在同一直線m上，所以AB為圓F的直徑，∠ADB＝90°. 由拋物線定義知|AD|＝|FA|＝|AB|. 所以∠ABD＝30°，m的斜率為或－. 當m的斜率為時，由已知可設n：y＝x＋b，代入x2＝2py得x2－px－2pb＝0. 由于n與C只有一個公共點，故Δ＝p2＋8pb＝0， 解得b＝－. 因為m的縱截距b1＝，＝3， 所以坐標原點到m，n距離的比值為3. 當m的斜率為－時，由圖形對稱性可知，坐標原點到m，n距離的比值為3. 綜上，坐標原點到m，n距離的比值為3. 特別提醒：教師配贈習題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設計·高考總復習》光盤中內容.