數(shù)學(xué)第四章 圖形的認(rèn)識與三角形 第15講 等腰三角形與直角三角形

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1、 第四章圖形的第四章圖形的 認(rèn)識與三角形認(rèn)識與三角形 第第15講等腰三角形與直角三角形講等腰三角形與直角三角形考點梳理考點梳理過關(guān)過關(guān)考點考點1 1 等腰三角形的性質(zhì)及判定等腰三角形的性質(zhì)及判定 6 6年年4 4考考考點考點2 2 線段的垂直平分線與角平分線線段的垂直平分線與角平分線 6 6年年1 1考考拓展 (1)三角形內(nèi)切圓的圓心是角平分線的交點；(2)三角形外接圓的圓心是邊的垂直平分線的交點若在角的一邊上有一定點A和一動點B，在角平分線上有一動點C，則ACBC的最小值為點A到另一邊的垂線段的長度考點考點3 3 直角三角形的性質(zhì)及判定直角三角形的性質(zhì)及判定 6 6年年2 2考考性質(zhì)性質(zhì)(1

2、)直角三角形的兩個銳角互余.(2)勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.(3)直角三角形斜邊中線性質(zhì)定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.(4)30角的直角三角形性質(zhì)定理：30角所對的直角邊等于斜邊的一半判定判定（1）兩個角互余的三角形是直角三角形.(2)勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長為a，b，c，滿足a2b2c2，那么這個三角形是直角三角形等腰直角三角形等腰直角三角形有一個角是直角的等腰三角形，叫做等腰直角三角形，它具有所有等腰三角形的性質(zhì)，同時又具有所有直角三角形的性質(zhì)拓展 1.勾股定理的運用：(1)計算：已知直角三角形的兩邊求第三邊；(2)方程：已知直角三角形的

3、一邊與兩邊關(guān)系求另兩邊；(3)證明：線段的平方關(guān)系.2.等腰直角三角形的三邊的比為11 ；由頂點向底邊作垂線會分割為新的等腰直角三角形，且與原三角形相似，相似比為 1，有時用于無限變化時的規(guī)律探究22考點考點4 4 尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖 6 6年年1 1考考幾種基本作圖：(1)作線段等于已知線段；(2)作一個角等于已知角；(3)作已知線段的垂直平分線；(4)過一點作已知直線的垂線；(5)作一個角的平分線典型例題典型例題運用運用類型類型1 1 等腰三角形中的分類討論問題等腰三角形中的分類討論問題【例1】已知等腰三角形的一個角為40，則這個三角形的頂角為100或40.100或40當(dāng)這個角是頂角時，則頂

4、角的度數(shù)為40；當(dāng)這個角是底角時，則頂角的度數(shù)為180402100，故其頂角的度數(shù)為100或40.【例2】2017沭陽一模等腰三角形的兩邊長分別是3和5，則這個等腰三角形的周長為11或13.11或13(1)3是腰長時，三角形的三邊分別為3、3、5，能組成三角形，周長33511；(2)3是底邊長時，三角形的三邊分別為3、5、5，能組成三角形，周長35513.綜上所述，這個等腰三角形的周長是11或13.失分警示失分警示 在等腰三角形的關(guān)于角和邊的計算中，當(dāng)已知元素的位置不明確時，要分類討論，全面分析類型類型2 2 等腰三角形中頂點的存在分析等腰三角形中頂點的存在分析【例3】在平面直角坐標(biāo)系中，O為

5、坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為(1,3)，M為坐標(biāo)軸上一點，且使得MOA為等腰三角形，則滿足條件的點M的個數(shù)為(C)A4 B5 C6 D8C按(1)以A為等腰三角形頂角頂點的等腰三角形；(2)以O(shè)為等腰三角形頂角頂點的等腰三角形；(3)以M為等腰三角形頂角頂點的等腰三角形，分別作圖即可如圖，滿足條件的點M的個數(shù)為6.失分警示 當(dāng)已知兩點構(gòu)造等腰三角形時，要分3種情況進(jìn)行全面分析作圖類型類型3 3 含有含有3030角的直角三角形的觀察與分析角的直角三角形的觀察與分析【例4】如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，對角線AC與BD相交于點O，點E在DC邊的延長線上若CAE15，則AE8.8正方形ABCD的邊長

6、為4，對角線AC與BD相交于點O，BAC45，ABDC，ADC90.CAE15，EBAEBACCAE451530.在RtADE中，ADE90，E30，AE2AD8.技法點撥技法點撥 當(dāng)已知角的度數(shù)求線段長度時，應(yīng)觀察分析題中的特殊三角形類型類型4 4 勾股定理與路徑最短分析勾股定理與路徑最短分析【例5】如圖，一只螞蟻沿著邊長為3的正方體表面從點A出發(fā)，經(jīng)過3個面爬到點B，如果它運動的路徑是最短的，則最短路徑的長為 .技法點撥技法點撥 當(dāng)在立體圖形上運動路徑分析，一定要運用平面展開圖進(jìn)行分析求解變式運用變式運用 1.2017營口中考如圖，在ABC中，ACBC，ACB90，點D在BC上，BD3，D

7、C1，點P是AB上的動點，則PCPD的最小值為(B)A4 B5 C6 D7B如圖，過點C作COAB于O，延長CO到點C，使OCOC，連接DC，交AB于點P，連接CP.此時DPCPDPPCDC的值最小BD3，DC1.BC4.如圖，連接BC，由對稱性可知CBACBA45.CBC90.BCBC，BCCBCC45.BCBC4.根據(jù)勾股定理，可得DC類型類型5 5 角平分線與線段垂直平分線的運用角平分線與線段垂直平分線的運用【例6】如圖，ABC中，ACB90，AD平分BAC，DEAB于點E.求證：直線AD是線段CE的垂直平分線技法點撥技法點撥 當(dāng)在立體圖形上運動路徑分析，一定要運用平面展開圖進(jìn)行分析求解

8、DEAB，AED90ACB.又AD平分BAC，DAEDAC.ADAD，AEDACD(AAS)AEAC.AD平分BAC，ADCE，即直線AD是線段CE的垂直平分線類型類型6 6 等腰三角形、平行線與角平分線的綜合運用等腰三角形、平行線與角平分線的綜合運用【例7】2017平谷區(qū)二模如圖，在ABC中，BD平分ABC交AC于點D，DEBC交AB于點E，EFBD于點F.求證：BEFDEF.技法點撥技法點撥 (1)在問題設(shè)計中經(jīng)常會把平行線、角平分線和等腰三角形的知識綜合在一起，只要知道其中兩個，就可以得出第三個結(jié)論(2)熟練掌握，鄰補角的角平分線互相垂直，平行線的同旁內(nèi)角的平分線互相垂直等性質(zhì)BD平分A

9、BC， ABDCBD.DEBC， EDBCBD.EDBABD. EBED.EFBD于點F，BEFDEF.變式運用 2.如圖，在ABC中，點O是AC邊上的一點過點O作直線MNBC，設(shè)MN交BCA的平分線于點E，交BCA的外角平分線于點F.(1)求證：EOFO；(2)若CE4，CF3，你還能得到哪些結(jié)論？解：(1)如圖，CE是ACB的平分線，12.MNBC，13.23.OEOC.同理，可得OFOC.OEOF.(2)CE是ACB的平分線，12.CF是OCD的平分線，45.ECF90.在RtECF中，由勾股定理，得六年真題六年真題全練全練命題點命題點1 1 等腰三角形中角的度數(shù)分析等腰三角形中角的度數(shù)

10、分析對于“等腰三角形的性質(zhì)與判定”的考查，濱州中考一般是結(jié)合三角形內(nèi)角和直接進(jìn)行命題，主要以考察性質(zhì)為主，以計算角的度數(shù)為目標(biāo)，以選擇題為主要題型，難度較小且考查較為頻繁12017濱州，7,3分如圖，在ABC中，ABAC，D為BC上一點，且DADC，BDBA，則B的大小為(B)A40 B36 C30 D25BABAC，BC.CDDA，CDAC.BABD，BDABAD2C2B.又BBADBDA180，5B180.B36.2.2016濱州，6,3分如圖，ABC中，D為AB上一點，E為BC上一點，且ACCDBDBE，A50，則CDE的度數(shù)為(D)A50 B51 C51.5 D52.5DACCDBDB

11、E，A50，ACDA50，BDCB，BDEBED.BDCBCDA50，B25.BBEDBDE180，BDEBED (18025)77.5，CDE180CDABDE1805077.552.5.32013濱州，15,4分在等腰ABC中，ABAC，A50，則B .6542012濱州，16,4分如圖，在ABC中，ABADDC，BAD20，則C40.猜押預(yù)測 1.2017寧波一模如圖，直線l1l2，以直線l1上的點A為圓心、適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交直線l1、l2于點B、C，連接AC、BC.若ABC67，則1(B)A23B46C67D78B根據(jù)題意，得ABAC.ACBABC67.直線l1l2，2ABC67

12、.1ACB2180，11802ACB180676746.猜押預(yù)測 2.2017南充模擬已知等腰三角形的兩邊a，b的長是方程組 的解，則這個三角形的周長是(C)A6 B8 C10 D8或10得分要領(lǐng)得分要領(lǐng) (1)會運用等腰三角形性質(zhì)及內(nèi)角和定理求底角或頂角度數(shù)，并注意特定條件下的分類分析；(2)掌握三角形角平分線和平行線的相關(guān)性質(zhì)；(3)會分類分析等腰三角形的周長或邊長對于“勾股定理及其逆定理”，濱州中考一般以直接單獨考查為主，以選擇題為主要題型，難度較小，屬于高頻考點52014濱州，7,3分下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是(B)A4,5,6 B1.5,2,2.5 C2,3,4 D1,2

13、,3命題點命題點2 2 勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理BA42524162，不可以構(gòu)成直角三角形，選項錯誤；B.1.52226.252.52，可以構(gòu)成直角三角形，選項正確；C.22321342，不可以構(gòu)成直角三角形，選項錯誤；D.1222532，不可以構(gòu)成直角三角形，選項錯誤62013濱州，14,4分在ABC中，C90，AB7，BC5，則邊AC的長為 .猜押預(yù)測 3.2017花都區(qū)一模如圖，在ABD中，D90，CD6，AD8，ACD2B，則BD的長是(C)A12B14C16D18猜押預(yù)測 4.2016朝陽區(qū)校級模擬如圖，正方形網(wǎng)格中的ABC，若小方格邊長為1，則ABC的形狀為(A)A直角

14、三角形 B銳角三角形C鈍角三角形 D以上答案都不對得分要領(lǐng) (1)會運用勾股定理求直角三角形的邊，在特定條件下會運用方程思想解決問題；(2)會運用逆定理判斷三角形的形狀命題點命題點3 3 角平分線、垂直平分線的構(gòu)造與運用角平分線、垂直平分線的構(gòu)造與運用對于“角平分線”，濱州中考在5年后的2017年開始涉及此知識點，而且一般不單獨考查，以選擇題為主要題型，屬于低頻考點72017濱州，11,3分鏈接第14講六年真題全練第4題猜押預(yù)測 5.2017南京一模如圖，在RtABC中，C90，AD是ABC的角平分線，若CD4，AC12，AB15，則ABC的面積為(C)A48B50C54D60C如圖，作DEAB于點E.AD是ABC的角平分線，C90，DEAB，DECD4.ABC的面積為 ACDC ABDE54.猜押預(yù)測 6.2017柳南區(qū)三模如圖，等腰ABC中，ABAC8，BC5，AB的垂直平分線DE交AB于點D，交AC于點E，則BEC的周長為(A)A13 B14 C15 D16得分要領(lǐng) (1)明確角平分線的性質(zhì)，會添加適當(dāng)?shù)妮o助線并加以運用；(2)掌握線段垂直平分線的性質(zhì)，會進(jìn)行線段的等量代換；(3)熟記角平分線和線段垂直平分線的尺規(guī)作圖ADE是AB的垂直平分線，AEBE.BEC周長BECEBCAECEBCACBC.腰長AB8，ACAB8.BEC周長為8513.