2013年西城一模高三數(shù)學(xué)試題(文)含答案.doc

北京市西城區(qū)2013年高三一模試卷數(shù) 學(xué)（理科） 2013.4一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)1已知全集，集合，那么（A）（B）（C）（D） 2若復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)（A）（B）（C）（D）3執(zhí)行如圖所示的程序框圖若輸出，則輸入角 （A）（B）（C）（D）4從甲、乙等名志愿者中選出名，分別從事，四項(xiàng)不同的工作，每人承擔(dān)一項(xiàng)若甲、乙二人均不能從事工作，則不同的工作分配方案共有（A）種（B）種（C）種（D）種5某正三棱柱的三視圖如圖所示，其中正（主）視圖是邊長(zhǎng)為的正方形，該正三棱柱的表面積是（A）（B）（C）（D）6等比數(shù)列中，則“”是“”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件7已知函數(shù)，其中若對(duì)于任意的，都有，則的取值范圍是（A）（B）（C）（D）8如圖，正方體中，為底面上的動(dòng)點(diǎn)，于，且，則點(diǎn)的軌跡是（A）線段（B）圓弧（C）橢圓的一部分（D）拋物線的一部分第卷（非選擇題 共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分9已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則曲線的直角坐標(biāo)方程為 10設(shè)等差數(shù)列的公差不為，其前項(xiàng)和是若，則_11如圖，正六邊形的邊長(zhǎng)為，則_ 12如圖，已知是圓的直徑，在的延長(zhǎng)線上，切圓于點(diǎn)，于若，則圓的半徑長(zhǎng)為_；_ 13在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)在拋物線上，且直線與的斜率之積等于，則_14記實(shí)數(shù)中的最大數(shù)為，最小數(shù)為.設(shè)的三邊邊長(zhǎng)分別為，且，定義的傾斜度為（）若為等腰三角形，則_；（）設(shè)，則的取值范圍是_三、解答題：本大題共6小題，共80分解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15（本小題滿分13分）已知函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)是 （）求實(shí)數(shù)的值； （）設(shè)，求的單調(diào)遞增區(qū)間 16（本小題滿分13分）某班有甲、乙兩個(gè)學(xué)習(xí)小組，兩組的人數(shù)如下：現(xiàn)采用分層抽樣的方法（層內(nèi)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣）從甲、乙兩組中共抽取名同學(xué)進(jìn)行學(xué)業(yè)檢測(cè)（）求從甲組抽取的同學(xué)中恰有名女同學(xué)的概率；（）記為抽取的名同學(xué)中男同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望17（本小題滿分14分）在如圖所示的幾何體中，面為正方形，面為等腰梯形，/，（）求證：平面；（）求與平面所成角的正弦值；（）線段上是否存在點(diǎn)，使平面平面？證明你的結(jié)論18（本小題滿分13分）已知函數(shù)，其中（）求的極值；（）若存在區(qū)間，使和在區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，求的取值范圍19（本小題滿分14分）如圖，橢圓的左焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)當(dāng)直線經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，其傾斜角恰為 （）求該橢圓的離心率；（）設(shè)線段的中點(diǎn)為，的中垂線與軸和軸分別交于兩點(diǎn)記的面積為，（為原點(diǎn)）的面積為，求的取值范圍20（本小題滿分13分）已知集合 對(duì)于，定義；與之間的距離為（）當(dāng)時(shí)，設(shè)，若，求；（）（）證明：若，且，使，則； （）設(shè)，且是否一定，使？說(shuō)明理由；（）記若，且，求的最大值北京市西城區(qū)2013年高三一模試卷 高三數(shù)學(xué)（理科）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 2013.4一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.1 B； 2A； 3D； 4B； 5C； 6B； 7D； 8A二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. 9； 10； 11 12，； 13； 14，注：12、14題第一問(wèn)2分，第二問(wèn)3分.三、解答題：本大題共6小題，共80分.若考生的解法與本解答不同，正確者可參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分. 15（本小題滿分13分） （）解：依題意，得， 1分 即 ， 3分解得 5分（）解：由（）得 6分 7分 8分 9分 10分由 ，得 ， 12分所以 的單調(diào)遞增區(qū)間為， 13分16（本小題滿分13分）（）解：依題意，甲、乙兩組的學(xué)生人數(shù)之比為 ， 1分所以，從甲組抽取的學(xué)生人數(shù)為；從乙組抽取的學(xué)生人數(shù)為2分設(shè)“從甲組抽取的同學(xué)中恰有名女同學(xué)”為事件， 3分則 ，故從甲組抽取的同學(xué)中恰有名女同學(xué)的概率為 5分（）解：隨機(jī)變量的所有取值為 6分， ， 10分所以，隨機(jī)變量的分布列為: 11分 13分17（本小題滿分14分）（）證明：因?yàn)?，在中，由余弦定理可?，所以 2分又因?yàn)?， 所以平面 4分（）解：因?yàn)槠矫?，所以因?yàn)?，所以平?5分所以兩兩互相垂直，如圖建立的空間直角坐標(biāo)系 6分在等腰梯形中，可得 設(shè)，所以所以 ，設(shè)平面的法向量為，則有所以 取，得 8分設(shè)與平面所成的角為，則 ，所以 與平面所成角的正弦值為 9分（）解：線段上不存在點(diǎn)，使平面平面證明如下： 10分假設(shè)線段上存在點(diǎn)，設(shè) ，所以 設(shè)平面的法向量為，則有 所以 取 ，得 12分要使平面平面，只需， 13分即 ， 此方程無(wú)解所以線段上不存在點(diǎn)，使平面平面 14分18.（本小題滿分13分）（）解：的定義域?yàn)椋?1分且 2分 當(dāng)時(shí)，故在上單調(diào)遞減 從而沒有極大值，也沒有極小值 3分 當(dāng)時(shí)，令，得 和的情況如下：故的單調(diào)減區(qū)間為；單調(diào)增區(qū)間為從而的極小值為；沒有極大值 5分（）解：的定義域?yàn)椋?6分 當(dāng)時(shí)，顯然 ，從而在上單調(diào)遞增 由（）得，此時(shí)在上單調(diào)遞增，符合題意 8分 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不合題意9分 當(dāng)時(shí)，令，得和的情況如下表：當(dāng)時(shí)，此時(shí)在上單調(diào)遞增，由于在上單調(diào)遞減，不合題意 11分當(dāng)時(shí)，此時(shí)在上單調(diào)遞減，由于在上單調(diào)遞減，符合題意 綜上，的取值范圍是 13分19（本小題滿分14分）（）解：依題意，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)橢圓的頂點(diǎn)時(shí)，其傾斜角為 1分設(shè) ，則 2分將 代入 ，解得 3分所以橢圓的離心率為 4分（）解：由（），橢圓的方程可設(shè)為 5分設(shè)，依題意，直線不能與軸垂直，故設(shè)直線的方程為，將其代入，整理得 7分則 ， 8分因?yàn)?，所以 ， 9分因?yàn)?，所以 11分 13分所以的取值范圍是 14分20（本小題滿分13分）（）解：當(dāng)時(shí)，由，得 ，即 由 ，得 ，或 3分（）（）證明：設(shè)，因?yàn)?，使 ，所以 ，使得 ，即 ，使得 ，其中所以 與同為非負(fù)數(shù)或同為負(fù)數(shù) 5分 所以 6分（）解：設(shè)，且，此時(shí)不一定，使得 7分反例如下：取，則 ，顯然因?yàn)?，所以不存在，使?8分（）解法一：因?yàn)?， 設(shè)中有項(xiàng)為非負(fù)數(shù)，項(xiàng)為負(fù)數(shù)不妨設(shè)時(shí)；時(shí)，所以 因?yàn)?，所以 ， 整理得 所以 10分因?yàn)?；又 ，所以 即 12分對(duì)于 ，有 ，且，綜上，的最大值為 13分解法二：首先證明如下引理：設(shè)，則有 證明：因?yàn)?，所以 ，即 所以 11分 上式等號(hào)成立的條件為，或，所以 12分 對(duì)于 ，有 ，且，綜上，的最大值為 13分