高考數(shù)學 考前3個月知識方法專題訓練 第一部分 知識方法篇 專題5 數(shù)列、推理與證明 第23練 數(shù)列求和問題 文

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第23練數(shù)列求和問題題型分析高考展望數(shù)列求和是數(shù)列部分高考考查的兩大重點之一，主要考查等差、等比數(shù)列的前n項和公式以及其他求和方法，尤其是錯位相減法、裂項相消法是高考的熱點內(nèi)容，常與通項公式相結(jié)合考查，有時也與函數(shù)、方程、不等式等知識交匯，綜合命題體驗高考1(2015安徽)已知數(shù)列an中，a11，anan1(n2)，則數(shù)列an的前9項和等于_答案27解析由已知數(shù)列an是以1為首項，以為公差的等差數(shù)列S99191827.2(2016浙江)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn.若S24，an12Sn1，nN*，則a1_，S5_.答案1121解析由解得a11，a23，當n2時，由已知可得：an12Sn1，an2Sn11，得an1an2an，an13an，又a23a1，an是首項為1，公比為3的等比數(shù)列Sn(3n1)S5121.3(2015課標全國)Sn為數(shù)列an的前n項和已知an0，a2an4Sn3.(1)求an的通項公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項和解(1)由a2an4Sn3，可知a2an14Sn13.可得aa2(an1an)4an1，即2(an1an)aa(an1an)(an1an)由于an0，可得an1an2.又a2a14a13，解得a11(舍去)或a13.所以an是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，通項公式為an2n1.(2)由an2n1可知bn.設(shè)數(shù)列bn的前n項和為Tn，則Tnb1b2bn.4(2016山東)已知數(shù)列an的前n項和Sn3n28n，bn是等差數(shù)列，且anbnbn1.(1)求數(shù)列bn的通項公式；(2)令cn，求數(shù)列cn的前n項和Tn.解(1)由題意知，當n2時，Sn13n22n5，anSnSn16n5，當n1時，a1S111，符合an通項公式，所以an6n5.設(shè)數(shù)列bn的公差為d.由即可解得b14，d3，所以bn3n1.(2)由(1)知，cn3(n1)2n1.又Tnc1c2cn，得Tn3222323(n1)2n1，2Tn3223324(n1)2n2兩式作差，得Tn322223242n1(n1)2n233n2n2，所以Tn3n2n2.高考必會題型題型一分組轉(zhuǎn)化法求和例1(2016天津)已知an是等比數(shù)列，前n項和為Sn(nN*)，且，S663.(1)求an的通項公式；(2)若對任意的nN*，bn是log2an與log2an1的等差中項，求數(shù)列(1)nb的前2n項和解(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q.由已知，有，解得q2或q1.又由S6a163，知q1，所以a163，得a11.所以an2n1.(2)由題意，得bn(log2anlog2an1)(log22n1log22n)n，即bn是首項為，公差為1的等差數(shù)列設(shè)數(shù)列(1)nb的前n項和為Tn，則T2n(bb)(bb)(bb)b1b2b3b4b2n1b2n2n2.點評分組求和常見的方法：(1)根據(jù)等差、等比數(shù)列分組，即分組后，每一組可能是等差數(shù)列或等比數(shù)列；(2)根據(jù)正號、負號分組；(3)根據(jù)數(shù)列的周期性分組；(4)根據(jù)奇數(shù)項、偶數(shù)項分組變式訓練1(2016浙江)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，已知S24，an12Sn1，nN*.(1)求通項公式an；(2)求數(shù)列|ann2|的前n項和解(1)由題意得則又當n2時，由an1an(2Sn1)(2Sn11)2an，得an13an.所以數(shù)列an的通項公式為an3n1，nN*.(2)設(shè)bn|3n1n2|，nN*，則b12，b21，當n3時，由于3n1n2，故bn3n1n2，n3.設(shè)數(shù)列bn的前n項和為Tn，則T12，T23，當n3時，Tn3，所以Tn題型二錯位相減法求和例2(2015湖北)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，前n項和為Sn，等比數(shù)列bn的公比為q，已知b1a1，b22，qd，S10100.(1) 求數(shù)列an，bn的通項公式；(2) 當d1時，記cn，求數(shù)列cn的前n項和Tn.解(1)由題意有，即解得或故或(2)由d1，知an2n1，bn2n1，故cn，于是Tn1，Tn.可得Tn23，故Tn6.點評錯位相減法的關(guān)注點(1)適用題型：等差數(shù)列an乘以等比數(shù)列bn對應項“anbn”型數(shù)列求和(2)步驟：求和時先乘以數(shù)列bn的公比；把兩個和的形式錯位相減；整理結(jié)果形式變式訓練2(2015山東)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn.已知2Sn3n3.(1)求an的通項公式；(2)若數(shù)列bn滿足anbnlog3an，求bn的前n項和Tn.解(1)因為2Sn3n3，所以2a133，故a13，當n1時，2Sn13n13，此時2an2Sn2Sn13n3n123n1，即an3n1，所以an(2)因為anbnlog3an，所以，當n1時，b1，所以T1b1；當n1時，bn31nlog33n1(n1)31n.所以，當n1時，Tnb1b2b3bn(131232(n1)31n)，所以3Tn1(130231(n1)32n)，兩式相減，得2Tn(30313232n)(n1)31n(n1)31n，所以Tn，經(jīng)檢驗，n1時也適合綜上可得Tn.題型三裂項相消法求和例3若數(shù)列an的前n項和為Sn，點(an，Sn)在yx的圖象上(nN*)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若c10，且對任意正整數(shù)n都有cn1cnlogan，求證：對任意正整數(shù)n2，總有.(1)解Snan，當n2時，anSnSn1an1an，anan1.又S1a1，a1，an()n1()2n1.(2)證明由cn1cnlogan2n1，得當n2時，cnc1(c2c1)(c3c2)(cncn1)035(2n1)n21(n1)(n1)(1)()()()(1)()().又，原式得證點評(1)裂項相消法：把數(shù)列和式中的各項分別裂開后，消去一部分從而計算和的方法，適用于求通項為的前n項和，其中an若為等差數(shù)列，則()其余還有公式法求和等(2)利用裂項相消法求和時，應注意抵消后并不一定只剩第一項和最后一項，也可能前面剩兩項，后面也剩兩項變式訓練3等差數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a110，a2為整數(shù)，且SnS4.(1)求an的通項公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解(1)由a110，a2為整數(shù)，知等差數(shù)列an的公差d為整數(shù)又SnS4，故a40，a50，于是103d0,104d0.解得d.因此d3.數(shù)列an的通項公式為an133n.(2)bn.于是Tnb1b2bn.高考題型精練1已知數(shù)列1，3，5，7，則其前n項和Sn為()An21Bn22Cn21Dn22答案A解析因為an2n1，則Snnn21.2已知數(shù)列an：，若bn，那么數(shù)列bn的前n項和Sn為()A.B.C.D.答案B解析an，bn4，Sn44(1).3數(shù)列an的通項公式為an(1)n1(4n3)，則它的前100項之和S100等于()A200 B200 C400 D400答案B解析S100(413)(423)(433)(41003)4(12)(34)(99100)4(50)200.4已知函數(shù)f(n)且anf(n)f(n1)，則a1a2a3a100等于()A0 B100C100 D10 200答案B解析由題意，得a1a2a3a1001222223232424252992100210021012(12)(32)(43)(99100)(101100)(1299100)(23100101)5010150103100.故選B.5若數(shù)列an的通項公式為an，則其前n項和Sn為()A1B.C.D.答案D解析因為an，所以Sna1a2an11.故選D.6已知數(shù)列an為等比數(shù)列，前三項為：a，a，a，且Sna1a2an，則Tnaaa等于()A9B81C.D81答案C解析由2a解得a3(a1舍去)，Tnaaa.7對于數(shù)列an，定義數(shù)列an1an為數(shù)列an的“差數(shù)列”，若a11，an的“差數(shù)列”的通項公式為an1an2n，則數(shù)列an的前n項和Sn_.答案2n1n2解析因為an1an2n，應用累加法可得an2n1，所以Sna1a2a3an222232nnn2n1n2.8若數(shù)列an的通項公式為an2n2n1，則數(shù)列an的前n項和Sn_.答案2n12n2解析Sn2n12n2.9數(shù)列an滿足an1(1)nan2n1，則an的前60項和為_答案1 830解析an1(1)nan2n1，a21a1，a32a1，a47a1，a5a1，a69a1，a72a1，a815a1，a9a1，a1017a1，a112a1，a1223a1，a57a1，a58113a1，a592a1，a60119a1，a1a2a60(a1a2a3a4)(a5a6a7a8)(a57a58a59a60)1026422341 830.10在等比數(shù)列an中，a13，a481，若數(shù)列bn滿足bnlog3an，則數(shù)列的前n項和Sn_.答案解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則q327，解得q3.所以ana1qn133n13n，故bnlog3ann，所以.則數(shù)列的前n項和為11.11設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，點(nN*)均在函數(shù)y3x2的圖象上(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bn，Tn是數(shù)列bn的前n項和，求使得Tn對所有nN*都成立的最小正整數(shù)m.解(1)依題意得，3n2，即Sn3n22n.當n2時，anSnSn1(3n22n)3(n1)22(n1)6n5.當n1時，a1S1312211615，所以an6n5(nN*)(2)由(1)得bn.故Tnn.因此，使得(nN*)成立的m必須滿足，即m10，故滿足要求的最小正整數(shù)m為10.12在數(shù)列an中，a13，a25，且an1是等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若bnnan，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解(1)an1是等比數(shù)列且a112，a214，2，an122n12n，an2n1.(2)bnnann2nn，故Tnb1b2b3bn(2222323n2n)(123n)令T2222323n2n，則2T22223324n2n1.兩式相減，得T222232nn2n1n2n1，T2(12n)n2n12(n1)2n1.123n，Tn(n1)2n1.