2020年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 重難題型突破 類型一 新定義型
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2020年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 重難題型突破 類型一 新定義型
類型一 新定義型例1、對(duì)任意一個(gè)三位數(shù)n,如果n滿足各數(shù)位上的數(shù)字互不相同,且都不為零,那么稱這個(gè)數(shù)為“相異數(shù)”將一個(gè)“相異數(shù)”任意兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)后可以得到三個(gè)不同的新三位數(shù),把這三個(gè)新三位數(shù)的和與111的商記為F(n)例如n123,對(duì)調(diào)百位與十位上的數(shù)字得到213,對(duì)調(diào)百位與個(gè)位上的數(shù)字得到321,對(duì)調(diào)十位與個(gè)位上的數(shù)字得到132,這三個(gè)新三位數(shù)的和為213321132666,666÷1116,所以F(123)6(1)計(jì)算:F(243),F(xiàn)(617);(2)若s,t都是“相異數(shù)”,其中s100x32,t150y(1x9,1y9,x,y都是正整數(shù)),規(guī)定:k當(dāng)F(s)F(t)18時(shí),求k的最大值【解答】解:(1)F(243)(423342234)÷1119;F(617)(167716671)÷11114(2)s,t都是“相異數(shù)”,s100x32,t150y,F(xiàn)(s)(30210x230x100x23)÷111x5,F(xiàn)(t)(510y100y5110510y)÷111y6F(t)F(s)18,x5y6xy1118,xy71x9,1y9,且x,y都是正整數(shù),或或或或或s是“相異數(shù)”,x2,x3t是“相異數(shù)”,y1,y5或或,或或,k或k1或kk的最大值為例2、如圖1,在正方形ABCD的內(nèi)部,作DAEABFBCGCDH,根據(jù)三角形全等的條件,易得DAEABFBCGCDH,從而得到四邊形EFGH是正方形類比探究如圖2,在正ABC的內(nèi)部,作BADCBEACF,AD,BE,CF兩兩相交于D,E,F(xiàn)三點(diǎn)(D,E,F(xiàn)三點(diǎn)不重合)(1)ABD,BCE,CAF是否全等?如果是,請(qǐng)選擇其中一對(duì)進(jìn)行證明(2)DEF是否為正三角形?請(qǐng)說(shuō)明理由(3)進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn),ABD的三邊存在一定的等量關(guān)系,設(shè)BDa,ADb,ABc,請(qǐng)?zhí)剿鱝,b,c滿足的等量關(guān)系【解答】解:(1)ABDBCECAF;理由如下:ABC是正三角形,CABABCBCA60°,ABBC,ABDABC2,BCEACB3,23,ABDBCE,在ABD和BCE中,ABDBCE(ASA);(2)DEF是正三角形;理由如下:ABDBCECAF,ADBBECCFA,F(xiàn)DEDEFEFD,DEF是正三角形;(3)作AGBD于G,如圖所示:DEF是正三角形,ADG60°,在RtADG中,DG在RtABG中例3、有這樣一個(gè)問(wèn)題:探究同一平面直角坐標(biāo)系中系數(shù)互為倒數(shù)的正、反比例函數(shù)y與y0)的圖象性質(zhì)小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),對(duì)函數(shù)y與y當(dāng)k0時(shí)的圖象性質(zhì)進(jìn)行了探究下面是小明的探究過(guò)程:(1)如圖所示,設(shè)函數(shù)y與y圖象的交點(diǎn)為A,B,已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為(k,1),則B點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi);(2)若點(diǎn)P為第一象限內(nèi)雙曲線上不同于點(diǎn)B的任意一點(diǎn)設(shè)直線PA交x軸于點(diǎn)M,直線PB交x軸于點(diǎn)N求證:PMPN證明過(guò)程如下:設(shè)直線PA的解析式為yaxb(a0)則 ,解得 _直線PA的解析式為_(kāi)請(qǐng)你把上面的解答過(guò)程補(bǔ)充完整,并完成剩余的證明當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,k)(k1)時(shí),判斷PAB的形狀,并用k表示出PAB的面積【解答】解:(1)由正、反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知,點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱,A點(diǎn)的坐標(biāo)為(k,1),B點(diǎn)的坐標(biāo)為(k,1)故答案為:(k,1)(2)證明過(guò)程如下,設(shè)直線PA的解析式為yaxb(a0)則,解得:,直線PA的解析式為y當(dāng)y0時(shí),xmk,M點(diǎn)的坐標(biāo)為(mk,0)過(guò)點(diǎn)P作PHx軸于H,如圖1所示,P點(diǎn)坐標(biāo)為H點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,0),MHm(mk)k同理可得:HNkMHHN,PMPN故答案為:;y由可知,在PMN中,PMPN,PMN為等腰三角形,且MHHNk當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,k)時(shí),PHk,MHHNPH,PMHMPH45°,PNHNPH45°,MPN90°,即APB90°,PAB為直角三角形當(dāng)k1時(shí),如圖1,當(dāng)0k1時(shí),如圖2,例4、問(wèn)題呈現(xiàn):如圖1,點(diǎn)E、F、G、H分別在矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上,AEDG,求證:2S四邊形EFGHS矩形ABCD(S表示面積)實(shí)驗(yàn)探究:某數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)小組發(fā)現(xiàn):若圖1中AHBF,點(diǎn)G在CD上移動(dòng)時(shí),上述結(jié)論會(huì)發(fā)生變化,分別過(guò)點(diǎn)E、G作BC邊的平行線,再分別過(guò)點(diǎn)F、H作AB邊的平行線,四條平行線分別相交于點(diǎn)、得到矩形如圖2,當(dāng)AHBF時(shí),若將點(diǎn)G向點(diǎn)C靠近(DGAE),經(jīng)過(guò)探索,發(fā)現(xiàn):2 S四邊形EFGHS矩形ABCDS矩形如圖3,當(dāng)AHBF時(shí),若將點(diǎn)G向點(diǎn)D靠近(DGAE),請(qǐng)?zhí)剿鱏四邊形EFGH、S矩形ABCD與S矩形之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由遷移應(yīng)用:請(qǐng)直接應(yīng)用“實(shí)驗(yàn)探究”中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論解答下列問(wèn)題:(1)如圖4,點(diǎn)E、F、G、H分別是面積為25的正方形ABCD各邊上的點(diǎn),已知AHBF,AEDG,S四邊形EFGH11,HF求EG的長(zhǎng)(2)如圖5,在矩形ABCD中,AB3,AD5,點(diǎn)E、H分別在邊AB、AD上,BE1,DH2,點(diǎn)F、G分別是邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn),且FG連接EF、HG,請(qǐng)直接寫(xiě)出四邊形EFGH面積的最大值【解答】問(wèn)題呈現(xiàn):證明:如圖1中,四邊形ABCD是矩形,ABCD,A90°,AEDG,四邊形AEGD是矩形,S四邊形EFGH,同理S矩形BEGC,S四邊形EFGHS矩形ABCD實(shí)驗(yàn)探究:結(jié)論:2 S四邊形EFGHS矩形ABCDS矩形理由: =, =, =, =,S四邊形EFGH=+,2S四邊形EFGH=2+2+2+22,2S四邊形EFGH=S矩形ABCDS矩形遷移應(yīng)用:解:(1)如圖4中,2S四邊形EFGH=S矩形ABCDS矩形,S矩形=252×11=3=A1B1A1D1,正方形的面積為25,邊長(zhǎng)為5,A1D12=HF252=2925=4,A1D1=2,A1B1=,EG2=A1B12+52=,EG=(2)2 S四邊形EFGHS矩形ABCDS矩形四邊形面積最大時(shí),四邊形EFGH的面積最大如圖51中,當(dāng)G與C重合時(shí),四邊形面積最大時(shí),四邊形EFGH的面積最大此時(shí)矩形面積如圖52中,當(dāng)G與D重合時(shí),四邊形面積最大時(shí),四邊形EFGH的面積最大此時(shí)矩形面積212,四邊形EFGH的面積最大值例5、定義:點(diǎn)P是ABC內(nèi)部或邊上的點(diǎn)(頂點(diǎn)除外),在PAB,PBC,PCA中,若至少有一個(gè)三角形與ABC相似,則稱點(diǎn)P是ABC的自相似點(diǎn)例如:如圖1,點(diǎn)P在ABC的內(nèi)部,PBCA,BCPABC,則BCPABC,故點(diǎn)P是ABC的自相似點(diǎn)請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí),結(jié)合上述材料,解決下列問(wèn)題:在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)M是曲線y上的任意一點(diǎn),點(diǎn)N是x軸正半軸上的任意一點(diǎn)(1)如圖2,點(diǎn)P是OM上一點(diǎn),ONPM,試說(shuō)明點(diǎn)P是MON的自相似點(diǎn);當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)是點(diǎn)N的坐標(biāo)是時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)如圖3,當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)是點(diǎn)N的坐標(biāo)是(2,0)時(shí),求MON的自相似點(diǎn)的坐標(biāo);(3)是否存在點(diǎn)M和點(diǎn)N,使MON無(wú)自相似點(diǎn)?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出這兩點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由【解答】解:(1)ONPM,NOPMON,NOPMON,點(diǎn)P是MON的自相似點(diǎn);過(guò)P作PDx軸于D,則tanPODMON60°,當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)是點(diǎn)N的坐標(biāo)是MNO90°,NOPMON,NPOMNO90°,在RtOPN中,OPONcos60°ODOPcos60°OPsin60°(2)作MHx軸于H,如圖3所示:點(diǎn)M的坐標(biāo)是點(diǎn)N的坐標(biāo)是(2,0),OM直線OM的解析式為y2,MOH30°,分兩種情況:如圖3所示:P是MON的相似點(diǎn),PONNOM,作PQx軸于Q,POPN,OQ1,P的橫坐標(biāo)為1,y如圖4所示:由勾股定理得:MN2,P是MON的相似點(diǎn),PNMNOM,即解得:PN即P的縱坐標(biāo)為代入y得:解得:x2,綜上所述:MON的自相似點(diǎn)的坐標(biāo)為或(3)存在點(diǎn)M和點(diǎn)N,使MON無(wú)自相似點(diǎn)理由如下:OMON,MON60°,MON是等邊三角形,點(diǎn)P在MON的內(nèi)部,PONOMN,PNOMON,存在點(diǎn)M和點(diǎn)N,使MON無(wú)自相似點(diǎn)9