微分方程

1、第一章 緒論 教學目標 1 理解常微分方程及其解的概念，能判別方程的階數(shù)、線性與非線性。 2 掌握將實際問題建立成常微分方程模型的一般步驟。 3 理解積分曲線和方向場的概念。 教學重難點 重點微分方程 的基本概念 ，難點是積分曲線和方向場。 教學方法 講授，實踐。 教學時間 4 學時 教學內(nèi)容 常微分方程（偏微分方程）的概念，微分方程的階，隱式方程，顯式方程，線性（非線性）常微分方程；常微分方程的通解，特解，隱式解，初值問題，定解問題，積分曲線和方向場； 建立 常微分方程 模型 的具體方法。 考核目標 常微 分方程及其解的概。

2、,4.3高階微分方程的降階和冪級數(shù)解法,.,一、可降階的一些方程類型,n階微分方程的一般形式:,1 不顯含未知函數(shù)x,或更一般不顯含未知函數(shù)及其直到k-1(k1)階導數(shù)的方程是,解得,積分,即,.,解題步驟:,第一步:,第二步:,求以上方程的通解,即,第三步:,對上式求k次積分,即得原方程的通解,.,解,令,則方程化為,這是一階方程,其通解為,即有,對上式積分4次, 得原方程的通解為,例1,.,2 不顯含自變量t的方程,一般形式:,因為,.,用數(shù)學歸納法易得:,將這些表達式代入(4.59)可得:,即有新方程,它比原方程降低一階,.,解題步驟:,第一步:,第二步:,求以上方程的通解。

3、第七章：偏微分方程,一、 幾個基本概念,例：,1、方程的階數(shù),方程中出現(xiàn)的最高階導數(shù)的階數(shù)即為方程的階數(shù),一階,二階,2、線性、非線性、擬線性,方程經(jīng)過有理化并消去分式后，若方程中沒有未知函數(shù)及其偏導數(shù)的乘積或冪等非線性項，稱該方程為線性,線性：,擬線性：,在非線性方程中，如果未知函數(shù)的所有最高階導數(shù)不是非線性，則稱此方程為擬線性,完全非線性：,除擬線性之外的非線性方程,二階，線性,二階，擬線性,二階，完全非線性,3、齊次、非齊次,不含有未知函數(shù)及其偏導數(shù)的項,自由項：,自由項為零的方程,齊次方程：,自由項不為零的方程,。

4、常微分方程學習活動 6第三章一階線性方程組、第四章 n 階線性方程的綜合練習本課程形成性考核綜合練習共 3 次，內(nèi)容主要分別是第一章初等積分法的綜合練習、第二章基本定理的綜合練習、第三章和第四章的綜合練習，目的是通過綜合性練習作業(yè)，同學們可以檢驗自己的學習成果，找出掌握的薄弱知識點，重點復習，爭取盡快掌握 要求：首先請同學們下載作業(yè)附件文檔并進行填寫，文檔填寫完成后請在本次作業(yè)頁面中點擊“去完成”按鈕進入相應網(wǎng)頁界面完成任務，然后請將所做完的作業(yè)文檔以附件的形式上傳到課程上，隨后老師會在課程中進行評分。。

5、二階線性微分方程,二階線性齊次微分方程,二階線性非齊次微分方程,n階線性微分方程,第六節(jié) 線性微分方程解的結(jié)構(gòu),1,證畢,1. 線性齊次方程解的結(jié)構(gòu),是二階線性齊次方程,的兩個解,也是該方程的解.,證:,代入方程左邊, 得,(疊加原理),定理1.,2,說明:,不一定是所給二階方程的通解.,例如,是某二階齊次方程的解,也是齊次方程的解,并不是通解,但是,則,為解決通解的判別問題,下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與,線性無關(guān)概念.,3,定義:,是定義在區(qū)間 I 上的,n 個函數(shù),使得,則稱這 n個函數(shù)在 I 上線性相關(guān),否則稱為線性無關(guān).,例如，,在( , )上都有,故它們在任何。

6、常微分方程 Ordinary Differential Equation,1,教材 (Text Book) （第三版） 王高雄 周之銘 朱思銘 王壽松編 高等教育出版社,參考書目 (Reference) 常微分方程 東北師范大學數(shù)學系編 高等教育出版社 常微分方程（山東師范大學數(shù)學系）莊萬 黃啟宇等編，山東科學技術(shù)出版社,2,課程評分方法 (Grading Policies) Lecture Grade (100) = Daily Grade (20) + Final Exam (80),二、如何學習常微分方程 ?,1. 課前預習, 培養(yǎng)濃厚的學習興趣.,聰明在于學習 , 天才在于積累 .,學而優(yōu)則用 , 學而優(yōu)則創(chuàng) .,由薄到厚 , 由厚到薄 .,馬克思,一門科學, 只。

7、第五章 常微分方程的數(shù)值解法,主要內(nèi)容： 1、引言 2、歐拉方法 3、龍格庫塔方法 4、單步法的收斂性和穩(wěn)定性 5、線性多步法 6、一階方程組與高階方程,1,第一節(jié) 引言,在常微分方程課程里面討論的是一些典型方程求解解析解的基本方法。 然而在生產(chǎn)實踐和科學研究中遇到的微分方程往往比較復雜，在很多情況下，不能給出解的解析表達式；有時候即時能用解析表達式來表示，又因為計算量太大而不實用，有時候一些是已經(jīng)有了求解的基本方法的典型方程，但實際使用時也是有困難的。 以上情況說明用求解解析解的基本方法來求微分方程的解往往是不適。

8、華 北 水 利 水 電 學 院常微分方程的解法及應用（常見解法及舉實例）課 程 名 稱： 高等數(shù)學（2） 專 業(yè) 班 級： 成 員 組 成： 聯(lián) 系 方 式： 2012年 05月25日摘要常微分方程是微積分學的重要組成部分，廣泛用于具體問題的研究中。求解常微分的問題，常常通過變量分離、兩邊積分，如果是高階的則通過適當?shù)淖兞看鷵Q，達到降階的目的來解決問題。本文就是對不同類型的常微分方程的解法的系統(tǒng)總結(jié)：先對常微分方程定義及一般解法做簡單闡述，然后應用變量替換法解齊次性微分方程，降階法求高階微分方程，討論特殊的二階微分方程，并且用具。