2020年中考數(shù)學二輪復習 重難題型突破 類型一 二次函數(shù)與線段問題
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2020年中考數(shù)學二輪復習 重難題型突破 類型一 二次函數(shù)與線段問題
類型一 二次函數(shù)與線段問題例1、 如圖1-1,拋物線yx22x3與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,點P是拋物線對稱軸上的一個動點,如果PAC的周長最小,求點P的坐標圖1-1【解析】如圖1-2,把拋物線的對稱軸當作河流,點A與點B對稱,連結BC,那么在PBC中,PBPC總是大于BC的如圖1-3,當點P落在BC上時,PBPC最小,因此PAPC最小,PAC的周長也最小由yx22x3,可知OBOC3,OD1所以DBDP2,因此P(1,2)圖1-2 圖1-3例2、如圖,拋物線與y軸交于點A,B是OA的中點一個動點G從點B出發(fā),先經過x軸上的點M,再經過拋物線對稱軸上的點N,然后返回到點A如果動點G走過的路程最短,請找出點M、N的位置,并求最短路程圖2-1【解析】如圖2-2,按照“臺球兩次碰壁”的模型,作點A關于拋物線的對稱軸對稱的點A,作點B關于x軸對稱的點B,連結AB與x軸交于點M,與拋物線的對稱軸交于點N在RtAAB中,AA8,AB6,所以AB10,即點G走過的最短路程為10根據(jù)相似比可以計算得到OM,MH,NH1所以M(, 0),N(4, 1)圖2-2例3、如圖3-1,拋物線與y軸交于點A,頂點為B點P是x軸上的一個動點,求線段PA與PB中較長的線段減去較短的線段的差的最小值與最大值,并求出相應的點P的坐標圖3-1【解析】題目讀起來像繞口令,其實就是求|PAPB|的最小值與最大值由拋物線的解析式可以得到A(0, 2),B(3, 6)設P(x, 0)絕對值|PAPB|的最小值當然是0了,此時PAPB,點P在AB的垂直平分線上(如圖3-2)解方程x222(x3)262,得此時P在PAB中,根據(jù)兩邊之差小于第三邊,那么|PAPB|總是小于AB了如圖3-3,當點P在BA的延長線上時,|PAPB|取得最大值,最大值AB5此時P圖3-2 圖3-3例4、如圖4-1,菱形ABCD中,AB2,A120°,點P、Q、K分別為線段BC、CD、BD上的任意一點,求PKQK的最小值圖4-1【解析】如圖4-2,點Q關于直線BD的對稱點為Q,在KPQ中,PKQK總是大于PQ的如圖4-3,當點K落在PQ上時,PKQK的最小值為PQ如圖4-4,PQ的最小值為QH,QH就是菱形ABCD的高,QH這道題目應用了兩個典型的最值結論:兩點之間,線段最短;垂線段最短圖4-2 圖4-3 圖4-4例5、如圖5-1,菱形ABCD中,A60°,AB3,A、B的半徑分別為2和1,P、E、F分別是邊CD、B和A上的動點,求PEPF的最小值圖5-1【解析】E、F、P三個點都不確定,怎么辦?BE1,AF2是確定的,那么我們可以求PBPA3的最小值,先求PBPA的最小值(如圖5-2)如圖5-3,PBPA的最小值為AB,AB6所以PEPF的最小值等于3圖5-2 圖5-3例6、如圖6-1,已知A(0, 2)、B(6, 4)、E(a, 0)、F(a1, 0),求a為何值時,四邊形ABEF周長最小?請說明理由圖6-1【解析】在四邊形ABEF中,AB、EF為定值,求AEBF的最小值,先把這兩條線段經過平移,使得兩條線段有公共端點如圖6-2,將線段BF向左平移兩個單位,得到線段ME如圖6-3,作點A關于x軸的對稱點A,MA與x軸的交點E,滿足AEME最小由AOEBHF,得解方程,得圖6-2 圖6-3例7、如圖7-1,ABC中,ACB90°,AC2,BC1點A、C分別在x軸和y軸的正半軸上,當點A在x軸上運動時,點C也隨之在y軸上運動在整個運動過程中,求點B到原點的最大距離圖7-1【解析】如果把OB放在某一個三角形中,這個三角形的另外兩條邊的大小是確定的,那么根據(jù)兩邊之和大于第三邊,可知第三邊OB的最大值就是另兩邊的和顯然OBC是不符合條件的,因為OC邊的大小不確定如圖7-2,如果選AC的中點D,那么BD、OD都是定值,OD1,BD在OBD中,總是有OBODBD如圖7-3,當點D落在OB上時,OB最大,最大值為圖7-2 圖7-3 例8、如圖8-1,已知A(2,0)、B(4, 0)、設F為線段BD上一點(不含端點),連結AF,一動點M從點A出發(fā),沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F,再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D后停止當點F的坐標是多少時,點M在整個運動過程中用時最少?圖8-1【解析】點B(4, 0)、的坐標隱含了DBA30°,不由得讓我們聯(lián)想到30°角所對的直角邊等于斜邊的一半如果把動點M在兩條線段上的速度統(tǒng)一起來,問題就轉化了如圖8-2,在RtDEF中,F(xiàn)D2FE如果點M沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到點D時,那么點M沿線段FE以每秒1個單位的速度正好運動到點E因此當AFFE最小時,點M用時最少如圖8-3,當AEDE時,AFFE最小,此時F圖8-2 圖8-3例9、如圖9-1,在RtABC中,C90°,AC6,BC8點E是BC邊上的點,連結AE,過點E作AE的垂線交AB邊于點F,求AF的最小值圖9-1【解析】如圖9-2,設AF的中點為D,那么DADEDF所以AF的最小值取決于DE的最小值如圖9-3,當DEBC時,DE最小設DADEm,此時DB由ABDADB,得解得此時AF圖9-2 圖9-3例10、如圖10-1,已知點P是拋物線上的一個點,點D、E的坐標分別為(0, 1)、(1, 2),連結PD、PE,求PDPE的最小值圖10-1【解析】點P不在一條筆直的河流上,沒有辦法套用“牛喝水”的模型設P,那么PD2所以PD如圖10-2,的幾何意義可以理解為拋物線上的動點P到直線y1的距離PH所以PDPH因此PDPE就轉化為PHPE如圖10-3,當P、E、H三點共線,即PHx軸時,PHPE的最小值為3高中數(shù)學會學到,拋物線是到定點的距離等于到定直線的距離的點的集合,在中考數(shù)學壓軸題里, 如果要用到這個性質,最好鋪墊一個小題,求證PDPH. 圖10-2 圖10-37