九年級數(shù)學(xué)下冊 期末高效復(fù)習(xí) 專題1 二次函數(shù)（含解析） 浙教版

專題1二次函數(shù)題型一二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)例 1對于拋物線yx22x3，有下列四個結(jié)論：它的對稱軸為x1；它的頂點坐標(biāo)為(1，4)；它與y軸的交點坐標(biāo)為(0，3)，與x軸的交點坐標(biāo)為(1，0)和(3，0)；當(dāng)x0時，y隨x的增大而減小其中正確的個數(shù)為(C)A1 B2 C3 D4【解析】 對稱軸為x1，正確；yx22x3(x1)24，它的頂點坐標(biāo)為(1，4)，正確；yx22x3，當(dāng)x0時，y3，當(dāng)y0時，x22x30，x11，x23，yx22x3與y軸的交點坐標(biāo)為(0，3)，與x軸的交點坐標(biāo)為(1，0)和(3，0)，正確；a10，當(dāng)x1時，y隨x的增大而減小，錯誤故正確的選項有三個【點悟】二次函數(shù)的性質(zhì)，常常從對稱軸、頂點坐標(biāo)、最大值(最小值)，增減性等角度分析變式跟進1小張同學(xué)說出了二次函數(shù)的兩個條件：(1)當(dāng)x1時，y隨x的增大而增大；(2)函數(shù)圖象經(jīng)過點(2，4)則符合條件的二次函數(shù)表達式可以是(D)Ay(x1)25 By2(x1)214Cy(x1)25 Dy(x2)2202求下列函數(shù)的圖象的對稱軸、頂點坐標(biāo)及與x軸的交點坐標(biāo)(1)y4x224x35；(2)y3x26x2；(3)yx2x3；(4)y2x212x18.解：(1)y4x224x35，對稱軸是直線x3，頂點坐標(biāo)是(3，1)，解方程4x224x350，得x1，x2，故它與x軸交點坐標(biāo)是，；(2)y3x26x2，對稱軸是直線x1，頂點坐標(biāo)是(1，5)，解方程3x26x20，得x11，x21，故它與x軸的交點坐標(biāo)是，；(3)yx2x3，對稱軸是直線x，頂點坐標(biāo)是，解方程x2x30，無解，故它與x軸沒有交點；(4)y2x212x18，對稱軸是直線x3，頂點坐標(biāo)是(3，0)，當(dāng)y0時，2x212x180，x1x23，它與x軸的交點坐標(biāo)是(3，0)題型二二次函數(shù)的平移例 2將拋物線y2x21向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度所得的拋物線表達式為(C)Ay2(x1)2 By2(x1)22Cy2(x1)22 Dy2(x1)21【點悟】二次函數(shù)圖象的平移實質(zhì)上是頂點位置的變化，只要確定平移前、后的頂點坐標(biāo)，就可以確定拋物線的平移規(guī)律變式跟進3將拋物線y2x24x5的圖象向左平移2個單位，再向上平移1個單位，所得拋物線表達式是(C)Ay2(x1)27 By2(x1)26Cy2(x3)26 Dy2(x1)26題型三二次函數(shù)與一元二次方程和不等式的關(guān)系例 32016·寧夏若二次函數(shù)yx22xm的圖象與x軸有兩個交點，則m的取值范圍是_m1_【解析】 二次函數(shù)yx22xm的圖象與x軸有兩個交點，0，44m0，m1.【點悟】拋物線yax2bxc(a0)與x軸的交點的橫坐標(biāo)x1，x2，就是方程ax2bxc0(a0)的兩個根，判斷拋物線與x軸是否有交點，只要判斷b24ac與0的大小即可變式跟進4已知二次函數(shù)yx22xm(m為常數(shù))的圖象與x軸的一個交點為(1，0)，則關(guān)于x的一元二次方程x22xm0的兩個實數(shù)根是(D)Ax11，x22 Bx11，x23Cx11，x22 Dx11，x23【解析】 二次函數(shù)yx22xm(m為常數(shù))的對稱軸是x1，(1，0)關(guān)于x1的對稱點是(3，0)則一元二次方程x22xm0的兩個實數(shù)根是x11，x23.52017·高郵二模如圖1，二次函數(shù)y1ax2bxc與一次函數(shù)y2kx的圖象交于點A和原點O，點A的橫坐標(biāo)為4，點A和點B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，點B的橫坐標(biāo)為1，則滿足0y1y2的x的取值范圍是_4x3_ 圖1 第5題答圖【解析】 如答圖所示，點A的橫坐標(biāo)為4，點A和點B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，點B的橫坐標(biāo)為1，拋物線的對稱軸為x，二次函數(shù)y1ax2bxc與一次函數(shù)y2kx的圖象交于點A和原點O，C點坐標(biāo)為(3，0)，則滿足0y1y2的x的取值范圍是4x3.題型四二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系例 4如圖2，已知二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象與x軸交于點A(1，0)，與y軸的交點B在(0，2)和(0，1)之間(不包括這兩點)，對稱軸為直線x1.下列結(jié)論：abc0；4a2bc0；4acb28a；a；bc.其中含所有正確結(jié)論的選項是(D)圖2A BC D【解析】 函數(shù)開口方向向上，a0，對稱軸在原點右側(cè)，ab異號，拋物線與y軸交點在y軸負半軸，c0，abc0，故正確；圖象與x軸交于點A(1，0)，對稱軸為直線x1，圖象與x軸的另一個交點為(3，0)，當(dāng)x2時，y0，4a2bc0，故錯誤；圖象與x軸交于點A(1，0)，當(dāng)x1時，y(1)2ab×(1)c0，abc0，即abc，cba，對稱軸為直線x1，1，即b2a，cba(2a)a3a，4acb24a(3a)(2a)216a20.8a0，4acb28a，故正確；圖象與y軸的交點B在(0，2)和(0，1)之間，2c1，23a1，a，故正確；a0，bc0，即bc，故正確【點悟】二次函數(shù)yax2bxc(a0)，二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小當(dāng)a0時，拋物線向上開口；當(dāng)a0時，拋物線向下開口；|a|還可以決定開口大小，|a|越大開口就越小一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置當(dāng)a與b同號時(即ab0)，對稱軸在y軸左側(cè)；當(dāng)a與b異號時(即ab0)，對稱軸在y軸右側(cè)(簡稱：左同右異)常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點，拋物線與y軸交于(0，c)變式跟進62016·孝感如圖3是拋物線yax2bxc(a0)的部分圖象，其頂點坐標(biāo)為(1，n)，且與x軸的一個交點在點(3，0)和(4，0)之間則下列結(jié)論：abc>0；3ab0；b24a(cn)；一元二次方程ax2bxcn1有兩個不相等的實數(shù)根其中正確結(jié)論的個數(shù)是(C)圖3A1 B2 C3 D4【解析】 拋物線與x軸的一個交點在點(3，0)和(4，0)之間，而拋物線的對稱軸為直線x1，拋物線與x軸的另一個交點在點(2，0)和(1，0)之間當(dāng)x1時，y0，即abc0，正確；拋物線的對稱軸為直線x1，即b2a，3ab3a2aa，錯誤；拋物線的頂點坐標(biāo)為(1，n)，n，b24ac4an4a(cn)，正確；拋物線與直線yn有一個公共點，拋物線與直線yn1有2個公共點，一元二次方程ax2bxcn1有兩個不相等的實數(shù)根，正確題型五 二次函數(shù)的實際應(yīng)用例 52016·濰坊旅游公司在景區(qū)內(nèi)配置了50輛觀光車供游客租賃使用，假定每輛觀光車一天內(nèi)最多只能出租一次，且每輛車的日租金x(元)是5的倍數(shù)，發(fā)現(xiàn)每天的運營規(guī)律如下：當(dāng)x不超過100元時，觀光車能全部租出；當(dāng)x超過100元時，每輛車的日租金每增加5元，租出去的觀光車就會減少1輛，已知所有觀光車每天的管理費是1 100元(1)優(yōu)惠活動期間，為使觀光車全部租出且每天的凈收入為正，則每輛車的日租金至少應(yīng)為多少元？(注：凈收入租車收入管理費)(2)當(dāng)每輛車的日租金為多少時，每天的凈收入最多？解：(1)由題意知，若觀光車能全部租出，則0x100，由50x1 1000，解得x22，x是5的倍數(shù)，每輛車的日租金至少為25元；(2)設(shè)每天的凈收入為y元，當(dāng)0x100時，y150x1 100，y1隨x的增大而增大，當(dāng)x100時，y1的最大值為50×1001 1003 900.當(dāng)x100時，y2x1 100x270x1 100(x175)25 025.當(dāng)x175時，y2的最大值是5 025，5 0253 900，當(dāng)每輛車的日租金為175元時，每天的凈收入最多，最多收入是5 025元【點悟】應(yīng)用二次函數(shù)解決實際問題中的最優(yōu)化問題，實際上就是求函數(shù)的最大值(或最小值)解題時，要先根據(jù)題目提供的條件確定函數(shù)關(guān)系式，并將它配成頂點式，ya(xh)2k，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定最大值或最小值變式跟進72016·杭州把一個足球垂直水平地面向上踢，時間t(s)與該足球距離地面的高度h(m)適用公式h20t5t2(0t4)(1)當(dāng)t3時，求足球距離地面的高度；(2)當(dāng)足球距離地面的高度為10 m時，求t的值；(3)若存在實數(shù)t1，t2(t1t2)，當(dāng)tt1或t2時，足球距離地面的高度都為m(m)，求m的取值范圍解：(1)當(dāng)t3時，h20t5t215(m)，此時足球離地面的高度為15 m；(2)h10，20t5t210，即t24t20，解得t2或t2，經(jīng)過2或2 s時，足球距離地面的高度為10 m；(3)m0，由題意得t1和t2是方程20t5t2m的兩個不相等的實數(shù)根，b24ac20220m0，解得m20，m的取值范圍是0m20.題型六 二次函數(shù)的綜合題例 62017·浙江月考如圖4，拋物線C1：yx22x的頂點為A，與x軸的正半軸交于點B.(1)將拋物線C1上的點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都擴大到原來的2倍，求變換后得到的拋物線的表達式；(2)將拋物線C1上的點(x，y)變?yōu)?kx，ky)(|k|1)，變換后得到的拋物線記作C2，拋物線C2的頂點為C，求拋物線C2的表達式(用k表示)；(3)在(2)條件下，點P在拋物線C2上，滿足SPACSABC，且ACP90°.當(dāng)k1時，求k的值 圖4 例6答圖解：(1)yx22x(x1)2，拋物線C1經(jīng)過原點O，點A(1，)和點B(2，0)三點，將拋物線C1上的點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都擴大到原來的2倍，變換后的拋物線經(jīng)過原點O，(2，2)和(4，0)三點設(shè)變換后拋物線的表達式為yax2bx，將(2，2)和(4，0)代入，得解得變換后拋物線的表達式為yx22x；(2)拋物線C1經(jīng)過原點O，點A(1，)和點B(2，0)三點，將拋物線C1上的點(x，y)變?yōu)?kx，ky)(|k|1)，變換后得到的拋物線記作C2，則拋物線C2過原點O，(k，k)，(2k，0)三點，拋物線C2的表達式為yx22x；(3)yx22x(xk)2k，O，A，C三點共線，且頂點C為(k，k)如答圖，SPACSABC，k1，BPAC，過點P作PDx軸于D，過點B作BEAO于E.由題意知ABO是邊長為2的正三角形，四邊形CEBP是矩形，OE1，CEBP2k1，PBD60°，BDk，PD(2k1)，P，(2k1)2，解得k.變式跟進82017·諸城校級月考如圖5，在矩形OABC 中，OA5，AB4，點D 為邊AB 上一點，將BCD 沿直線CD 折疊，使點B 恰好落在OA邊上的點E 處，分別以O(shè)C，OA 所在的直線為x 軸，y 軸建立平面直角坐標(biāo)系圖5(1)求OE 的長；(2)求經(jīng)過O，D，C 三點的拋物線的表達式；(3)一動點P從點C 出發(fā)，沿CB以每秒2 個單位長的速度向點B運動，同時動點Q從E 點出發(fā)，沿EC以每秒1個單位長的速度向點C運動，當(dāng)點P到達點B時，兩點同時停止運動設(shè)運動時間為t s，當(dāng)t為何值時，DPDQ.解：(1)CECB5，COAB4，在RtCOE中，OE3；(2)設(shè)ADm，則DEBD4m，OE3，AE532，在RtADE中，由勾股定理可得AD2AE2DE2，即m222(4m)2，解得m，D，C(4，0)，O(0，0)，設(shè)過O，D，C三點的拋物線為yax(x4)，5a，解得a，拋物線表達式為yx(x4)x2x；(3)CP2t，BP52t，由折疊的性質(zhì)，得BDDE，在RtDBP和RtDEQ中，RtDBPRtDEQ(HL)，BPEQ，52tt，t.過關(guān)訓(xùn)練1已知，二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象如圖1所示，則以下說法不正確的是(C)圖1A根據(jù)圖象可得該函數(shù)y有最小值B當(dāng)x2時，函數(shù)y的值小于0C根據(jù)圖象可得a0，b0D當(dāng)x1時，函數(shù)值y隨著x的增大而減小【解析】 由圖象可知：A.拋物線開口向上，該函數(shù)y有最小值，此選項正確；B.當(dāng)x2時，圖象在x軸的下方，函數(shù)值小于0，此選項正確；C.對稱軸為x1，a0，則b0，此選項錯誤；D.當(dāng)x1時，y隨x的增大而減小，此選項正確2拋物線y(x2)21可以由拋物線yx2平移得到，下列平移方法中正確的是(B)A先向左平移2個單位，再向上平移1個單位B先向左平移2個單位，再向下平移1個單位C先向右平移2個單位，再向上平移1個單位D先向右平移2個單位，再向下平移1個單位【解析】 函數(shù)yx2的圖象沿x軸向左平移2個單位長度，得y(x2)2；然后y軸向下平移1個單位長度，得y(x2)21，故選B.3一次函數(shù)yaxb(a0)與二次函數(shù)yax2bxc(a0)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是(C) AB CD4如圖2，二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象與x軸交于點A(1，0)，其對稱軸為直線x1，下列結(jié)論中正確的是(D)圖2Aabc0 B2ab0C4a2bc0 D9a3bc0【解析】 拋物線的開口向下，則a0，對稱軸在y軸的右側(cè)，b0，圖象與y軸交于正半軸上，c0，abc0；對稱軸為x1，1，b2a，2ab0；當(dāng)x2時，4a2bc0；當(dāng)x3時，9a3bc0.5已知二次函數(shù)y3x236x81.(1)寫出它的頂點坐標(biāo)；(2)當(dāng)x取何值時，y隨x的增大而增大；(3)求出圖象與x軸的交點坐標(biāo)；(4)當(dāng)x取何值時，y有最小值，并求出最小值；(5)當(dāng)x取何值時，y0.解：(1)y3x236x813(x6)227，頂點坐標(biāo)為(6，27)；(2)拋物線的對稱軸為x6，且拋物線的開口向上，當(dāng)x6時，y隨x的增大而增大；(3)當(dāng)3x236x810時，得x13，x29，該函數(shù)圖象與x軸的交點為(9，0)，(3，0)；(4)拋物線的頂點坐標(biāo)為(6，27)，當(dāng)x6時，y有最小值，最小值為27；(5)該函數(shù)圖象與x軸的交點為(9，0)，(3，0)，且拋物線的開口向上，當(dāng)9x3時，y0.6已知二次函數(shù)的圖象以A(1，4)為頂點，且過點B(2，5)(1)求該二次函數(shù)的表達式；(2)求該二次函數(shù)圖象與y軸的交點坐標(biāo)解：(1)由頂點A(1，4)，可設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式為ya(x1)24(a0)二次函數(shù)的圖象過點B(2，5)，5a(21)24，解得a1.二次函數(shù)的關(guān)系式是y(x1)24；(2)令x0，則y(01)243，圖象與y軸的交點坐標(biāo)為(0，3)7如圖3，已知拋物線yx2bxc經(jīng)過A(1，0)，B(3，0)兩點圖3 (1)求拋物線的表達式和頂點坐標(biāo)；(2)當(dāng)0x3時，求y的取值范圍；(3)點P為拋物線上一點，若SPAB10，求出此時點P的坐標(biāo)解：(1)把A(1，0)，B(3，0)分別代入yx2bxc中，得解得拋物線表達式為yx22x3.yx22x3(x1)24，頂點坐標(biāo)為(1，4)；(2)由圖可得當(dāng)0x3時，4y0；(3)A(1，0)，B(3，0)，AB4.設(shè)P(x，y)，則SPABAB·|y|2|y|10，|y|5，y±5.當(dāng)y5時，x22x35，解得x12，x24，此時P點坐標(biāo)為(2，5)或(4，5)；當(dāng)y5時，x22x35，方程無解綜上所述，P點坐標(biāo)為(2，5)或(4，5)8如圖4，在一面靠墻的空地上用長為24 m的籬笆圍成中間隔有二道籬笆的長方形花圃設(shè)花圃的寬AB為x m，面積為S m2.(1)求S與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍；(2)已知墻的最大可用長度為8 m，求所圍成花圃的最大面積；若所圍花圃的面積不小于20 m2，請直接寫出x的取值范圍圖4解：(1)Sx(244x)4x224x(0x6)；(2)S4x224x4(x3)236，由244x8，244x0，解得4x6，當(dāng)x4時，花圃有最大面積為32；令4x224x20時，解得x11，x25，墻的最大可用長度為8，即244x8，x4，4x5.92017·三原校級月考東方小商品市場一經(jīng)營者將每件進價為80元的某種小商品原來按每件100元出售，一天可售出100件后來經(jīng)過市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這種小商品單價每降低1元，其銷量可增加10件(1)該經(jīng)營者經(jīng)營這種商品原來一天可獲利潤_2_000_元；(2)若設(shè)后來該小商品每件降價x元，該經(jīng)營者一天可獲利潤y元若該經(jīng)營者經(jīng)營該商品一天要獲利潤2 090元，求每件商品應(yīng)降價多少元？求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)x取何值時，該經(jīng)營者所獲利潤最大，且最大利潤為多少元？解：(1)若商店經(jīng)營該商品不降價，則一天可獲利潤：100×(10080)2 000(元)；(2)設(shè)該商品每件降價x元，依題意，得(10080x)(10010x)2 090，即x210x90，解得x11，x29.答：每件商品應(yīng)降價1元或9元；根據(jù)題意得y(10080x)(10010x)10x2100x2 000，當(dāng)x5時，y最大2 250元，答：該經(jīng)營者所獲最大利潤為2 250元102016·泰安如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yax2bxc的頂點坐標(biāo)為(2，9)，與y軸交于點A(0，5)，與x軸交于點E，B.圖6(1)求二次函數(shù)yax2bxc的表達式；(2)過點A作AC平行于x軸，交拋物線于點C，點P為拋物線上的一點(點P在AC上方)，作PD平行于y軸交AB于點D，問當(dāng)點P在何位置時，四邊形APCD的面積最大？并求出最大面積解：(1)設(shè)拋物線的表達式為ya(x2)29，把A(0，5)代入得4a95，解得a1，y(x2)29x24x5；(2)當(dāng)y0時，x24x50，解得x11，x25，E(1，0)，B(5，0)，設(shè)直線AB的表達式為ymxn，把A(0，5)，B(5，0)代入，得m1，n5，yx5，設(shè)P(x，x24x5)，則D(x，x5)，PDx24x5x5x25x，AC4，四邊形APCD的面積AC·PD×4×(x25x)2x210x，當(dāng)x時，四邊形APCD的面積最大，最大面積為.112017·雙臺子區(qū)校級一模如圖7，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)yx2bxc的圖象與x軸交于A，B(3，0)兩點，與y軸交于c(0，3)，點P是直線BC下方拋物線上的動點(1)求出二次函數(shù)的表達式；圖7(2)連結(jié)PO，PC，并將POC沿y軸對折，得到四邊形POPC，那么是否存在點P，使得四邊形POPC為菱形？若存在，求出點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；(3)當(dāng)點P運動到什么位置時，四邊形ACPB的面積最大？求出此時P的坐標(biāo)和四邊形ACPB的最大面積解：(1)把B(3，0)，C(0，3)代入yx2bxc，得解得這個二次函數(shù)的表達式為yx22x3；(2)存在理由如下：如答圖，作OC的垂直平分線交直線BC下方的拋物線于點P，垂足為點E.則POPC，POC沿CO翻折，得到四邊形POPC，OPOP，CPCP，OPOPCPCP，四邊形POPC為菱形，C點坐標(biāo)為(0，3)，E點坐標(biāo)為，點P的縱坐標(biāo)為，把y代入yx22x3，得x22x3，解得x，點P在直線BC下方的拋物線上，x，滿足條件的點P的坐標(biāo)為； 第11題答圖 第11題答圖(3)如答圖，作PFx軸于點F，交BC于點E，BC的表達式為yx3，設(shè)E(m，m3)，P(m，m22m3)則PEm3(m22m3)m23m，SBCPSBEPSCEPPE·FBEP·OFEP·OB×3，0，當(dāng)m時，S最大，此時P；A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)，又S四邊形ACPBSABCSPBC，SABC×4×36定值，當(dāng)PBC的面積最大時，四邊形ACPB的面積最大，最大面積為6.15