八年級數學上學期期中試卷（含解析） 蘇科版2 (3)

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2016-2017學年江蘇省蘇州市昆山市、太倉市八年級（上）期中數學試卷 一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．請將下列各題唯一正確的選項代號填涂在答題卡相應的位置上） 1．下面有4個汽車標志圖案，其中是軸對稱圖形的有（　　） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 2．下列說法正確的是（　?。? A．9的立方根是3 B．算術平方根等于它本身的數一定是1 C．﹣2是4的平方根 D．的算術平方根是4 3．下列說法正確的是（　?。? A．全等三角形是指形狀相同的兩個三角形 B．全等三角形的周長和面積分別相等 C．全等三角形是指面積相等的兩個三角形 D．所有的等邊三角形都是全等三角形 4．如圖，∠CAB=∠DBA，再添加一個條件，不一定能判定△ABC≌△BAD的是（　　） A．AC=BD B．∠1=∠2 C．AD=BC D．∠C=∠D 5．在，﹣3.14，，﹣0.3，，0.5858858885…，中無理數有（　?。? A．3個 B．4個 C．5個 D．6個 6．如果點P（﹣2，b）和點Q（a，﹣3）關于x軸對稱，則a+b的值是（　?。? A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5 7．如圖，已知等邊△ABC中，BD=CE，AD與BE相交于點P，則∠APE的度數為（　?。? A．45 B．60 C．55 D．75 8．已知等腰三角形的兩邊長分別為a、b，且a、b滿足+（2a+3b﹣13）2=0，則此等腰三角形的周長為（　?。? A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10 9．如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE=DG，△ADG和△AED的面積分別為50和39，則△EDF的面積為（　?。? A．11 B．5.5 C．7 D．3.5 10．已知：如圖，BD為△ABC的角平分線，且BD=BC，E為BD延長線上的一點，BE=BA，過E作EF⊥AB，F為垂足．下列結論：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180；③AD=AE=EC；④BA+BC=2BF．其中正確的是（　?。? A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 　 二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分） 11．的平方根是　　． 12．如圖，OC是∠AOB的平分線，PD⊥DA，垂足為D，PD=2，則點P到OB的距離是　　． 13．如圖，a∥b，點A在直線a上，點C在直線b上，∠BAC=90，AB=AC，若∠1=20，則∠2的度數為　　． 14．已知+=0，那么（a+b）2016的值為　　． 15．若一個正數的兩個不同的平方根為2m﹣6和m+3，則m為　?。? 16．若等腰三角形的一個外角是80，則等腰三角形的底角是　?。? 17．如圖，在22的正方形格紙中，有一個以格點為頂點的△ABC，請你找出格紙中所有與△ABC成軸對稱且也以格點為頂點的三角形，這樣的三角形共有　　個． 18．如圖，等邊△ABC中，AB=4，E是線段AC上的任意一點，∠BAC的平分線交BC于D，AD=2，F是AD上的動點，連接CF、EF，則CF+EF的最小值為　　． 　 三、解答題（本大題共10小題，共76分，應寫出必要的計算過程、推理步驟或文字說明） 19．計算或化簡： （1）（）2﹣﹣ （2）﹣+（1﹣）0﹣|﹣2| 20．求下列各式中x的值 （1）（x+1）2﹣3=0； （2）3x3+4=﹣20． 21．已知5x﹣1的算術平方根是3，4x+2y+1的立方根是1，求4x﹣2y的平方根． 22．已知：如圖，AB∥CD，E是AB的中點，CE=DE．求證： （1）∠AEC=∠BED； （2）AC=BD． 23．已知：如圖，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90，AB=AC，AD=AE，點C、D、E三點在同一直線上，連接BD． 求證：（1）△BAD≌△CAE； （2）試猜想BD、CE有何特殊位置關系，并證明． 24．如圖，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于點F，交BC于點E，且BD=DE． （1）若∠BAE=40，求∠C的度數； （2）若△ABC周長13cm，AC=6cm，求DC長． 25．如圖，方格紙上畫有AB、CD兩條線段，按下列要求作圖（不保留作圖痕跡，不要求寫出作法） （1）請你在圖（1）中畫出線段AB關于CD所在直線成軸對稱的圖形； （2）請你在圖（2）中添上一條線段，使圖中的3條線段組成一個軸對稱圖形，請畫出所有情形． 26．在△ABC中，AB邊的垂直平分線l1交BC于D，AC邊的垂直平分線l2交BC于E，l1與l2相交于點O．△ADE的周長為6cm． （1）求BC的長； （2）分別連結OA、OB、OC，若△OBC的周長為16cm，求OA的長． 27．已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90，點D是AB的中點，點E是AB邊上一點． （1）直線BF垂直于直線CE于點F，交CD于點G（如圖1），求證：AE=CG； （2）直線AH垂直于直線CE，垂足為點H，交CD的延長線于點M（如圖2），找出圖中與BE相等的線段，并證明． 28．問題背景： （1）如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120，∠B=∠ADC=90．E，F分別是BC，CD上的點．且∠EAF=60．探究圖中線段BE，EF，FD之間的數量關系．小王同學探究此問題的方法是，延長FD到點G．使DG=BE．連結AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結論，他的結論應是　?。? 探索延伸： （2）如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180．E，F分別是BC，CD上的點，且∠EAF=∠BAD，上述結論是否仍然成立，并說明理由． 　  2016-2017學年江蘇省蘇州市昆山市、太倉市八年級（上）期中數學試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．請將下列各題唯一正確的選項代號填涂在答題卡相應的位置上） 1．下面有4個汽車標志圖案，其中是軸對稱圖形的有（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【考點】軸對稱圖形． 【分析】根據軸對稱圖形的概念結合4個汽車標志圖案的形狀求解． 【解答】解：由軸對稱圖形的概念可知第1個，第2個，第3個都是軸對稱圖形． 第4個不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形． 故是軸對稱圖形的有3個． 故選C． 　 2．下列說法正確的是（　?。? A．9的立方根是3 B．算術平方根等于它本身的數一定是1 C．﹣2是4的平方根 D．的算術平方根是4 【考點】立方根；平方根；算術平方根． 【分析】利用立方根及平方根定義判斷即可得到結果． 【解答】解：A、9的立方根為，錯誤； B、算術平方根等于本身的數是0和1，錯誤； C、﹣2是4的平方根，正確； D、=4，4的算術平方根為2，錯誤， 故選C 　 3．下列說法正確的是（　?。? A．全等三角形是指形狀相同的兩個三角形 B．全等三角形的周長和面積分別相等 C．全等三角形是指面積相等的兩個三角形 D．所有的等邊三角形都是全等三角形 【考點】全等三角形的應用． 【分析】依據全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個三角形．即可求解． 【解答】解：A、全等三角形的形狀相同，但形狀相同的兩個三角形不一定是全等三角形．故該選項錯誤； B、全等三角形是指能夠完全重合的兩個三角形，則全等三角形的周長和面積一定相等，故B正確； C、全等三角形面積相等，但面積相等的兩個三角形不一定是全等三角形．故該選項錯誤； D、兩個等邊三角形，形狀相同，但不一定能完全重合，不一定全等．故錯誤． 故選B． 　 4．如圖，∠CAB=∠DBA，再添加一個條件，不一定能判定△ABC≌△BAD的是（　?。? A．AC=BD B．∠1=∠2 C．AD=BC D．∠C=∠D 【考點】全等三角形的判定． 【分析】根據全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）判斷即可． 【解答】解：A、∵AC=BD，∠CAB=∠DBA，AB=AB， ∴根據SAS能推出△ABC≌△BAD，故本選項錯誤； B、∵∠CAB=∠DBA，AB=AB，∠1=∠2， ∴根據ASA能推出△ABC≌△BAD，故本選項錯誤； C、根據AD=BC和已知不能推出△ABC≌△BAD，故本選項正確； D、∵∠C=∠D，∠CAB=∠DBA，AB=AB， ∴根據AAS能推出△ABC≌△BAD，故本選項錯誤； 故選C． 　 5．在，﹣3.14，，﹣0.3，，0.5858858885…，中無理數有（　　） A．3個 B．4個 C．5個 D．6個 【考點】無理數． 【分析】無理數就是無限不循環(huán)小數．理解無理數的概念，一定要同時理解有理數的概念，有理數是整數與分數的統(tǒng)稱．即有限小數和無限循環(huán)小數是有理數，而無限不循環(huán)小數是無理數．由此即可判定選擇項． 【解答】解：，，0.5858858885…是無理數， 故選：A． 　 6．如果點P（﹣2，b）和點Q（a，﹣3）關于x軸對稱，則a+b的值是（　?。? A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5 【考點】關于x軸、y軸對稱的點的坐標． 【分析】根據關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數，求出a、b的值，再計算a+b的值． 【解答】解：∵點P（﹣2，b）和點Q（a，﹣3）關于x軸對稱， 又∵關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數， ∴a=﹣2，b=3． ∴a+b=1，故選B． 　 7．如圖，已知等邊△ABC中，BD=CE，AD與BE相交于點P，則∠APE的度數為（　?。? A．45 B．60 C．55 D．75 【考點】全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質． 【分析】通過證△ABD≌△BCE得∠BAD=∠CBE；運用外角的性質求解． 【解答】解：等邊△ABC中，有 ∵ ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠BAD=∠CBE ∴∠APE=∠BAD+∠ABP=∠ABP+∠PBD=∠ABD=60． 故選：B． 　 8．已知等腰三角形的兩邊長分別為a、b，且a、b滿足+（2a+3b﹣13）2=0，則此等腰三角形的周長為（　?。? A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10 【考點】等腰三角形的性質；非負數的性質：偶次方；非負數的性質：算術平方根；解二元一次方程組；三角形三邊關系． 【分析】先根據非負數的性質求出a，b的值，再分兩種情況確定第三邊的長，從而得出三角形的周長． 【解答】解：∵+（2a+3b﹣13）2=0， ∴， 解得， 當a為底時，三角形的三邊長為2，3，3，則周長為8； 當b為底時，三角形的三邊長為2，2，3，則周長為7； 綜上所述此等腰三角形的周長為7或8． 故選：A． 　 9．如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE=DG，△ADG和△AED的面積分別為50和39，則△EDF的面積為（　?。? A．11 B．5.5 C．7 D．3.5 【考點】角平分線的性質；全等三角形的判定與性質． 【分析】作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分線的性質得到DN=DF，將三角形EDF的面積轉化為三角形DNM的面積來求． 【解答】解：作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC于點N， ∵DE=DG， ∴DM=DG， ∵AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB， ∴DF=DN， 在Rt△DEF和Rt△DMN中， ， ∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL）， ∵△ADG和△AED的面積分別為50和39， ∴S△MDG=S△ADG﹣S△ADM=50﹣39=11， S△DNM=S△EDF=S△MDG=11=5.5． 故選B． 　 10．已知：如圖，BD為△ABC的角平分線，且BD=BC，E為BD延長線上的一點，BE=BA，過E作EF⊥AB，F為垂足．下列結論：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180；③AD=AE=EC；④BA+BC=2BF．其中正確的是（　?。? A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【考點】全等三角形的判定與性質． 【分析】易證△ABD≌△EBC，可得∠BCE=∠BDA，AD=EC可得①②正確，再根據角平分線的性質可求得∠DAE=∠DCE，即③正確，根據③可求得④正確． 【解答】解： ①∵BD為△ABC的角平分線，∴∠ABD=∠CBD， ∴在△ABD和△EBC中，， ∴△ABD≌△EBC（SAS），…①正確； ②∵BD為△ABC的角平分線，BD=BC，BE=BA， ∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA， ∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE=∠BDA， ∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180，…②正確； ③∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA， ∴∠DCE=∠DAE， ∴△ACE為等腰三角形， ∴AE=EC， ∵△ABD≌△EBC， ∴AD=EC， ∴AD=AE=EC．…③正確； ④過E作EG⊥BC于G點， ∵E是BD上的點，∴EF=EG， ∵在RT△BEG和RT△BEF中，， ∴RT△BEG≌RT△BEF（HL）， ∴BG=BF， ∵在RT△CEG和RT△AFE中，， ∴RT△CEG≌RT△AFE（HL）， ∴AF=CG， ∴BA+BC=BF+FA+BG﹣CG=BF+BG=2BF．…④正確． 故選D． 　 二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分） 11．的平方根是　2　． 【考點】平方根；算術平方根． 【分析】根據平方根的定義，求數a的平方根，也就是求一個數x，使得x2=a，則x就是a的平方根，由此即可解決問題． 【解答】解：的平方根是2． 故答案為：2 　 12．如圖，OC是∠AOB的平分線，PD⊥DA，垂足為D，PD=2，則點P到OB的距離是　2?。? 【考點】角平分線的性質． 【分析】過點P作PE⊥OB，由角平分線的性質可得PD=PE，進而可得出結論． 【解答】解：如圖，過點P作PE⊥OB， ∵OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，且PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PE=PD，又PD=2， ∴PE=PD=2． 故答案為2． 　 13．如圖，a∥b，點A在直線a上，點C在直線b上，∠BAC=90，AB=AC，若∠1=20，則∠2的度數為　65　． 【考點】平行線的性質；等腰直角三角形． 【分析】根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理求出∠ACB，求出∠ACM，根據平行線的性質得出∠2=∠ACM，代入求出即可． 【解答】解：∵∠BAC=90，AB=AC， ∴∠ACB=∠B=45， ∵∠1=20， ∴∠ACM=20+45=65， ∵直線a∥直線b， ∴∠2=∠ACM=65， 故答案為：65． 　 14．已知+=0，那么（a+b）2016的值為　1?。? 【考點】非負數的性質：算術平方根． 【分析】根據非負數的性質列出算式，求出a、b的值，代入計算即可． 【解答】解：由題意得，a﹣2=0，b+3=0， 解得，a=2，b=﹣3， 則（a+b）2016=1， 故答案為：1． 　 15．若一個正數的兩個不同的平方根為2m﹣6和m+3，則m為　1?。? 【考點】平方根． 【分析】由平方根的性質可求出m的值； 【解答】解：由題意可知：（2m﹣6）+（m+3）=0， ∴3m=3， ∴m=1， 故答案為：1 　 16．若等腰三角形的一個外角是80，則等腰三角形的底角是　40?。? 【考點】等腰三角形的性質． 【分析】首先判斷出與80角相鄰的內角是底角還是頂角，然后再結合等腰三角形的性質及三角形內角和定理進行計算． 【解答】解：與80角相鄰的內角度數為100； 當100角是底角時，100+100＞180，不符合三角形內角和定理，此種情況不成立； 當100角是頂角時，底角的度數=802=40； 故此等腰三角形的底角為40． 故答案為：40． 　 17．如圖，在22的正方形格紙中，有一個以格點為頂點的△ABC，請你找出格紙中所有與△ABC成軸對稱且也以格點為頂點的三角形，這樣的三角形共有　5　個． 【考點】利用軸對稱設計圖案． 【分析】根據軸對稱圖形的定義：如果一個圖形沿著一條直線對折，兩側的圖形能完全重合，這個圖形就是軸對稱圖形進行畫圖即可． 【解答】解：如圖所示：與△ABC成軸對稱的有：△FBM，△ABE，△AND，△CMN，△BEC共5個， 故答案為：5． 　 18．如圖，等邊△ABC中，AB=4，E是線段AC上的任意一點，∠BAC的平分線交BC于D，AD=2，F是AD上的動點，連接CF、EF，則CF+EF的最小值為　2?。? 【考點】軸對稱-最短路線問題；等邊三角形的性質． 【分析】根據等腰三角形三線合一的性質可得AD⊥BC，BD=CD，從而得到點B、C關于AD對稱，再根據垂線段最短，過點B作BE⊥AC于E，交AD于F，連接CF，根據軸對稱確定最短路線問題，點E、F即為使CF+EF的最小值的點，再根據等邊三角形的性質求出BE即可． 【解答】解：∵AD是等邊△ABC的∠BAC的平分線， ∴AD⊥BC，BD=CD， ∴點B、C關于AD對稱， 過點B作BE⊥AC于E，交AD于F，連接CF， 由軸對稱確定最短路線問題，點E、F即為使CF+EF的最小值的點， ∵△ABC是等邊三角形，AD、BE都是高， ∴BE=AD=2， ∴CF+EF的最小值=BE=2． 故答案為：2． 　 三、解答題（本大題共10小題，共76分，應寫出必要的計算過程、推理步驟或文字說明） 19．計算或化簡： （1）（）2﹣﹣ （2）﹣+（1﹣）0﹣|﹣2| 【考點】實數的運算；零指數冪． 【分析】（1）原式利用平方根及立方根定義計算即可得到結果； （2）原式利用零指數冪法則，以及絕對值的代數意義化簡，計算即可得到結果． 【解答】解：（1）原式=4﹣2﹣5=﹣3； （2）原式=﹣+1﹣2+=﹣1． 　 20．求下列各式中x的值 （1）（x+1）2﹣3=0； （2）3x3+4=﹣20． 【考點】立方根；平方根． 【分析】根據立方根和立方根的性質即可求出x的值． 【解答】解：（1）（x+1）2﹣3=0， ∴x+1=， 解得：x1=﹣1+，x2=﹣1﹣； （2）3x3+4=﹣20， ∴3x3=﹣24， ∴x3=﹣8， 解得：x=﹣2． 　 21．已知5x﹣1的算術平方根是3，4x+2y+1的立方根是1，求4x﹣2y的平方根． 【考點】立方根；平方根；算術平方根． 【分析】根據算術平方根、立方根的定義求出x、y的值，求出4x﹣2y的值，再根據平方根定義求出即可． 【解答】解：∵5x﹣1的算術平方根為3， ∴5x﹣1=9， ∴x=2， ∵4x+2y+1的立方根是1， ∴4x+2y+1=1， ∴y=﹣4， 4x﹣2y=42﹣2（﹣4）=16， ∴4x﹣2y的平方根是4． 　 22．已知：如圖，AB∥CD，E是AB的中點，CE=DE．求證： （1）∠AEC=∠BED； （2）AC=BD． 【考點】全等三角形的判定與性質． 【分析】（1）根據CE=DE得出∠ECD=∠EDC，再利用平行線的性質進行證明即可； （2）根據SAS證明△AEC與△BED全等，再利用全等三角形的性質證明即可． 【解答】證明：（1）∵AB∥CD， ∴∠AEC=∠ECD，∠BED=∠EDC， ∵CE=DE， ∴∠ECD=∠EDC， ∴∠AEC=∠BED； （2）∵E是AB的中點， ∴AE=BE， 在△AEC和△BED中， ， ∴△AEC≌△BED（SAS）， ∴AC=BD． 　 23．已知：如圖，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90，AB=AC，AD=AE，點C、D、E三點在同一直線上，連接BD． 求證：（1）△BAD≌△CAE； （2）試猜想BD、CE有何特殊位置關系，并證明． 【考點】全等三角形的判定與性質． 【分析】要證（1）△BAD≌△CAE，現有AB=AC，AD=AE，需它們的夾角∠BAD=∠CAE，而由∠BAC=∠DAE=90很易證得．（2）BD、CE有何特殊位置關系，從圖形上可看出是垂直關系，可向這方面努力．要證BD⊥CE，需證∠BDE=90，需證∠ADB+∠ADE=90可由直角三角形提供． 【解答】（1）證明：∵∠BAC=∠DAE=90 ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+CAD 即∠BAD=∠CAE， 又∵AB=AC，AD=AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）． （2）BD、CE特殊位置關系為BD⊥CE． 證明如下：由（1）知△BAD≌△CAE， ∴∠ADB=∠E． ∵∠DAE=90， ∴∠E+∠ADE=90． ∴∠ADB+∠ADE=90． 即∠BDE=90． ∴BD、CE特殊位置關系為BD⊥CE． 　 24．如圖，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于點F，交BC于點E，且BD=DE． （1）若∠BAE=40，求∠C的度數； （2）若△ABC周長13cm，AC=6cm，求DC長． 【考點】線段垂直平分線的性質． 【分析】（1）根據線段垂直平分線和等腰三角形性質得出AB=AE=CE，求出∠AEB和∠C=∠EAC，即可得出答案； （2）根據已知能推出2DE+2EC=7cm，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC， ∴AB=AE=EC， ∴∠C=∠CAE， ∵∠BAE=40， ∴∠AED=70， ∴∠C=∠AED=35； （2）∵△ABC周長13cm，AC=6cm， ∴AB+BE+EC=7cm， 即2DE+2EC=7cm， ∴DE+EC=DC=3.5cm． 　 25．如圖，方格紙上畫有AB、CD兩條線段，按下列要求作圖（不保留作圖痕跡，不要求寫出作法） （1）請你在圖（1）中畫出線段AB關于CD所在直線成軸對稱的圖形； （2）請你在圖（2）中添上一條線段，使圖中的3條線段組成一個軸對稱圖形，請畫出所有情形． 【考點】作圖-軸對稱變換． 【分析】（1）做BO⊥CD于點O，并延長到B′，使B′O=BO，連接AB即可； （2）軸對稱圖形沿某條直線折疊后，直線兩旁的部分能完全重合． 【解答】解：所作圖形如下所示： 　 26．在△ABC中，AB邊的垂直平分線l1交BC于D，AC邊的垂直平分線l2交BC于E，l1與l2相交于點O．△ADE的周長為6cm． （1）求BC的長； （2）分別連結OA、OB、OC，若△OBC的周長為16cm，求OA的長． 【考點】線段垂直平分線的性質． 【分析】（1）先根據線段垂直平分線的性質得出AD=BD，AE=CE，再根據AD+DE+AE=BD+DE+CE即可得出結論； （2）先根據線段垂直平分線的性質得出OA=OC=OB，再由∵△OBC的周長為16cm求出OC的長，進而得出結論． 【解答】解：（1）∵DF、EG分別是線段AB、AC的垂直平分線， ∴AD=BD，AE=CE， ∴AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC， ∵△ADE的周長為6cm，即AD+DE+AE=6cm， ∴BC=6cm； （2）∵AB邊的垂直平分線l1交BC于D，AC邊的垂直平分線l2交BC于E， ∴OA=OC=OB， ∵△OBC的周長為16cm，即OC+OB+BC=16， ∴OC+OB=16﹣6=10， ∴OC=5， ∴OA=OC=OB=5． 　 27．已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90，點D是AB的中點，點E是AB邊上一點． （1）直線BF垂直于直線CE于點F，交CD于點G（如圖1），求證：AE=CG； （2）直線AH垂直于直線CE，垂足為點H，交CD的延長線于點M（如圖2），找出圖中與BE相等的線段，并證明． 【考點】全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形． 【分析】（1）首先根據點D是AB中點，∠ACB=90，可得出∠ACD=∠BCD=45，判斷出△AEC≌△CGB，即可得出AE=CG， （2）根據垂直的定義得出∠CMA+∠MCH=90，∠BEC+∠MCH=90，再根據AC=BC，∠ACM=∠CBE=45，得出△BCE≌△CAM，進而證明出BE=CM． 【解答】（1）證明：∵點D是AB中點，AC=BC， ∠ACB=90， ∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45， ∴∠CAD=∠CBD=45， ∴∠CAE=∠BCG， 又∵BF⊥CE， ∴∠CBG+∠BCF=90， 又∵∠ACE+∠BCF=90， ∴∠ACE=∠CBG， 在△AEC和△CGB中， ∴△AEC≌△CGB（ASA）， ∴AE=CG， （2）解：BE=CM． 證明：∵CH⊥HM，CD⊥ED， ∴∠CMA+∠MCH=90，∠BEC+∠MCH=90， ∴∠CMA=∠BEC， 又∵∠ACM=∠CBE=45， 在△BCE和△CAM中，， ∴△BCE≌△CAM（AAS）， ∴BE=CM． 　 28．問題背景： （1）如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120，∠B=∠ADC=90．E，F分別是BC，CD上的點．且∠EAF=60．探究圖中線段BE，EF，FD之間的數量關系．小王同學探究此問題的方法是，延長FD到點G．使DG=BE．連結AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結論，他的結論應是　EF=BE+DF?。? 探索延伸： （2）如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180．E，F分別是BC，CD上的點，且∠EAF=∠BAD，上述結論是否仍然成立，并說明理由． 【考點】全等三角形的判定與性質． 【分析】（1）延長FD到點G．使DG=BE．連結AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題； （2）延長FD到點G．使DG=BE．連結AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題． 【解答】證明：（1）在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG， ∵∠EAF=∠BAD， ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF， ∴∠EAF=∠GAF， 在△AEF和△GAF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF=FG， ∵FG=DG+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF； 故答案為 EF=BE+DF． （2）結論EF=BE+DF仍然成立； 理由：延長FD到點G．使DG=BE．連結AG， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG， ∵∠EAF=∠BAD， ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF， ∴∠EAF=∠GAF， 在△AEF和△GAF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF=FG， ∵FG=DG+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF；