Z變換(數(shù)字信號(hào)處理).ppt

《Z變換(數(shù)字信號(hào)處理).ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《Z變換(數(shù)字信號(hào)處理).ppt（73頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

3序列的Z變換,3.1Z變換的定義序列x(n)的Z變換定義為,(3.1),式中z是一個(gè)復(fù)變量，它所在的復(fù)平面稱為z平面。注意在定義中，對(duì)n求和是在之間求和，可以稱為雙邊Z變換。還有一種稱為單邊Z變換的定義，如下式,(3.2),使(3.3)式成立，Z變量取值的域稱為收斂域。一般收斂域用環(huán)狀域表示,這種單邊Z變換的求和限是從零到無(wú)限大，因此對(duì)于因果序列，用兩種Z變換定義計(jì)算出的結(jié)果是一樣的。本書(shū)中如不另外說(shuō)明，均用雙邊Z變換對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析和變換。(3.1)式Z變換存在的條件是等號(hào)右邊級(jí)數(shù)收斂，要求級(jí)數(shù)絕對(duì)可和，即,(3.3),圖3.1Z變換的收斂域,常用的Z變換是一個(gè)有理函數(shù)，用兩個(gè)多項(xiàng)式之比表示分子多項(xiàng)式P(z)的根是X(z)的零點(diǎn)，分母多項(xiàng)式Q(z)的根是X(z)的極點(diǎn)。在極點(diǎn)處Z變換不存在，因此收斂域中沒(méi)有極點(diǎn)，收斂域總是用極點(diǎn)限定其邊界。對(duì)比序列的傅里葉變換定義，很容易得到FT和ZT之間的關(guān)系，用下式表示：,(3.4),式中z=ej表示在z平面上r=1的圓，該圓稱為單位圓。(3.4)式表明單位圓上的Z變換就是序列的傅里葉變換。如果已知序列的Z變換，可用(3.4)式，很方便的求出序列的FT，條件是收斂域中包含單位圓。例3.1x(n)=u(n)，求其Z變換。解：X(z)存在的條件是|z-1|1，,|z|1,由x(z)表達(dá)式表明，極點(diǎn)是z=1，單位圓上的Z變換不存在，或者說(shuō)收斂域不包含單位圓。因此其傅里葉變換不存在，更不能用(3.4)式求FT。該序列的FT不存在，但如果引進(jìn)奇異函數(shù)()，其傅里葉變換可以表示出來(lái)(見(jiàn)表2.3.2)。該例同時(shí)說(shuō)明一個(gè)序列的傅里葉變換不存在，在一定收斂域內(nèi)Z變換是存在的。,3.2序列特性對(duì)收斂域的影響序列的特性決定其Z變換收斂域。1.有限長(zhǎng)序列如序列x(n)滿足下式：x(n)n1nn2x(n)=0其它,即序列x(n)從n1到n2序列值不全為零，此范圍之外序列值為零，這樣的序列稱為有限長(zhǎng)序列。其Z變換為,設(shè)x(n)為有界序列，由于是有限項(xiàng)求和，除0與兩點(diǎn)是否收斂與n1、n2取值情況有關(guān)外，整個(gè)z平面均收斂。如果n10，則收斂域不包括z=0點(diǎn)；如果是因果序列，收斂域包括z=點(diǎn)。具體有限長(zhǎng)序列的收斂域表示如下：,n10時(shí)，00時(shí)，0z例3.2求x(n)=RN(n)的Z變換及其收斂域解：,這是一個(gè)因果的有限長(zhǎng)序列，因此收斂域?yàn)?z。但由結(jié)果的分母可以看出似乎z=1是X(z)的極點(diǎn)，但同時(shí)分子多項(xiàng)式在z=1時(shí)也有一個(gè)零點(diǎn)，極零點(diǎn)對(duì)消，X(z)在單位圓上仍存在，求RN(n)的FT，可將z=ej代入X(z)得到，其結(jié)果和例題2.2.1中的結(jié)果(2.3.5)公式是相同的。,2.右序列右序列是在nn1時(shí)，序列值不全為零，而其它nn1，序列值全為零。ROC：分析：當(dāng)n10時(shí),第一項(xiàng)為有限長(zhǎng)序列，設(shè)n1-1，其收斂域?yàn)?|z|。第二項(xiàng)為因果序列，其收斂域?yàn)镽x-|z|，Rx-是第二項(xiàng)最小的收斂半徑。將兩收斂域相與，其收斂域?yàn)镽x-|z|0第二項(xiàng)為有限長(zhǎng)序列，在整個(gè)Z平面收斂（z=點(diǎn)不收斂）。第一項(xiàng)根據(jù)前式的論述，當(dāng)時(shí)收斂因此左序列的收斂域是半徑為R+的圓內(nèi)區(qū)域,例3.4求x(n)=-anu(-n-1)的Z變換及其收斂域。,X(z)存在要求|a-1z|1，即收斂域?yàn)閨z|Rx-，其收斂域?yàn)镽x-|z|Rx+，這是一個(gè)環(huán)狀域，如果Rx+Rx-，兩個(gè)收斂域沒(méi)有公共區(qū)域，X(z)沒(méi)有收斂域，因此X(z)不存在。例3.5x(n)=a|n|，a為實(shí)數(shù)，求x(n)的Z變換及其收斂域。解：,第一部分收斂域?yàn)閨az|a|。如果|a|1，兩部分的公共收斂域?yàn)閨a|z|a|-1，其Z變換如下式：,|a|z|a|-1,如果|a|1，則無(wú)公共收斂域，因此X(z)不存在。當(dāng)0aa，求其Z反變換x(n)。,為了用留數(shù)定理求解，先找出F(z)的極點(diǎn)，極點(diǎn)有：z=a;當(dāng)n0時(shí)z=0共二個(gè)極點(diǎn)，其中z=0極點(diǎn)和n的取值有關(guān)。n0時(shí)，z=0不是極點(diǎn)。n0時(shí)，z=0是一個(gè)n階極點(diǎn)。因此分成n0和n0兩種情況求x(n)。n0時(shí)，,n|a-1|，對(duì)應(yīng)的x(n)是右序列；(2)|a|z|z-1|，對(duì)應(yīng)的x(n)是雙邊序列；(3)|z|a-1|,種收斂域是因果的右序列，無(wú)須求n0時(shí)的x(n)。當(dāng)n0時(shí)，圍線積分c內(nèi)有二個(gè)極點(diǎn)z=a和z=a-1，因此,最后表示成：x(n)=(an-a-n)u(n)。(2)收斂域|z|a|這種情況原序列是左序列，無(wú)須計(jì)算n0情況，當(dāng)n0時(shí)，圍線積分c內(nèi)沒(méi)有極點(diǎn)，因此x(n)=0。n0時(shí)，c內(nèi)只有一個(gè)極點(diǎn)z=0，且是n階極點(diǎn)，改求c外極點(diǎn)留數(shù)之和,最后將x(n)表示成x(n)=(a-n-an)u(-n-1)(3)收斂域|a|z|a-1|這種情況對(duì)應(yīng)的x(n)是雙邊序列。根據(jù)被積函數(shù)F(z)，按n0和n0兩情況分別求x(n)。n0時(shí)，c內(nèi)極點(diǎn)z=ax(n)=ResF(z),a=an,n0時(shí)，c內(nèi)極點(diǎn)有二個(gè)，其中z=0是n階極點(diǎn)，改求c外極點(diǎn)留數(shù)，c外極點(diǎn)只有z=a-1，因此x(n)=-ResF(z),a-1=a-n最后將x(n)表示為ann0 x(n)=x(n)=a|n|a-nn0,2.冪級(jí)數(shù)法(長(zhǎng)除法)按照Z(yǔ)變換定義(3.1)式，可以用長(zhǎng)除法將X(z)寫(xiě)成冪級(jí)數(shù)形式，級(jí)數(shù)的系數(shù)就是序列x(n)。要說(shuō)明的是，如果x(n)是右序列，級(jí)數(shù)應(yīng)是負(fù)冪級(jí)數(shù)；如x(n)是左序列，級(jí)數(shù)則是正冪級(jí)數(shù)。例3.8已知用長(zhǎng)除法求其Z反變換x(n)。解由收斂域判定這是一個(gè)右序列，用長(zhǎng)除法將其展成負(fù)冪級(jí)數(shù),1-az-1,例3.9已知求其Z反變換x(n)。解：由收斂域判定，x(n)是左序列，用長(zhǎng)除法將X(z)展成正冪級(jí)數(shù),3.部分分式展開(kāi)法對(duì)于大多數(shù)單階極點(diǎn)的序列，常常用這種部分分式展開(kāi)法求Z反變換。設(shè)x(n)的Z變換X(z)是有理函數(shù)，分母多項(xiàng)式是N階，分子多項(xiàng)式是M階，將X(z)展成一些簡(jiǎn)單的常用的部分分式之和，通過(guò)查表(參考表3.1)求得各部分的反變換，再相加即得到原序列x(n)。設(shè)X(z)只有N個(gè)一階極點(diǎn)，可展開(kāi)為,觀察上式，X(z)/z在z=0的極點(diǎn)留數(shù)就是系數(shù)A0，在z=zm的極點(diǎn)留數(shù)就是系數(shù)Am。,(3.11),(3.12),(3.13),(3.14),求出Am系數(shù)(m=0,1,2,N)后，很容易示求得x(n)序列。,例3.10已知，求Z反變換。,解,因?yàn)槭諗坑驗(yàn)?2。第二部分極點(diǎn)z=-3，收斂域應(yīng)取|z|3。查表3.1得到x(n)=2nu(n)+(-3)nu(-n-1)一些常見(jiàn)的序列的Z變換可參考表3.1。,表3.1常見(jiàn)序列Z變換,3.4Z變換的性質(zhì)和定理Z變換有許多重要的性質(zhì)和定理，下面進(jìn)行介紹。1.線性設(shè)X(z)=ZTx(n),Rx-|z|Rx+Y(z)=ZTy(n),Ry-|z|Ry+則M(z)=ZTm(n)=aX(z)+bY(z),Rm-Ry+Ry-時(shí)，則M(z)不存在。2.序列的移位設(shè)X(z)=ZTx(n),Rx-|z|Rx+則ZTx(n-n0)=z-n0X(z),Rx-|z|Rx+(3.16),3.乘以指數(shù)序列設(shè)X(z)=ZTx(n),Rx-|z|Rx+y(n)=anx(n),a為常數(shù)則Y(z)=ZTanx(n)=X(a-1z)|a|Rx-|z|a|Rx+(3.17),證明,因?yàn)镽x-|a-1z|Rx+，得到|a|Rx-|z|a|Rx+。,4.序列乘以n設(shè),則,(3.18),證明,5.復(fù)序列的共軛設(shè),則,證明,(3.19),6.初值定理設(shè)x(n)是因果序列，X(z)=ZTx(n),(3.20),證明,因此,7.終值定理若x(n)是因果序列，其Z變換的極點(diǎn)，除可以有一個(gè)一階極點(diǎn)在z=1上，其它極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，則,(3.21),證明,因?yàn)閤(n)是因果序列，,因?yàn)?z-1)X(z)在單位圓上無(wú)極點(diǎn)，上式兩端對(duì)z=1取極限,終值定理也可用X(z)在z=1點(diǎn)的留數(shù)，因?yàn)?(3.22),因此如果單位圓上，X(z)無(wú)極點(diǎn)，則x()=0。,8.序列卷積設(shè),則,證明,W(z)的收斂域就是X(z)和Y(z)的公共收斂域。,例3.11已知網(wǎng)絡(luò)的單位取樣響應(yīng)h(n)=anu(n),|a|1，網(wǎng)絡(luò)輸入序列x(n)=u(n)，求網(wǎng)絡(luò)的輸出序列y(n)。解：y(n)=h(n)*x(n)求y(n)可用二種方法，一種直接求解線性卷積，另一種是用Z變換法。,由收斂域判定y(n)=0,n0。n0y(n)=ResY(z)zn-1,1+ResY(z)zn-1,a,將y(n)表示為,9.復(fù)卷積定理如果ZTx(n)=X(z)，Rx-|z|Rx+ZTy(n)=Y(z),Ry-|z|Ry+w(n)=x(n)y(n)則,W(z)的收斂域,(3.24)式中v平面上，被積函數(shù)的收斂域?yàn)?(3.24),(3.25),(3.26),證明,由X(z)收斂域和Y(z)的收斂域，得到,例3.12已知x(n)=u(n),y(n)=a|n|，若w(n)=x(n)y(n)，求W(z)=ZTw(n)解：,因此,W(z)收斂域?yàn)閨a|z|；被積函數(shù)v平面上收斂域?yàn)閙ax(|a|,0)|v|min(|a-1|,|z|)，v平面上極點(diǎn)：a、a-1和z,c內(nèi)極點(diǎn)z=a。,10.帕斯維爾(Parseval)定理利用復(fù)卷積定理可以證明重要的帕斯維爾定理。,那么,v平面上，c所在的收斂域?yàn)?證明令w(n)=x(n)y*(n)按照(3.24)式，得到,按照(3.25)式，Rx-Ry-|z|Rx+Ry+，按照假設(shè)，z=1在收斂域中，令z=1代入W(z)中。,如果x(n)和y(n)都滿足絕對(duì)可和，即單位圓上收斂，在上式中令v=ej，得到,(3.29),令x(n)=y(n)得到,上面得到的公式和在傅里葉變換中所講的帕期維爾定理(2.2.34)式是相同的。(3.28)式還可以表示成下式：,3.5利用Z變換分析信號(hào)和系統(tǒng)的頻域特性,3.5.1頻率響應(yīng)函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù)設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，系統(tǒng)對(duì)單位脈沖序列(n)的響應(yīng)，稱為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)，對(duì)h(n)進(jìn)行傅里葉變換得到H(ej),(3.5.1),一般稱H(ej)為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)，它表征系統(tǒng)的頻率特性。,設(shè)h(n)進(jìn)行Z變換，得到H(z)，一般稱H(z)為系統(tǒng)函數(shù)，它表征了系統(tǒng)的復(fù)頻域特性。對(duì)N階差分方程(1.4.2)式，進(jìn)行Z變換，得到系統(tǒng)函數(shù)的一般表示式,(3.5.2),如果H(z)的收斂域包含單位圓|z|=1，H(ej)與H(z)之間關(guān)系如下式：,(3.5.3),3.5.2用系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性因果(可實(shí)現(xiàn))系統(tǒng)其單位脈響應(yīng)h(n)一定滿足當(dāng)n0時(shí)，h(n)=0，那么其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域一定包含點(diǎn)，即點(diǎn)不是極點(diǎn)，極點(diǎn)分布在某個(gè)圓的圓內(nèi)，收斂域在某個(gè)圓外。一個(gè)穩(wěn)定線性系統(tǒng)的充要條件是H(z)的收斂域包含單位圓。一個(gè)線性系統(tǒng)是因果的充要條件是系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域Z=一個(gè)穩(wěn)定因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域1|z|一個(gè)穩(wěn)定因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的全部極點(diǎn)在單位圓內(nèi),例3.5.1已知分析其因果性和穩(wěn)定性.解：H(z)的極點(diǎn)為z=a，z=a-1，如圖3.5所示。(1)收斂域a-1|z|，對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，但由于收斂域不包含單位圓，因此是不穩(wěn)定系統(tǒng)。單位脈沖響應(yīng)h(n)=(an-a-n)u(n)(參考例題3.7)，這是一個(gè)因果序列，但不收斂。(2)收斂域0|z|a,對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)是非因果且不穩(wěn)定系統(tǒng)。其單位脈沖響應(yīng)h(n)=(a-n-an)u(-n-1)(參考例題3.7)，這是一個(gè)非因果且不收斂的序列。,(3)收斂域a|z|a-1，對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)是一個(gè)非因果系統(tǒng)，但由于收斂域包含單位圓，因此是穩(wěn)定系統(tǒng)。其單位脈沖響應(yīng)h(n)=a|n|，這是一個(gè)收斂的雙邊序列，如圖3.5.1(a)所示。,圖3.5.1,3.5.3利用系統(tǒng)的極零點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的頻率特性將(3.5.2)式因式分解，得到,(3.5.4),式中A=b0/a0，上式中cr是H(z)的零點(diǎn)，dr是其極點(diǎn)。A參數(shù)影響頻率響應(yīng)函數(shù)的幅度大小，影響系統(tǒng)特性的是零點(diǎn)cr和極點(diǎn)dr的分布。下面我們采用幾何方法研究系統(tǒng)零極點(diǎn)分布對(duì)系統(tǒng)頻率特性的影響。,在z平面上，ej-cr用一根由零點(diǎn)cr指向單位圓上ej點(diǎn)B的向量表示，同樣ej-dr用內(nèi)極點(diǎn)指向ej點(diǎn)B的向量表示，如圖3.5.2所示。,和分別稱為零點(diǎn)矢量和極點(diǎn)矢量，將它們用極坐標(biāo)表,將和表示式代入(3.5.7)式，得到,(3.5.8),(3.5.9),系統(tǒng)的傳輸特性或者信號(hào)的頻率特性由(3.5.8)式和(3.5.9)式確定。當(dāng)頻率從零變化到2時(shí)，這些向量的終點(diǎn)B沿單位圓逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，按照(3.5.8)式(3.5.9)式，分別估算出系統(tǒng)的幅度特性和相位特性。例如圖3.5.2表示了具有一個(gè)零點(diǎn)和二個(gè)極點(diǎn)的頻率特性。,圖3.5.2頻響的幾何表示法,3.5.2已知H(z)=z-1，分析其頻率特性解：由H(z)=z-1，極點(diǎn)為z=0，幅度特性|H(ej)|=1,相位特性()=-，頻響如圖3.5.3所示。用幾何方法也容易確定，當(dāng)=0轉(zhuǎn)到=2時(shí)，極點(diǎn)矢量的長(zhǎng)度始終為1。由該例可以得到結(jié)論，處于原點(diǎn)處的零點(diǎn)或極點(diǎn)，由于零點(diǎn)矢量長(zhǎng)度或者是極點(diǎn)矢量長(zhǎng)度始終為1，因此原點(diǎn)處的零極點(diǎn)不影響系統(tǒng)的頻率特性。,圖3.5.3H(z)=z-1的頻響,