2018年中考數學專題復習卷 銳角三角函數（含解析）

銳角三角函數一、選擇題1.計算 =（    ） A.                                         B. 1                                        C.                                         D. 【答案】B 【解析】 ： tan 45 ° =1故答案為:B?！痉治觥扛鶕厥怃J角三角函數值即可得出答案。2.下列運算結果正確的是 A. 3a3·2a2=6a6                   B. (-2a)2= -4a2                   C. tan45°=                    D. cos30°= 【答案】D 【解析】 A、原式=6a5 ， 故不符合題意；B、原式=4a2 ， 故不符合題意；C、原式=1，故不符合題意；D、原式= ，故符合題意故答案為：D【分析】根據單項式乘以單項式，系數的積作為積的系數，對于相同的字母，底數不變，指數相加；積的乘方，等于把積中的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘；根據特殊銳角三角函數值即可一一得出答案，再進行判斷即可。3.如圖,在菱形ABCD中,對角線AC、BD相交于點0,BD=8,tanABD= ,則線段AB的長為(    ).A.                                         B. 2                                         C. 5                                        D. 10【答案】C 【解析】 ：菱形ABCD,BD=8ACBD， 在RtABO中，AO=3 故答案為：C【分析】根據菱形的對角線互相垂直平分，得出ACBD，求出BO的長，再根據銳角三角函數的定義，求出AO的長，然后根據勾股定理就可求出結果。4.數學活動課，老師和同學一起去測量校內某處的大樹 的高度，如圖，老師測得大樹前斜坡  的坡度i=1:4，一學生站在離斜坡頂端 的水平距離DF為8m處的D點，測得大樹頂端A的仰角為 ，已知 ，BE=1.6m，此學生身高CD=1.6m，則大樹高度AB為（   ）m.A.7.4B.7.2C.7D.6.8【答案】D 【解析】 如圖所示:過點C作 延長線于點G,交EF于點N,根據題意可得:  ,計算得出:  ,   , , , ,設  ,則  ,故  ,即  ,計算得出:  ,故  ,則 ,故答案為：D.【分析】將大樹高度AB放在直角三角形中，解直角三角形即可求解。即：過點C作 C G A B 延長線于點G,交EF于點N,因為斜坡 D E  的坡度i=1:4，所以,解得EF=2，而  sin=，設AG=3x,則AC=5x ,所以BC=4x  ,即8+1.6=4x  ,解得 x = 2.4  ，所以AG=2.4×3=7.2m ,則AB=AGBG=7.20.4=6.8m。5. 如圖，電線桿CD的高度為h，兩根拉線AC與BC相互垂直，CAB=，則拉線BC的長度為（A、D、B在同一條直線上）（   ） A.                                   B.                                   C.                                   D. hcos【答案】B 【解析】 ：CAD+ACD=90°，ACD+BCD=90°， CAD=BCD，在RtBCD中，cosBCD= ，BC= = ，故選：B【分析】根據同角的余角相等得CAD=BCD，由osBCD= 知BC= = 6.如圖，ABC內接于O，AD為O的直徑，交BC于點E，若DE2，OE3，則 （    ）A.4B.3C.2D.5【答案】A 【解析】 ：如圖，連接BD，CDDO=2，OE=3OA=OD=5AE=OA+OE=8ABE=EDC，AEB=DECABEDEC同理可得：AECBED由×得AD是直徑ABD=ACD=90°tanACB=ADB=tanABC=tanADC=tanACBtanABC=4故答案為：A【分析】根據OD和OE的長，求出AE的長，再根據相似三角形的性質和判定，得出，利用銳角三角函數的定義，可證得tanACBtanABC=，代入求值即可。7.在RtABC中，C=90°，AC=4，cosA的值等于,則AB的長度是（    ） A. 3                                          B. 4                                          C. 5                                          D. 【答案】D 【解析】 ：RtABC中，C=90°，cosA的值等于cosA=解之：AB=故答案為：D【分析】根據銳角三角函數的定義，列出方程cosA=，求出AB的值即可。8. 如圖，一艘輪船在A處測得燈塔P位于其北偏東60°方向上，輪船沿正東方向航行30海里到達B處后，此時測得燈塔P位于其北偏東30°方向上，此時輪船與燈塔P的距離是（   ）A. 15 海里                           B. 30海里                           C. 45海里                           D. 30 海里【答案】B 【解析】 ：作BDAP，垂足為D根據題意，得BAD=30°，BD=15海里，PBD=60°，則DPB=30°，BP=15×2=30（海里），故選：B【分析】作CDAB，垂足為D構建直角三角形后，根據30°的角對的直角邊是斜邊的一半，求出BP9.如圖，在 中， ， ， ，則 等于（   ）A.                                           B.                                           C.                                           D. 【答案】A 【解析】 ：在RtABC中，AB=10、AC=8，BC= ，sinA= .故答案為：A【分析】首先根據勾股定理算出BC的長，再根據正弦函數的定義即可得出答案。10.一艘在南北航線上的測量船，于A點處測得海島B在點A的南偏東30°方向，繼續(xù)向南航行30海里到達C點時，測得海島B在C點的北偏東15°方向，那么海島B離此航線的最近距離是（結果保留小數點后兩位）（參考數據： ）（     ）    A. 4.64海里                           B. 5.49海里                           C. 6.12海里                           D. 6.21海里【答案】B 【解析】 ：根據題意畫出圖如圖所示：作BDAC，取BE=CE，AC=30，CAB=30°ACB=15°，ABC=135°，又BE=CE，ACB=EBC=15°，ABE=120°，又CAB=30°BA=BE，AD=DE，設BD=x，在RtABD中，AD=DE= x，AB=BE=CE=2x，AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30，x= = 5.49，故答案為：B.【分析】根據題意畫出圖如圖所示：作BDAC，取BE=CE，根據三角形內角和和等腰三角形的性質得出BA=BE，AD=DE，設BD=x，RtABD中，根據勾股定理得AD=DE= x，AB=BE=CE=2x，由AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30，解之即可得出答案.二、填空題 11.在ABC中，C=90°，若tanA= ，則sinB=_ 【答案】【解析】 ：如圖所示：C=90°，tanA= ，設BC=x，則AC=2x，故AB= x，則sinB= .故答案為：  【分析】根據正切函數的定義由tanA= ， 設BC=x，則AC=2x，根據勾股定理表示出AB的長，再根據正弦函數的定義即可得出答案。12.如圖，在菱形紙片ABCD中， ，將菱形紙片翻折，使點A落在CD的中點E處，折痕為FG，點 分別在邊 上，則 的值為_ 【答案】【解析】 如圖，作EHAD于H，連接BE，BD、AE交FG于O，因為四邊形ABCD是菱形，A=60°，所以ADC是等邊三角形，ADC=120°，點E是CD的中點，所以ED=EC= ，BECD，RtBCE中，BE= CE= ，因為ABCD，所以BEAB，設AF=x，則BF=3-x，EF=AF=x，在RtEBF中，則勾股定理得，x2=(3-x)2+( )2 ， 解得x= ，RtDEH中，DH= DE= ，HE= DH= ，RtAEH中，AE= = ，所以AO= ，RtAOF中，OF= = ，所以tanEFG= = ，故答案為 .【分析】作EHAD于H，連接BE，BD、AE交FG于O，根據菱形的性質及等邊三角形的判定方法得出ADC是等邊三角形，ADC=120°，根據等邊三角形的三線合一得出ED=EC= ，BECD，RtBCE中，根據勾股定理得出BE,CE的長，根據平行線的性質得出BEAB，設AF=x，則BF=3-x，EF=AF=x，在RtEBF中，則勾股定理得出方程求解得出x的值，RtDEH中，DH= DE= ，HE= DH= ，RtAEH中，利用勾股定理得出AE的長，進而得出AO的長，RtAOF中，利用勾股定理算出OF的長，根據正切函數的定義得出答案。13.如圖，在RtABC中，B=90°，C=30°，BC= ，以點B為圓心，AB為半徑作弧交AC于點E，則圖中陰影部分面積是_【答案】【解析】 ：連接BEB=90°，C=30°，BC= ，A=60°，AB=1AB=EB，ABE是等邊三角形，ABE=60°，S弓形=S扇形ABESABE= = 故答案為： 【分析】連接BE因為B=90°，C=30°，BC= ， 由C的正切可得tanC=,所以AB=1，由題意以點B為圓心，AB為半徑作弧交AC于點E可得AB=EB，所以ABE是等邊三角形，則ABE=60°，圖中陰影部分面積=扇形ABE的面積-三角形ABE的面積=-×1×=-.14.如圖，某高速公路建設中需要測量某條江的寬度AB，飛機上的測量人員在C處測得A，B兩點的俯角分別為45°和30°若飛機離地面的高度CH為1200米，且點H，A，B在同一水平直線上，則這條江的寬度AB為_米（結果保留根號）【答案】【解析】 ：依題可得：ACD=45°,BCD=30°,CH=1200,CDAB，CAH=ACD=45°,CBH=BCD=30°,AH=CH=1200,設AB=x米，在RtCHB中，tanCBH= ,即 = ，解得：x=1200 -1200.故答案為：1200 -1200.【分析】根據平行線的性質結合已知條件得CAH=ACD=45°,CBH=BCD=30°,設AB=x米，在RtCHB中，根據正切三角函數定義建立等式，代入數值解方程即可得AB長.15.如圖，在菱形ABCD中，AB=2，B是銳角，AEBC于點E，M是AB的中點，連結MD，ME若EMD=90°，則cosB的值為_?！敬鸢浮俊窘馕觥?：延長DM交CB的延長線于H，四邊形ABCD為菱形，AB=AD=BC=2,ADBC，ADM=H，又M是AB的中點，AM=BM=1，在ADM和BHM中， ，ADMBHM（AAS），DM=HM，AD=BH=2,EMDM，EH=ED,設BE=x，EH=ED=2+x，AEBC，AEB=EAD=90°,AE2=AB2-BE2=ED2-AD2,即22-x2=（2+x）2-22,化簡得：x2+2x-2=0，解得：x=-1，在RtABE中，cosB=.故答案為： .【分析】延長DM交CB的延長線于H，由菱形的性質和平行線的性質可得：AB=AD=BC=2,ADM=H；由全等三角形的判定AAS得ADMBHM，再根據全等三角形的性質得DM=HM，AD=BH=2,根據等腰三角形三線合一的性質可得EH=ED,設BE=x，則EH=ED=2+x，根據勾股定理得AE2=AB2-BE2=ED2-AD2,代入數值解這個方程即可得出BE的長.16.如圖，在邊長為1的小正方形網格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB、CD相交于點O，則tanAOD=_.【答案】2 【解析】 ：連接BE交CF于點G（如圖），四邊形BCEF是邊長為1的正方形，BE=CF= ，BECF，BG=EG=CG=FG= ,又BFAC，BFOACO， ,CO=3FO，FO=OG= CG= ，在RtBGO中，tanBOG= =2,又AOD=BOG,tanAOD=2.故答案為:2.【分析】連接BE交CF于點G（如圖），根據勾股定理得BE=CF= ，再由正方形的性質得BECF，BG=EG=CG=FG= ,又根據相似三角形的判定得BFOACO，由相似三角形的性質得 ,從而得FO=OG= CG= ，在RtBGO中根據正切的定義得tanBOG= =2,根據對頂角相等從而得出答案.17.如圖。在 的正方形方格圖形中，小正方形的頂點稱為格點. 的頂點都在格點上,則 的正弦值是_【答案】【解析】 AB2=32+42=25，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AC2+BC2=AB2 ， ABC為直角三角形，且ACB=90°，則sinBAC= = 故答案為： 【分析】首先根據方格紙的特點，算出AB2，AC2，BC2，然后根據勾股定理的逆定理判斷出ABC為直角三角形，且ACB=90°，根據正弦函數的定義即可得出答案。18.一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF疊合在一起，邊BC與EF重合，BC=EF=12cm（如圖1），點G為邊BC（EF）的中點，邊FD與AB相交于點H，此時線段BH的長是_現將三角板DEF繞點G按順時針方向旋轉（如圖2），在CGF從0°到60°的變化過程中，點H相應移動的路徑長共為_（結果保留根號）【答案】；【解析】 ：如圖如圖1中，作HMBC于M，HNAC于N，則四邊形HMCN是正方形，設邊長為a.在RtABC中,ABC=30，BC=12，AB=8， 在RtBHM中，BH=2HM=2a，    在RtAHN中,AH=a，2a+=8， a=66，BH=2a=1212.如圖2中,當DGAB時,易證GH1DF，BH1的值最小,則BH1=BK+KH1=3+3，HH1=BHBH1=915，當旋轉角為60°時，F與H2重合，易知BH2=6， 觀察圖象可知,在CGF從0°到60°的變化過程中，點H相應移動的路徑長=2HH1+HH2=1830+6(1212)=1218，故答案為：1212,1218.【分析】如圖1中，作HMBC于M，HNAC于N，則四邊形HMCN是正方形，設邊長為a，利用解直角三角形求出AB的長，用含a的代數式分別表示BH、AH的長，再根據AB=AH+BH，就可求出a的值，從而求出BH的值即可；如圖2中,當DGAB時,易證GH1DF，得出此時BH1的值最小，求出BH1的值，再求出BH2的值，然后求值在CGF從0°到60°的變化過程中，點H相應移動的路徑長即可。三、解答題題 19. 先化簡，再求值：（ ）÷ ，其中a=2sin60°tan45° 【答案】解：原式= （a1） = （a1）= 當a=2sin60°tan45°=2× 1= 1時，原式= = 【解析】【分析】將原式括號內通分、將除法轉化為乘法，再計算減法，最后約分即可化簡原式，根據特殊銳角三角函數值求得a的值，代入即可20.為了計算湖中小島上涼亭P到岸邊公路l的距離，某數學興趣小組在公路l上的點A處，測得涼亭P在北偏東60°的方向上；從A處向正東方向行走200米，到達公路l上的點B處，再次測得涼亭P在北偏東45°的方向上，如圖所示求涼亭P到公路l的距離（結果保留整數，參考數據： ， ）【答案】解：依題可得：AB=200米，PAC=60°，PBD=45°，令PG=x米，作PGl，PAG=30°，PBG=45°，PBG為等腰直角三角形，BG=PG=x,在RtPAG中，tan30°= ,即 ，x=100（ +1）273答：涼亭P到公路l的距離是273米 【解析】【分析】令PG=x米，作PGl，根據題意可得PBG為等腰直角三角形，即BG=PG=x,在RtPAG中，根據銳角三角函數正切定義可得tan30°= ,代入數值解方程即可.21.如圖，湛河兩岸AB與EF平行，小亮同學假期在湛河邊A點處，測得對岸河邊C處視線與湛河岸的夾角CAB=37°，沿河岸前行140米到點B處，測得對岸C處的視線與湛河岸夾角CBA=45°.問湛河的寬度約多少米?(參考數據：sin37°0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75)【答案】解：過C作CDAB于點D，設CD=x米在RtBDC中，CDB=90°，CBD=45°，BD=CD=x 在RtADC中，ADC=90°，CAD=37°，AD=  AB=AD+DB=140， ，x=60答：湛河的寬度約60米 【解析】【分析】過C作CDAB于點D，設CD=x米，在RtBDC中，CDB=90°，CBD=45°，根據等腰三角形的性質可得BD=CD=x ，在RtADC中，ADC=90°，CAD=37°，由tanCAD=tan37°=,所以AD=,而由題意得AB=AD+DB=140，所以+ x = 140，解得x=6022.已知:在平面直角坐標系中,點0為坐標原點,點A在x軸的負半軸上,直線 與x軸、y軸分別交于B、C兩點,四邊形ABCD為菱形.（1）如圖1，求點A的坐標； （2）如圖2,連接AC,點P為ACD內一點,連接AP、BP,BP與AC交于點G,且APB=60°,點E在線段AP上,點F在線投BP上,且BF=AE.連接AF、EF,若AFE=30°,求AF +EF 的值; （3）如圖3在(2)的條件下,當PE=AE時,求點P的坐標. 【答案】（1）解：如圖1 :BO= ，CO= 在RBCO中四邊形ABCD為菱形AB=BC=7AO=AB-BO= （2）解：如圖2AO= =BO，COABAC=BC=7AB=AC=BCABC為等邊三角形ACB=60°,APB=60°APB=ACBPAG+APB=AGB=CBG+ACBPAG=CBG連接CE、CFAE=BFACEBCFCE=CFACE=BCFECF=ACF+ACE=ACF+BCF=ACB=60°CEF為等邊三角形CFE=60°EF=FCAFE=30°AFC=AFE+CFE=90°在RtACF中AF2+CF2=AC2=72=49AF2+EF2=49（3）解：如圖由(2)知CEF為等邊三角形CEF=60°EC=EF延長CE、FA交于點HAFE=30°CEF=H+EFHH=CEF-EFH=30°H=EFHEH=EFEC=EH連接CPPE=AECEP=HEACPEHAEPCE=H:CPFHHFP=CPF在BP上截取TB=AP連接TC由(2)知CAP=CBTAC=BC,ACPBCTCP=CTACP=BCTPCT=ACP+ACT=BCT+ACT=ACB=60CPT為等邊三角形CT=PTCPT=CTP=60°CPFHHFP=CPIT=60°APB=60°APB=AFPAP=AFAPF為等邊三角形CFP=AFC-AFP=90°-60°=30°TCF=CTP-TFC=60°-30°=30°TCF=TFCTF=TC=TP連接AT則ATBP設BF=m則AE=PE=mPF=AP=2m.TF=TP=m TB=2m BP=3m在RtAPT中AT= 在RtABT中,AT2+TB2=AB2 m1=- (舍去)m2= BF= ,AT= ,BP=3 , 作PQAB垂足為點Q,作PKOC,垂足為點K,則四邊形PQOK為矩形則OK=PQ=BP·sinPBQ=3 x2=3 【解析】【分析】（1）先求出直線BC與兩坐標軸的交點B、C的坐標，再利用勾股定理求出BC的長，根據菱形的性質得出AB=BC，然后求出AO的長，就可得出點A的坐標。（2）根據點A、B的坐標，可證得ABC是等邊三角形，可得出AC=AB，再證明PAG=CBG，根據已知AE=BF，就可證得ACEBCF，得出CE=CF,ACE=BCF，然后證明AFC=90°，在RtACF中，利用勾股定理就可結果。（3）延長CE、FA交于點，根據等邊三角形的性質及已知條件，先證明EC=EH，連接CP，易證CPEHAE，得出PCE=H，根據平行線的性質，可得出HFP=CPF，在BP上截取TB=AP，連接TC，證明ACPBCT，根據等邊三角形的性質及平行線的性質，去證明TF=TC=TP，連接AT，得出ATBP，設BF=m,AE=PE=m,再根據勾股定理求出m的值，作PQAB，PKOC，可得出四邊形PQOK是矩形，利用解直角三角形求出PQ的長，就可求出BQ、OQ的長，從而可得出點P的坐標。20