2020年中考數(shù)學(xué)必考考點(diǎn) 專題32 尺規(guī)作圖（含解析）

專題32 尺規(guī)作圖問題 專題知識回顧 1.尺規(guī)作圖的定義：只用不帶刻度的直尺和圓規(guī)通過有限次操作，完成畫圖的一種作圖方法尺規(guī)作圖可以要求寫作圖步驟，也可以要求不一定要寫作圖步驟，但必須保留作圖痕跡。2.尺規(guī)作圖的五種基本情況：（1）作一條線段等于已知線段；（2）作一個角等于已知角；（3）作已知線段的垂直平分線；（4）作已知角的角平分線；（5）過一點(diǎn)作已知直線的垂線。3.對尺規(guī)作圖題解法：寫出已知，求作，作法（不要求寫出證明過程）并能給出合情推理。4.中考要求：（1）能完成以下基本作圖：作一條線段等于已知線段，作一個角等于已知角，作角的平分線，作線段的垂直平分線.（2）能利用基本作圖作三角形：已知三邊作三角形；已知兩邊及其夾角作三角形；已知兩角及其夾邊作三角形；已知底邊及底邊上的高作等腰三角形.（3）能過一點(diǎn)、兩點(diǎn)和不在同一直線上的三點(diǎn)作圓.（4）了解尺規(guī)作圖的步驟，對于尺規(guī)作圖題，會寫已知、求作和作法（不要求證明）.專題典型題考法及解析 【例題1】（2019湖南長沙）如圖，RtABC中，C90°，B30°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點(diǎn)，作直線MN，交BC于點(diǎn)D，連接AD，則CAD的度數(shù)是（）A20°B30°C45°D60°【答案】B 【解析】根據(jù)內(nèi)角和定理求得BAC60°，由中垂線性質(zhì)知DADB，即DABB30°，從而得出答案在ABC中，B30°，C90°，BAC180°BC60°，由作圖可知MN為AB的中垂線，DADB，DABB30°，CADBACDAB30°?！纠}2】（2019山東棗莊）如圖，BD是菱形ABCD的對角線，CBD75°，（1）請用尺規(guī)作圖法，作AB的垂直平分線EF，垂足為E，交AD于F；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）條件下，連接BF，求DBF的度數(shù)【答案】見解析?！窘馕觥浚?）分別以A.B為圓心，大于AB長為半徑畫弧，過兩弧的交點(diǎn)作直線即可。如圖所示，直線EF即為所求；（2）根據(jù)DBFABDABF計算即可。四邊形ABCD是菱形，ABDDBCABC75°，DCAB，ACABC150°，ABC+C180°，CA30°，EF垂直平分線段AB，AFFB，AFBA30°，DBFABDFBE45°【例題3】(2019年貴州安順模擬題)用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角，如圖，能得出AOB=AOB的依據(jù)是（）A（SAS）B（SSS）C（ASA）D（AAS）【答案】B 【解析】我們可以通過其作圖的步驟來進(jìn)行分析，作圖時滿足了三條邊對應(yīng)相等，于是我們可以判定是運(yùn)用SSS，答案可得作圖的步驟：以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA、OB于點(diǎn)C、D；任意作一點(diǎn)O，作射線OA，以O(shè)為圓心，OC長為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)C；以C為圓心，CD長為半徑畫弧，交前弧于點(diǎn)D；過點(diǎn)D作射線OB所以AOB就是與AOB相等的角；作圖完畢在OCD與OCD，OCDOCD（SSS），AOB=AOB，顯然運(yùn)用的判定方法是SSS【例題4】（2019山東青島）請用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡已知：，直線l及l(fā)上兩點(diǎn)A，B求作：RtABC，使點(diǎn)C在直線l的上方，且ABC90°，BAC【答案】見解析?！窘馕觥勘绢}考查了作圖復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作先作DAB，再過B點(diǎn)作BEAB，則AD與BE的交點(diǎn)為C點(diǎn)如圖，ABC為所作 專題典型訓(xùn)練題 一、選擇題1.（2019廣西北部灣）如圖, 在ABC中，AC=BC, A=400 ，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可知BCG的度數(shù)為（）A 400 B450 C500 D600【答案】C【解析】利用等腰三角形的性質(zhì)和基本作圖得到CGAB，則CG平分ACB，利用A=B和三角形內(nèi)角和計算出ACB，從而得到BCG的度數(shù)本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線）也考查了等腰三角形的性質(zhì)由作法得CGAB，AB=AC，CG平分ACB，A=B，ACB=180°-40°-40°=100°，BCG=ACB=50°2.（2019·貴州貴陽）如圖，在ABC中，ABAC，以點(diǎn)C為圓心，CB長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)B和點(diǎn)D，再分別以點(diǎn)B，D為圓心，大于BD長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，作射線CM交AB于點(diǎn)E若AE2，BE1，則EC的長度是（）A2B3CD【答案】D【解析】利用基本作圖得到CEAB，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AC3，然后利用勾股定理計算CE的長由作法得CEAB，則AEC90°，ACABBE+AE2+13，在RtACE中，CE3.（2019河北?。└鶕?jù)圓規(guī)作圖的痕跡，可用直尺成功找到三角形外心的是（）A B C D【答案】C【解析】三角形外心為三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，由基本作圖得到C選項作了兩邊的垂直平分線，從而可用直尺成功找到三角形外心4（2019山東濰坊）如圖，已知AOB按照以下步驟作圖：以點(diǎn)O為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L為半徑作弧，分別交AOB的兩邊于C，D兩點(diǎn)，連接CD分別以點(diǎn)C，D為圓心，以大于線段OC的長為半徑作弧，兩弧在AOB內(nèi)交于點(diǎn)E，連接CE，DE連接OE交CD于點(diǎn)M下列結(jié)論中錯誤的是（）ACEODEOBCMMDCOCDECDDS四邊形OCEDCDOE【答案】C【解析】利用基本作圖得出角平分線的作圖，進(jìn)而解答即可由作圖步驟可得：OE是AOB的角平分線，CEODEO，CMMD，S四邊形OCEDCDOE，但不能得出OCDECD5(2019湖北宜昌)通過如下尺規(guī)作圖，能確定點(diǎn)D是BC邊中點(diǎn)的是( ) A B C D【答案】A 【解析】作線段BC的垂直平分線可得線段BC的中點(diǎn)作線段BC的垂直平分線可得線段BC的中點(diǎn)由此可知，選項A符合條件，故選A6.（經(jīng)典題）作一條線段等于已知線段。已知：如圖，線段a .求作：線段AB，使AB = a .【答案】見解析。【解析】作法： 作射線AP； 在射線AP上截取AB=a .則線段AB就是所求作的圖形。7.（經(jīng)典題）已知三邊作三角形。已知：如圖，線段a，b，c.求作：ABC，使AB = c，AC = b，BC = a.【答案】見解析。【解析】作法： 作線段AB = c； 以A為圓心b為半徑作弧，以B為圓心 a為半徑作弧與前弧相交于C； 連接AC，BC。則ABC就是所求作的三角形。8.（經(jīng)典題）已知兩邊及夾角作三角形。已知：如圖，線段m，n, .求作：ABC，使A=，AB=m，AC=n.【答案】見解析?！窘馕觥孔鞣ǎ?作A=； 在AB上截取AB=m ,AC=n； 連接BC。則ABC就是所求作的三角形。9.（經(jīng)典題）做已知線段的中點(diǎn)已知：如圖，線段MN.求作：點(diǎn)O，使MO=NO（即O是MN的中點(diǎn)）.【答案】見解析?！窘馕觥孔鞣ǎ?分別以M、N為圓心，大于1/2MN的相同線段為半徑畫弧，兩弧相交于P，Q； 連接PQ交MN于O則點(diǎn)O就是所求作的的中點(diǎn)。10.（經(jīng)典題）作已知角的角平分線。已知：如圖，AOB，求作：射線OP, 使AOPBOP（即OP平分AOB）?！敬鸢浮恳娊馕觥！窘馕觥孔鞣ǎ?以O(shè)為圓心，任意長度為半徑畫弧， 分別交OA，OB于M，N； 分別以M、為圓心，大于1/2MN的相同線段為半徑畫弧，兩弧交AOB內(nèi)于； 作射線OP。則射線OP就是AOB的角平分線。11.（經(jīng)典題）已知兩角及夾邊作三角形。已知：如圖，線段m .求作：ABC，使A=，B=,AB=m.【答案】見解析?！窘馕觥孔鞣ǎ?作線段AB=m； 在AB的同旁作A=，作B=，A與B的另一邊相交于C。則ABC就是所求作的圖形（三角形）。12.（2019河北模擬題）如圖，已知ABC（ACBC），用尺規(guī)在BC上確定一點(diǎn)P，使PA+PC=BC，則符合要求的作圖痕跡是（）A B C D【答案】D 【解析】要使PA+PC=BC，必有PA=PB，所以選項中只有作AB的中垂線才能滿足這個條件，故D正確D選項中作的是AB的中垂線，PA=PB，PB+PC=BC，PA+PC=BC13.（2019麗水模擬題）如圖，小紅在作線段AB的垂直平分線時，是這樣操作的：分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于線段AB長度一半的長為半徑畫弧，相交于點(diǎn)C，D，則直線CD即為所求連結(jié)AC，BC，AD，BD，根據(jù)她的作圖方法可知，四邊形ADBC一定是（）A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形【答案】B 【解析】根據(jù)垂直平分線的畫法得出四邊形ADBC四邊的關(guān)系進(jìn)而得出四邊形一定是菱形。分別以A和B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于C、D，AC=AD=BD=BC，四邊形ADBC一定是菱形。14.(2019湖南益陽)已知M、N是線段AB上的兩點(diǎn)，AMMN2，NB1，以點(diǎn)A為圓心，AN長為半徑畫弧；再以點(diǎn)B為圓心，BM長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C，連接AC，BC，則ABC一定是()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D等腰三角形【答案】B 【解析】依據(jù)作圖即可得到ACAN4，BCBM3，AB2+2+15，進(jìn)而得到AC2+BC2AB2，即可得出ABC是直角三角形如圖所示，ACAN4，BCBM3，AB2+2+15，AC2+BC2AB2，ABC是直角三角形，且ACB90°，故選B二、填空題15（2019武漢）如圖，BD是矩形ABCD的對角線，在BA和BD上分別截取BE，BF，使BEBF；分別以E，F(xiàn)為圓心，以大于EF的長為半徑作弧，兩弧在ABD內(nèi)交于點(diǎn)G，作射線BG交AD于點(diǎn)P，若AP3，則點(diǎn)P到BD的距離為 【答案】3【解析】結(jié)合作圖的過程知：BP平分ABD，A90°，AP3，點(diǎn)P到BD的距離等于AP的長，為3。16（2019濟(jì)南）如圖，在RtABC中，C90°，以頂點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長度為半徑畫弧，分別交AB，BC于點(diǎn)M，N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線BP交AC于點(diǎn)D若A30°，則 【答案】【解析】由作法得BD平分ABC，C90°，A30°，ABC60°，ABDCBD30°，DADB，在RtBCD中，BD2CD，AD2CD，1/2 17. ( 2019甘肅省蘭州市) 如圖， 矩形ABCD， BAC600. 以點(diǎn)A為圓心，以任意長為半徑作弧分別交AB.AC于點(diǎn)M、N兩點(diǎn)，再分別以點(diǎn)M、N 為圓心，以大于MN的長為半徑作弧交于點(diǎn)P ，作射線AP交BC于點(diǎn)E，若BE1，則矩形ABCD的面積等于_.【答案】3【解析】 由題可知AP是BAC的角平分線BAC600BAEEAC300AE2 BE2.ABAEB600又AEBEAC+ECAEACECA300AEEC2BC3S矩形ABCD318. (2019四川成都）如圖，ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，按以下步驟作圖：以點(diǎn)A為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交AO，AB于點(diǎn)M，N；以點(diǎn)O為圓心，以AM長為半徑作弧，交OC于點(diǎn)；以點(diǎn)為圓心，以MN長為半徑作弧，在COB內(nèi)部交前面的弧于點(diǎn)；過點(diǎn)作射線交BC于點(diǎn)E，若AB=8，則線段OE的長為 .【答案】4 【解析】此題考察的是通過尺規(guī)作圖構(gòu)造全等三角形的原理及兩直線平行的判定，連接和，因為，所以，所以，所以，又因為是中點(diǎn)，所以是的中位線，所以，所以.三、填空題19（2019六盤水模擬題）如圖，在ABC中，利用尺規(guī)作圖，畫出ABC的外接圓或內(nèi)切圓（任選一個不寫作法，必須保留作圖痕跡）【答案】見解析。【解析】分別利用三角形外心的確定方法以及內(nèi)心的確定方法得出圓心位置，進(jìn)而得出即可。如圖所示：20.（2019石景山二模）下面是小華設(shè)計的“作一個角等于已知角的2倍”的尺規(guī)作圖過程已知：AOB求作：APC，使得APC=2AOB作法：如圖，在射線OB上任取一點(diǎn)C；作線段OC的垂直平分線，交OA于點(diǎn)P，交OB于點(diǎn)D；連接PC；所以APC即為所求作的角根據(jù)小華設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明（說明：括號里填寫推理的依據(jù)） 證明：DP是線段OC的垂直平分線， OP= （ ）O=PCOAPC=O+PCO（ ）APC =2AOB【答案】見解析?！窘馕觥浚?）補(bǔ)全的圖形如圖所示：（2）PC；線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個端點(diǎn)的距離相等； 三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和21.（2019湖北省仙桃市）請僅用無刻度的直尺完成下列畫圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡（1）如圖，四邊形ABCD中，ABAD，BD，畫出四邊形ABCD的對稱軸m；（2）如圖，四邊形ABCD中，ADBC，AD，畫出BC邊的垂直平分線n【答案】見解析。【解析】本題考查了軸對稱作圖，根據(jù)全等關(guān)系可以確定點(diǎn)與點(diǎn)的對稱關(guān)系，從而確定對稱軸所在，即可畫出直線（1）連接AC，AC所在直線即為對稱軸m如圖，直線m即為所求（2）（2）延長BA，CD交于一點(diǎn)，連接AC，BC交于一點(diǎn)，連接兩點(diǎn)獲得垂直平分線n如圖，直線n即為所求22.（2019四川省達(dá)州市）如圖，在RtABC中，ACB90°，AC2，BC3（1）尺規(guī)作圖：不寫作法，保留作圖痕跡作ACB的平分線，交斜邊AB于點(diǎn)D；過點(diǎn)D作BC的垂線，垂足為點(diǎn)E（2）在（1）作出的圖形中，求DE的長【答案】見解析。【解析】（1）利用基本作圖，先畫出CD平分ACB，然后作DEBC于E。如圖，DE為所作；（2）利用CD平分ACB得到BCD45°，再判斷CDE為等腰直角三角形，所以DECE，然后證明BDEBAC，從而利用相似比計算出DECD平分ACB，BCDACB45°，DEBC，CDE為等腰直角三角形，DECE，DEAC，BDEBAC，即，DE23.（2019廣東）如圖，在ABC中，點(diǎn)D是AB邊上的一點(diǎn)（1）請用尺規(guī)作圖法，在ABC內(nèi)，求作ADE使ADE=B，DE交AC于E；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若=2，求的值【答案】見解析。【解析】（1）如圖所示，ADE為所求.（2）ADE=BDEBC=2 =224.（2019廣西貴港）尺規(guī)作圖（只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）：如圖，已知ABC，請根據(jù)“SAS”基本事實作出DEF，使DEFABC【答案】見解析?！窘馕觥勘绢}考查了作圖復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作也考查了全等三角形的判定先作一個DA，然后在D的兩邊分別截取EDBA，DFAC，連接EF即可得到DEF。如圖，DEF即為所求25.（2019湖北孝感）如圖，RtABC中，ACB90°，一同學(xué)利用直尺和圓規(guī)完成如下操作：以點(diǎn)C為圓心，以CB為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)G；分別以點(diǎn)G、B為圓心，以大于GB的長為半徑畫弧，兩弧交點(diǎn)K，作射線CK；以點(diǎn)B為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)M，交AB的延長線于點(diǎn)N；分別以點(diǎn)M、N為圓心，以大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作直線BP交AC的延長線于點(diǎn)D，交射線CK于點(diǎn)E請你觀察圖形，根據(jù)操作結(jié)果解答下列問題；（1）線段CD與CE的大小關(guān)系是 ；（2）過點(diǎn)D作DFAB交AB的延長線于點(diǎn)F，若AC12，BC5，求tanDBF的值【答案】見解析?！窘馕觥浚?）由作圖知CEAB，BD平分CBF，據(jù)此得123，結(jié)合CEB+32+CDE90°知CEBCDE，從而得出答案；CDCE，由作圖知CEAB，BD平分CBF，123，CEB+32+CDE90°，CEBCDE，CDCE，故答案為：CDCE；（2）證BCDBFD得CDDF，從而設(shè)CDDFx，求出AB13，知sinDAF，即，解之求得x，結(jié)合BCBF5可得答案BD平分CBF，BCCD，BFDF，BCBF，CBDFBD，在BCD和BFD中，BCDBFD（AAS），CDDF，設(shè)CDDFx，在RtACB中，AB13，sinDAF，即，解得x，BCBF5，tanDBF×26.（ 2019廣東模擬題）如圖，點(diǎn)D在ABC的AB邊上，且ACD=A（1）作BDC的平分線DE，交BC于點(diǎn)E（用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫作法）；（2）在（1）的條件下，判斷直線DE與直線AC的位置關(guān)系（不要求證明）【答案】見解析?！窘馕觥浚?）根據(jù)角平分線基本作圖的作法作圖即可；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得BDE=BDC，根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)可得A=BDE，再根據(jù)同位角相等兩直線平行可得結(jié)論DEACDE平分BDC，BDE=BDC，ACD=A，ACD+A=BDC，A=BDC，A=BDE，DEAC27.（2019平谷二模）下面是小元設(shè)計的“經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過程已知：如圖1，直線l和l外一點(diǎn)P求作：直線l的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)P作法：如圖2，（1）在直線l上任取一點(diǎn)A； （2）連接AP，以點(diǎn)P為圓心，AP長為半徑作弧，交直線l于點(diǎn)B（點(diǎn)A，B不重合）；（3）連接BP，作APB的角平分線，交AB于點(diǎn)H；（4）作直線PH，交直線l于點(diǎn)H所以直線PH就是所求作的垂線根據(jù)小元設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形 （保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明.證明：PH平分APB， APH= PA= ， PH直線l于H( )(填推理的依據(jù)) 【答案】見解析?！窘馕觥浚?）如圖所示。（2）證明：PH平分APB， APH= BPH PA= PB ， PH直線l于H( 等腰三角形三線合一 )28.（2019甘肅慶陽）已知：在ABC中，ABAC（1）求作：ABC的外接圓（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（2）若ABC的外接圓的圓心O到BC邊的距離為4，BC6，則SO 【答案】見解析?！窘馕觥勘绢}考查作圖復(fù)雜作圖，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外接圓與外心等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型（1）作線段AB，BC的垂直平分線，兩線交于點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OB為半徑作O，O即為所求如圖O即為所求（2）在RtOBE中，利用勾股定理求出OB即可解決問題設(shè)線段BC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E由題意OE4，BEEC3，在RtOBE中，OB5，S圓O522529.（2019廣東廣州）如圖，O的直徑AB10，弦AC8，連接BC（1）尺規(guī)作圖：作弦CD，使CDBC（點(diǎn)D不與B重合），連接AD；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）所作的圖中，求四邊形ABCD的周長【答案】見解析?！窘馕觥浚?）以C為圓心，CB為半徑畫弧，交O于D，線段CD即為所求如圖，線段CD即為所求（2）連接BD，OC交于點(diǎn)E，設(shè)OEx，構(gòu)建方程求出x即可解決問題連接BD，OC交于點(diǎn)E，設(shè)OExAB是直徑，ACB90°，BC6，BCCD，OCBD于EBEDE，BE2BC2EC2OB2OE2，62（5x）252x2，解得x，BEDE，BOOA，AD2OE，四邊形ABCD的周長6+6+10+24