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余弦齒輪傳動的傳動特性分析
摘要：本文將基于數(shù)學(xué)模型分析一種的新型余弦齒輪傳動的幾個特性，比如重合度、滑動系數(shù)、接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力等。同時還與漸開線齒輪傳動的這些特性進(jìn)行了對比研究。分析了一些設(shè)計參數(shù)對傳動的影響，包括輪齒的數(shù)目、壓力角、接觸應(yīng)力及彎曲應(yīng)力等。并且驗證了以下結(jié)論：余弦齒輪傳動的重合度大約為1.2到1.3左右，與漸開線齒輪傳動相比縮減了20%；余弦齒輪傳動的滑動系數(shù)小于漸開線齒輪傳動；余弦齒輪傳動的接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力比漸開線齒輪傳動低；隨著輪齒數(shù)目的增加以及壓力角的增大，其接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力會逐漸降低。
關(guān)鍵詞：齒輪傳動 余弦齒形 重合度 滑動系數(shù) 應(yīng)力
引言
目前，在齒輪的設(shè)計中，漸開線齒輪、圓形齒輪及擺線針輪行星傳動這三種類型被廣泛應(yīng)用。由于其不同的優(yōu)缺點，它們被應(yīng)用于各種不同的場合。隨著計算機數(shù)字控制技術(shù)（數(shù)控）的發(fā)展，大量文獻(xiàn)提出了有關(guān)齒輪成形的結(jié)構(gòu)和方法等方面的研究報告。ARIGA等人[2]利用一種結(jié)合了圓弧和漸開線的齒輪銑刀制造出新型的“維爾德哈貝爾-諾維科夫”齒輪。這種特殊的齒形可以解決常規(guī)W-N齒輪對中心距變化敏感的問題。TSAY等人[3]研究了一種由漸開線及圓弧夠成的螺旋齒輪，這種齒輪在任何時刻的齒面接觸都是一個點而不是一條直線。KOMORI等[4]開發(fā)了一種邏輯齒輪，其在各接觸點的相對曲率為零。這種齒輪與漸開線齒輪相比具有更高的耐久性和強度。ZHAO等人[5]提出了微線段齒輪的生成過程。ZHANG等人[6]提出了雙漸開線曲線的概念，這是一種聯(lián)系在一起的過度曲線，并最終形成階梯形的齒牙。
LUO等人[7]提出了余弦齒輪傳動，它采用了余弦曲線的零線作為分度圓，余弦曲線的波長作為齒間距，而齒頂高就是余弦曲線的振幅。如圖.1所示，在分度圓附近或以上的區(qū)域即齒頂高部分，余弦齒輪的齒廓與漸開線齒輪非常接近。但在齒根區(qū)域，余弦齒輪的齒厚比漸開線齒輪的齒厚更大。
在數(shù)學(xué)模型中，基于齒輪嚙合理論，很多方程式包括余弦齒輪齒廓方程、共軛齒廓方程及運動路線方程等都已建立。同時還建立了余弦齒輪的實體模型，并對齒輪傳動的嚙合進(jìn)行了仿真分析[8]。這項工作的目的就是在于分析余弦齒輪傳動的特性。接下來的文章將分為三節(jié)。第一節(jié)，主要是對余弦齒輪傳動數(shù)學(xué)模型的介紹。第二節(jié)，主要對余弦齒輪傳動的幾個特性進(jìn)行了分析，包括重合度、滑動系數(shù)、接觸應(yīng)力及彎曲應(yīng)力等。并與漸開線齒輪傳動的這些特性進(jìn)行了對比研究。分析一些設(shè)計參數(shù)對齒輪傳動的影響，包括輪齒的數(shù)目、壓力角、接觸應(yīng)力及彎曲應(yīng)力等。最后將在第三節(jié)對研究進(jìn)行總結(jié)。
圖.1 余弦齒輪與漸開線齒輪
1 余弦齒輪傳動的數(shù)學(xué)模型
根據(jù)參考文獻(xiàn)[8]，余弦齒廓、共軛齒廓及運動路線方程可以表示成如下方程式
x1=mZ12+hcos(Z1θ)sinθy1=mZ12+hcos(Z1θ)cosθ (1)
x2=mZ12+hcosZ1θsinθ-1+1iφ1+asinφ1iy2=mZ12+hcosZ1θcosθ-1+1iφ1-asinφ1i (2)
x=mZ12+hcosZ1θsinθ-φ1y=mZ12+hcosZ1θcosθ-φ1-mZ12 (3)
式中：m和Z1 代表模量和齒數(shù)，
h、I 和 a 分別表示齒頂高、重合度和中心距，
θ是相對于1O1,x1,y1 坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角如圖.2所示，
β是余弦曲線上任意點處的切線與x1 軸的交角，
φ1是齒輪1的旋轉(zhuǎn)角，可以通過如下公式得到
φ1=arcsinmZ12+hcosZ1θsinθ+βmZ12-ββ=arctan-mZ12+hcosZ1θtanθ-hZ1sinZ1θmZ12+hcosZ1θ-hZ1tanθsinZ1θ
圖.2 余弦齒輪傳動的原理
2 余弦齒輪傳動的特性
基于數(shù)學(xué)模型，分析余弦齒輪傳動的三個重要特性：重合度、滑動系數(shù)和應(yīng)力。包括將這些特性與漸開線齒輪傳動進(jìn)行對比研究。
2.1 重合度
重合度可以表示一對齒輪在嚙合時的平均輪齒對數(shù)，其定義為一對輪齒從剛開始嚙合到分離時齒輪所旋轉(zhuǎn)的角度[9]。如圖.3所示，余弦齒輪的重合度可以如下表示：
ε=φe-φf2πZ1 (4)
式中：φe 和 φf 分別表示當(dāng)x=xe及x=xf 時的旋轉(zhuǎn)角φ1，它們可以通過公式(3)計算得到。
圖.3 余弦齒輪傳動的重合度
通過使用數(shù)學(xué)軟件Matlab，列舉了三個例子如數(shù)表1所示。同時在表1中還列出了漸開線齒輪傳動的參數(shù)，以方便進(jìn)行對比。根據(jù)表1可知，余弦齒輪傳動的重合度為1.2到1.3左右，這比漸開線齒輪傳動的重合度縮減了20%。根據(jù)參考文獻(xiàn)[10-11]，在齒輪泵的應(yīng)用中，齒輪的重合度約為1.1到1.3，因此，余弦齒輪傳動可以應(yīng)用于齒輪泵領(lǐng)域。
表1 余弦齒輪傳動的重合度
齒數(shù)
齒數(shù)
模量
余弦
齒輪傳動
漸開線
齒輪傳動
Z1
Z2
mmm
15
32
3
1.264
1.575
17
40
3
1.243
1.614
21
60
3
1.240
1.677
2.2 滑動系數(shù)
滑動系數(shù)是指齒輪在一個嚙合周期的滑移量。由于摩擦變小，較低的滑動系數(shù)將會有更大的動力傳動效率?；瑒酉禂?shù)被定義為其滑動弧長的比例相當(dāng)于平面嚙合時的弧長比例?；瑒酉禂?shù)U1和U2可以由如下公式表示[12]：
U1=1-r2-Lr1+Li21U2=1-r1+Lr2-Li12 (5)
式中：r1和r2分別表示兩齒輪分度圓的半徑；
L表示點H在P，x，y坐標(biāo)系的縱坐標(biāo)；
H是接觸點法線與O1O2 線的交點，如圖.4所示。
圖.4 余弦齒輪傳動的相當(dāng)滑動
i12=1i21=r2r1
因此，直線PH的斜率k可以由如下公式表示
k=-dxdy (6)
帶入公式（3）代人公式（6）可得：
k=mZ12+hcosZ1θ1-φ1'cosθ-φ1-AmZ12+hcosZ1θ1-φ1'sinθ-φ1+B (7)
式中：φ1' 和 β' 分別是 φ1 和 β 與 θ 的差，可以表示成如下公式:
φ1'=mZ12+hcosZ1θ1+β'cosθ+β-Cm2Z12-mZ12+hcosZ1θ2sin2θ+β-β'
β'=D+EmZ12+hcosZ1θ-hZ1tanθsinZ1θ2+hZ12mZ12+hcosZ1θsinZ1θ+tan2θcosZ1θmZ12+hcosZ1θ-hZ1tanθsinZ1θ2
式中：A=hZ1sinθ-φ1sinZ1θ
B=hZ1cosθ-φ1sinZ1θ
C=2hZ1sinZ1θsinθ+β
D=-mZ12+hcosZ1θsec2θ-2h2Z12sin2Z1θsec2θ
E=h2Z13tanθsin2Z1θ-sinZ1θcosZ1θ
因此，點H在坐標(biāo)系P，x，y上的縱坐標(biāo)可以表示為：
L=-kx0+y0 (8)
式中：（x0，y0）表示接觸點在坐標(biāo)系P，x，y上的坐標(biāo)。將公式（3）和公式（7）代人公式（8）可得：
L=F-GmZ12+hcosZ1θ1-φ1'sinθ-φ1+hZ1cosθ-φ1sinZ1θ+12mZ1+hcosZ1θcosθ-φ1-12mZ1 (9)
式中： G=mZ12+hcosZ1θ21-φ1'sinθ-φ1cosθ-φ1
F=hZ1mZ12+hcosZ1θsin2θ-φ1sinZ1θ
而rk1 ，rk2 和 θ 可以由下列公式得到：
rk1=mZ12+hcosZ1θrk2=rk12+a2-2rk1acosθ
將θ 和公式（9）代人公式（5）就可得到滑動系數(shù)。
這種齒輪被設(shè)計成模數(shù)m=3 mm，齒數(shù)Z1=35，傳動比i=2 。漸開線齒輪的壓力角為200，余弦齒輪的壓力角為220。根據(jù)公式（5）-（9），建立余弦齒輪傳動的主動輪及從動輪的滑動系數(shù)曲線圖，如圖.5所示。同時，為了方便進(jìn)行對比，在圖.5上還畫出了漸開線齒輪傳動的滑動系數(shù)[13]。根據(jù)圖.5可知余弦齒輪傳動的滑動系數(shù)小于漸開線齒輪傳動，這可以幫助改善其傳動性能。
(a) 主動輪
(b) 從動輪
圖.5 余弦齒輪傳動的滑動系數(shù)
2.3 接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力
一般情況下，組成一個有限元模型的有限單元越多，其分析的結(jié)果越精確。然而，整個齒輪傳動的有限元模型是首選地，特別是考慮到計算機的內(nèi)存限制和節(jié)約計算時間的需要。本文建立了余弦齒輪傳動的三種接觸齒形的有限元模型。其中兩個模型是基于真實的齒輪幾乎尺寸，使用Pro/E軟件建立齒輪的齒形，并輸出IGES格式文件 ，然后輸入ANSYS軟件進(jìn)行應(yīng)力分析。
使用下列設(shè)計參數(shù)對余弦齒輪傳動進(jìn)行數(shù)值計算：Z1=25，Z2=40，m=3 mm，α=220 ，寬度b=75 mm。基于力學(xué)性能的彈性模量E=210 Gpa。泊松比μ=0.29。
扭矩為98790 N?mm。每個模型的兩面應(yīng)盡量的遠(yuǎn)，圓角的選擇應(yīng)足以適用沿邊界的剛性約束。選擇輪齒下面足夠大的部分作為固定邊界。網(wǎng)狀區(qū)域使用平面-82單元。有限元模型如圖.6所示，共有3373個單元和10053個節(jié)點?？紤]了有關(guān)接觸的兩個問題：微小滑動和無摩擦。圖.7展示了馮-米塞斯應(yīng)力的等高線圖。計算結(jié)果在填入表2。
圖.6 有限元分析的應(yīng)用模型
圖.7 余弦齒輪傳動的應(yīng)力分布（MPa）
表2 最大彎曲應(yīng)力和接觸應(yīng)力 MPa
齒輪
接觸應(yīng)力
彎曲應(yīng)力
彎曲應(yīng)力
σc
（張力）σbt
（壓力）σbc
余弦齒輪
498.98
86.04
95.59
漸開線齒輪
641.58
115.24
134.00
圖.8 為在相同參數(shù)下的漸開線齒輪傳動的應(yīng)力分布圖，為了方便進(jìn)行對比。在輪齒圓角接觸面獲得的彎曲應(yīng)力視為拉伸應(yīng)力，而在輪齒背面的視為壓縮應(yīng)力。
圖.8 漸開線齒輪傳動的應(yīng)力分布（MPa）
從獲得的數(shù)值結(jié)果中可以得到以下結(jié)論：與漸開線齒輪相比，改成余弦后期最大接觸應(yīng)力減速了約22.23%；余弦齒輪彎曲應(yīng)力中的拉伸應(yīng)力比漸開線齒輪減少了25.34%，而壓縮應(yīng)力比漸開線齒輪減少了28.67%；余弦齒輪在應(yīng)用中允許減少其接觸和彎曲應(yīng)力。
2.4 設(shè)計參數(shù)對應(yīng)力的影響
用兩個例子，在有限元模型的基礎(chǔ)上對設(shè)計參數(shù)的影響進(jìn)行說明，設(shè)計參數(shù)包括輪齒數(shù)目、壓力角、接觸和彎曲應(yīng)力等
例子1：齒輪的壓力角α=220，在分度圓上，模量m=3 mm，寬b=75 mm。其他主要參數(shù)在表.3中顯示
表3 齒輪的主要設(shè)計參數(shù)（例子1）
序號
齒數(shù) Z1
傳動比 i
1
20
1.6
2
25
1.6
3
30
1.6
使用上述材料參數(shù)，通過ANSYS軟件同時對三組余弦齒輪的接觸和彎曲應(yīng)力進(jìn)行分析。結(jié)果如圖.9，圖.7及圖.10所示，接觸與彎曲應(yīng)力的數(shù)值如表4所示。根據(jù)表4可知隨著輪齒數(shù)目的增加，接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力會逐漸減小。此例子中，當(dāng)齒數(shù)Z1=20時，其接觸應(yīng)力、拉伸和壓縮彎曲應(yīng)力分別為569.76MPa、117.51MPa和124.98MPa，當(dāng)齒數(shù)Z1=30時，它們分別為410.61MPa、64.52MPa和74.41MPa。
圖.9 余弦齒輪傳動的應(yīng)力分析（Z1=20）(MPa)
圖.10 余弦齒輪傳動的應(yīng)力分布（Z1=30）(MPa)
表4 余弦齒輪在不同齒數(shù)下的應(yīng)力 MPa
齒數(shù)
接觸應(yīng)力
彎曲應(yīng)力
彎曲應(yīng)力
Z1
σc
（拉伸）σbt
（壓縮）σbc
20
569.76
117.51
124.98
25
498.98
86.04
95.59
30
410.61
64.52
74.41
例子2：齒輪的模量m=3 mm，齒數(shù)Z1=25，寬b=75 mm。其他主要參數(shù)如表5所示。
表5 齒輪的主要計算參數(shù)（例子2）
序號
壓力角 α/(0)
傳動比 i
1
22
1.6
2
23
1.6
3
24
1.6
使用上述材料參數(shù)，通過ANSYS軟件對其接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力進(jìn)行分析。結(jié)果如圖.7、圖.11和圖.12所示，接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力的數(shù)值如表6所示。
圖.11 余弦齒輪傳動的應(yīng)力分析（α=230）（MPa）
圖.12 余弦齒輪傳動的應(yīng)力分布（α=240）（MPa）
表6 不同壓力角下余弦齒輪的應(yīng)力
壓力角
接觸應(yīng)力
彎曲應(yīng)力
彎曲應(yīng)力
α/(0)
σc
（拉伸）σbt
（壓縮）σbc
22
498.98
86.04
95.59
23
448.96
80.89
91.02
24
395.43
71.81
86.32
根據(jù)表6，接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力的大小隨著壓力角的增大而減小。此例子中，當(dāng)壓力角α=220時，其接觸應(yīng)力、拉伸和壓縮彎曲應(yīng)力分布為498.98MPa、86.04MPa和95.59MPa，當(dāng)壓力角α=240時，它們分別為395.43MPa、71.84MPa和86.32MPa。
3 總結(jié)
研究了一種新型的齒輪傳動——余弦齒輪傳動。這種齒輪以余弦曲線作為齒廓?；跀?shù)學(xué)模型對余弦齒輪的特性進(jìn)行了研究，包括重合度、滑動系數(shù)和應(yīng)力。分析了設(shè)計參數(shù)的影響，包括輪齒數(shù)目、分度圓上的壓力角及應(yīng)力等。研究所得到的結(jié)果得出了以下結(jié)論。
（1）根據(jù)表1，余弦齒輪傳動的重合度約為1.2到1.3，比漸開線齒輪傳動縮減了20%。
（2）根據(jù)圖.5 余弦齒輪傳動的滑動系數(shù)略低于漸開線齒輪傳動。
（3）余弦齒輪傳動的接觸和彎曲應(yīng)力比漸開線齒輪傳動低。研究顯示，在第2節(jié)所給出的參數(shù)下，余弦齒輪傳動的最大接觸應(yīng)力與漸開線齒輪傳動相比減小了22.23%，其壓縮彎曲應(yīng)力與漸開線齒輪傳動相比減小了28.67%。
（4）根據(jù)有限元模型例子可得，接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力都隨著齒數(shù)和壓力角的增大而減小。
（5）余弦齒輪傳動是一種新型的齒輪傳動，因此，其他的一些特性，如檢測、對中心距變化的敏感度以及其制造過程等都應(yīng)在將來進(jìn)行仔細(xì)的研究分。