2018年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)總動(dòng)員系列 專題26 三角形（含解析）

考點(diǎn)二十六：三角形 聚焦考點(diǎn)溫習(xí)理解一、三角形 1、三角形中的主要線段（1）三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線。（2）在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。（3）從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊做垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡(jiǎn)稱三角形的高）。2、三角形的三邊關(guān)系定理及推論（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。推論：三角形的兩邊之差小于第三邊。（2）三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用：判斷三條已知線段能否組成三角形當(dāng)已知兩邊時(shí)，可確定第三邊的范圍。證明線段不等關(guān)系。3、三角形的內(nèi)角和定理及推論三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°。推論：直角三角形的兩個(gè)銳角互余。三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的來(lái)兩個(gè)內(nèi)角的和。三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。注：在同一個(gè)三角形中：等角對(duì)等邊；等邊對(duì)等角；大角對(duì)大邊；大邊對(duì)大角。二、全等三角形 1、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS”）（2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或“ASA”）（3）邊邊邊定理：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊邊邊”或“SSS”）。直角三角形全等的判定：對(duì)于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r(shí)，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“斜邊、直角邊”或“HL”）2.全等三角形的性質(zhì)：三、等腰三角形1、等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合。推論2：等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°。2、等腰三角形的判定定理及推論：定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊）。這個(gè)判定定理常用于證明同一個(gè)三角形中的邊相等。推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形推論2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。推論3：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。3、三角形中的中位線連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。名師點(diǎn)睛典例分類考點(diǎn)典例一、三角形的性質(zhì)【例1】（2017郴州第8題）小明把一副的直角三角板如圖擺放，其中，則等于 （ ）A B C D【答案】B【解析】試題分析：=1+D，=4+F，+=1+D+4+F=2+D+3+F=2+3+30°+90°=210°，故選B考點(diǎn)：三角形的外角的性質(zhì).【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角的性質(zhì)，利用三角形的外角的性質(zhì)：三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，可解決有關(guān)角的計(jì)算問(wèn)題【例2】（2017貴州遵義第10題）如圖，ABC的面積是12，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G分別是BC，AD，BE，CE的中點(diǎn)，則AFG的面積是（）A4.5B5C5.5D6【答案】A.【解析】試題分析：點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G分別是BC，AD，BE，CE的中點(diǎn)，AD是ABC的中線，BE是ABD的中線，CF是ACD的中線，AF是ABE的中線，AG是ACE的中線，AEF的面積=×ABE的面積=×ABD的面積=×ABC的面積=，同理可得AEG的面積=，BCE的面積=×ABC的面積=6，又FG是BCE的中位線，EFG的面積=×BCE的面積=，AFG的面積是×3=，故選：A考點(diǎn)：三角形中位線定理；三角形的面積【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線定理，中位線是三角形中的一條重要線段，由于它的性質(zhì)與線段的中點(diǎn)及平行線緊密相連，因此，它在幾何圖形的計(jì)算及證明中有著廣泛的應(yīng)用【舉一反三】1.（2017甘肅慶陽(yáng)第6題）將一把直尺與一塊三角板如圖放置，若1=45°，則2為（）A115°B120°C135°D145°【答案】C2.（2017湖南張家界第5題）如圖，D，E分別是ABC的邊AB，AC上的中點(diǎn)，如果ADE的周長(zhǎng)是6，則ABC的周長(zhǎng)是（）A6B12C18D24【答案】B考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理考點(diǎn)典例二、等腰三角形【例3】（2017湖北武漢第10題）如圖，在中，以的一邊為邊畫(huà)等腰三角形，使得它的第三個(gè)頂點(diǎn)在的其他邊上，則可以畫(huà)出的不同的等腰三角形的個(gè)數(shù)最多為（ ）A4 B5 C 6 D7【答案】C【解析】試題解析：以B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)D，BCD就是等腰三角形；以A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)E，ACE就是等腰三角形；以C為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AC于點(diǎn)F，BCF就是等腰三角形；作AC的垂直平分線交AB于點(diǎn)H，ACH就是等腰三角形；作AB的垂直平分線交AC于G，則AGB是等腰三角形；作BC的垂直平分線交AB于I，則BCI是等腰三角形故選C. 考點(diǎn)：等腰三角形.【點(diǎn)睛】本題考查了畫(huà)等腰三角形；對(duì)于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒(méi)有明確哪邊是底哪邊是腰時(shí)，應(yīng)在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論【舉一反三】1. （2017海南第13題）已知ABC的三邊長(zhǎng)分別為4、4、6，在ABC所在平面內(nèi)畫(huà)一條直線，將ABC分割成兩個(gè)三角形，使其中的一個(gè)是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫(huà)（ ）條A3B4C5D6【答案】B.考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì).2.（2016湖南湘西州第14題）一個(gè)等腰三角形一邊長(zhǎng)為4cm，另一邊長(zhǎng)為5cm，那么這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是（）A13cm B14cm C13cm或14cm D以上都不對(duì)【答案】C.【解析】試題分析：分4cm為等腰三角形的腰和5cm為等腰三角形的腰兩種情況：當(dāng)4cm為等腰三角形的腰時(shí)，三角形的三邊分別是4cm，4cm，5cm符合三角形的三邊關(guān)系，周長(zhǎng)為13cm；當(dāng)5cm為等腰三角形的腰時(shí)，三邊分別是，5cm，5cm，4cm，符合三角形的三邊關(guān)系，周長(zhǎng)為14cm，故答案選C.考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系考點(diǎn)典例三、全等三角形【例4】（2017湖南懷化第15題）如圖，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：，使得.【答案】CE=BC本題答案不唯一【解析】試題解析：添加條件是：CE=BC，在ABC與DEC中，ABCDEC故答案為：CE=BC本題答案不唯一點(diǎn)：全等三角形的判定【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定定理，證明三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，還有直角三角形的HL定理【舉一反三】（2017湖南懷化第6題）如圖，點(diǎn)在一條直線上，寫(xiě)出與之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論 【答案】證明見(jiàn)解析：【解析】試題分析：通過(guò)證明CDFABE，即可得出結(jié)論試題解析：CD與AB之間的關(guān)系是：CD=AB，且CDAB證明：CE=BF，CF=BE在CDF和BAE中 CDFBAECD=BA，C=BCDBA考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì).考點(diǎn)典例四、相似三角形【例5】（2017哈爾濱第9題）如圖，在中，分別為邊上的點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則下列結(jié)論中一定正確的是( )A.B.C.D.【答案】C【解析】試題分析：A、DEBC，ADEABC，故A錯(cuò)誤；B、DEBC，故B錯(cuò)誤；C、DEBC，故C正確；D、DEBC，AGEAFC，故D錯(cuò)誤；故選C考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等高的三角形的面積的比等于底邊的比，熟記相似三角形面積的比等于相似比的平方，用BDE的面積表示出ABC的面積是解題的關(guān)鍵【舉一反三】（2017甘肅蘭州第13題）如圖，小明為了測(cè)量一涼亭的高度(頂端到水平地面的距離)，在涼亭的旁邊放置一個(gè)與涼亭臺(tái)階等高的臺(tái)階(米，三點(diǎn)共線)，把一面鏡子水平放置在平臺(tái)上的點(diǎn)處，測(cè)得米，然后沿直線后退到點(diǎn)處，這時(shí)恰好在鏡子里看到?jīng)鐾さ捻敹耍瑴y(cè)得米，小明身高米，則涼亭的高度約為( )A.米B.米C.米D.10米【答案】A.【解析】故選A點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用考點(diǎn)典例五、位似三角形【例6】（2017黑龍江綏化第6題）如圖， 是在點(diǎn)為位似中心經(jīng)過(guò)位似變換得到的，若的面積與的面積比是，則為（ ）A B C D【答案】A【解析】考點(diǎn)：位似變換【點(diǎn)睛】此題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，利用位似圖形的面積比等于位似比的平方得出是解題關(guān)鍵【舉一反三】（2017甘肅蘭州第17題）如圖，四邊形與四邊形相似，位似中心點(diǎn)是，則.【答案】 【解析】試題解析：如圖所示：四邊形ABCD與四邊形EFGH位似，OEFOAB，OFGOBC，考點(diǎn)：位似變換考點(diǎn)典例六：直角三角形【例7】（2017遼寧大連第8題）如圖，在中，垂足為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（ ）A B C. D 【答案】B.考點(diǎn)：直角三角形斜邊上的中線.【點(diǎn)睛】本題可以考查直角三角形的性質(zhì)，觀察圖形根據(jù)條件能夠看出CE是RtABC的斜邊上的中線是解題的關(guān)鍵【例8】（2017甘肅蘭州第3題）如圖，一個(gè)斜坡長(zhǎng)130m，坡頂離水平地面的距離為50m，那么這個(gè)斜坡與水平地面夾角的正切值等于( ) A.B.C.D.【答案】C考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問(wèn)題【點(diǎn)睛】本題可以考查銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用：在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對(duì)邊比邊【舉一反三】1.（2017江蘇無(wú)錫第10題）如圖，ABC中，BAC=90°，AB=3，AC=4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，將ABD沿AD翻折得到AED，連CE，則線段CE的長(zhǎng)等于（）A2BCD 【答案】D【解析】試題解析：如圖連接BE交AD于O，作AHBC于H在RtABC中，AC=4，AB=3，BC=5，CD=DB，AD=DC=DB=，BCAH=ABAC，AH=，AE=AB，DE=DB=DC，AD垂直平分線段BE，BCE是直角三角形，ADBO=BDAH，OB=，BE=2OB=，在RtBCE中，EC= .故選D考點(diǎn)：1.翻折變換（折疊問(wèn)題）；2.直角三角形斜邊上的中線；3.勾股定理2. （2017河池第12題）已知等邊的邊長(zhǎng)為，是上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn).當(dāng)與重合時(shí)，的長(zhǎng)是（）A B C. D【答案】B.【解析】試題分析：設(shè)AD=x，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到A=B=C=60°，由垂直的定義得到ADF=DEB=EFC=90°，解直角三角形即可得到結(jié)論設(shè)AD=x，ABC是等邊三角形，A=B=C=60°，DEAC于點(diǎn)E，EFBC于點(diǎn)F，F(xiàn)GAB，ADF=DEB=EFC=90°，AF=2x，CF=122x，CE=2CF=244x，BE=12CE=4x12，BD=2BE=8x24，AD+BD=AB，x+8x24=12，x=4，AD=4故選B 考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形.課時(shí)作業(yè)能力提升一、選擇題1. （2017甘肅慶陽(yáng)第8題） 已知a，b，c是ABC的三條邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)|a+b-c|-|c-a-b|的結(jié)果為（）A2a+2b-2cB2a+2bC2cD0【答案】D【解析】試題解析：a、b、c為ABC的三條邊長(zhǎng)，a+b-c0，c-a-b0，原式=a+b-c+（c-a-b）=0故選D考點(diǎn)：三角形三邊關(guān)系2. （2017貴州黔東南州第2題）如圖，ACD=120°，B=20°，則A的度數(shù)是（）A120°B90°C100°D30°【答案】C【解析】試題解析：A=ACDB=120°20°=100°，故選：C考點(diǎn)：三角形的外角性質(zhì)3. （2017重慶A卷第8題）若ABCDEF，相似比為3：2，則對(duì)應(yīng)高的比為（）A3：2B3：5C9：4D4：9【答案】A【解析】試題解析：ABCDEF，相似比為3：2，對(duì)應(yīng)高的比為：3：2故選A考點(diǎn)：相似三角形的性質(zhì).4. （2017浙江嘉興第2題）長(zhǎng)度分別為，的三條線段能組成一個(gè)三角形，的值可以是（ ）ABCD 【答案】C.【解析】試題解析：由三角形三邊關(guān)系定理得7-2x7+2，即5x9因此，本題的第三邊應(yīng)滿足5x9，把各項(xiàng)代入不等式符合的即為答案4，5，9都不符合不等式5x9，只有6符合不等式，故選C考點(diǎn)：三角形的三邊關(guān)系.5. （2017湖南株洲第5題）如圖，在ABC中，BAC=x°，B=2x°，C=3x°，則BAD=（）A145°B150°C155°D160°【答案】B.【解析】試題分析：在ABC中，B+C+BAC=180°，BAC=x°，B=2x°，C=3x°，6x=180，x=30，BAD=B+C=5x=150°，故選B考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理6. （2017湖南株洲第10題）如圖示，若ABC內(nèi)一點(diǎn)P滿足PAC=PBA=PCB，則點(diǎn)P為ABC的布洛卡點(diǎn)三角形的布洛卡點(diǎn)（Brocard point）是法國(guó)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克洛爾（ALCrelle 17801855）于1816年首次發(fā)現(xiàn)，但他的發(fā)現(xiàn)并未被當(dāng)時(shí)的人們所注意，1875年，布洛卡點(diǎn)被一個(gè)數(shù)學(xué)愛(ài)好者法國(guó)軍官布洛卡（Brocard 18451922）重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名問(wèn)題：已知在等腰直角三角形DEF中，EDF=90°，若點(diǎn)Q為DEF的布洛卡點(diǎn)，DQ=1，則EQ+FQ=（）A5B4C3+ D2+【答案】D.【解析】試題分析：如圖，在等腰直角三角形DEF中，EDF=90°，DE=DF，1=2=3，1+QEF=3+DFQ=45°，QEF=DFQ，2=3，DQFFQE，DQ=1，F(xiàn)Q=，EQ=2，EQ+FQ=2+，故選D.考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；平行線的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形二、填空題7. （2017湖南常德第14題）如圖，已知RtABE中A=90°，B=60°，BE=10，D是線段AE上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作CD交BE于C，并使得CDE=30°，則CD長(zhǎng)度的取值范圍是 【答案】0CD5考點(diǎn)：含30度角的直角三角形；直角三角形斜邊上的中線8. （2017黑龍江齊齊哈爾第17題）經(jīng)過(guò)三邊都不相等的三角形的一個(gè)頂點(diǎn)的線段把三角形分成兩個(gè)小三角形，如果其中一個(gè)是等腰三角形，另外一個(gè)三角形和原三角形相似，那么把這條線段定義為原三角形的“和諧分割線”如圖，線段是的“和諧分割線”，為等腰三角形，和相似，則的度數(shù)為 【答案】113°或92°【解析】試題分析：BCDBAC，BCD=A=46°，ACD是等腰三角形，ADCBCD，ADCA，即ACCD，當(dāng)AC=AD時(shí)，ACD=ADC=67°，ACB=67°+46°=113°，當(dāng)DA=DC時(shí)，ACD=A=46°，ACB=46°+46°=92°，故答案為113°或92°考點(diǎn)：1.相似三角形的性質(zhì)；2.等腰三角形的性質(zhì)9. （2017黑龍江綏化第20題）在等腰中，交直線于點(diǎn)，若，則的頂角的度數(shù)為 【答案】30°或150°或90°【解析】試題分析：BC為腰，ADBC于點(diǎn)D，AD=BC，ACD=30°，如圖1，AD在ABC內(nèi)部時(shí)，頂角C=30°，如圖2，AD在ABC外部時(shí)，頂角ACB=180°30°=150°，BC為底，如圖3，ADBC于點(diǎn)D，AD=BC，AD=BD=CD，B=BAD，C=CAD，BAD+CAD=×180°=90°，頂角BAC=90°，綜上所述，等腰三角形ABC的頂角度數(shù)為30°或150°或90°考點(diǎn)：1.含30度角的直角三角形；2.等腰三角形的性質(zhì)10. （2017黑龍江綏化第21題）如圖，順次連接腰長(zhǎng)為2 的等腰直角三角形各邊中點(diǎn)得到第1個(gè)小三角形，再順次連接所得的小三角形各邊中點(diǎn)得到第2個(gè)小三角形，如此操作下去，則第個(gè)小三角形的面積為 【答案】【解析】試題分析：記原來(lái)三角形的面積為s，第一個(gè)小三角形的面積為s1，第二個(gè)小三角形的面積為s2，s1= s= s，s2=s=s，s3=s，sn=s=22=.考點(diǎn)：1.三角形中位線定理；2.等腰直角三角形11. （2017湖北咸寧第16題）如圖，在中，斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別在相互垂直的射線上滑動(dòng)，下列結(jié)論：若兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，則；兩點(diǎn)距離的最大值為；若平分，則；斜邊的中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為.其中正確的是 【答案】試題分析：在RtABC中，BC=2，BAC=30°，AB=4，AC= ，若C、O兩點(diǎn)關(guān)于AB對(duì)稱，如圖1，AB是OC的垂直平分線，則OA=AC=2；所以正確；如圖1，取AB的中點(diǎn)為E，連接OE、CE，AOB=ACB=90°，OE=CE=AB=2，當(dāng)OC經(jīng)過(guò)點(diǎn)E時(shí)，OC最大，則C、O兩點(diǎn)距離的最大值為4；所以正確；如圖2，同理取AB的中點(diǎn)E，則OE=CE，AB平分CO，OF=CF，ABOC，所以正確；如圖3，斜邊AB的中點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路徑是：以O(shè)為圓心，以2為半徑的圓周的，則：=所以不正確；綜上所述，本題正確的有：；考點(diǎn)：三角形綜合題三解答題12. （2017四川瀘州第18題）如圖，點(diǎn)A、F、C、D在同一條直線上，已知AF=DC，A=D，BCEF，求證：AB=DE【答案】證明見(jiàn)解析.【解析】試題分析：欲證明AB=DE，只要證明ABCDEF即可試題解析：AF=CD，AC=DF，BCEF，ACB=DFE，在ABC和DEF中，ABCDEF（ASA），AB=DE考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)13. （2017江蘇徐州第25題）如圖，已知，垂足為，將線段繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到線段，連接.（1）線段 ；（2）求線段的長(zhǎng)度.【答案】（1）4；（2）. 【解析】試題分析：（1）證明ACD是等邊三角形，據(jù)此求解；（2）作DEBC于點(diǎn)E，首先在RtCDE中利用三角函數(shù)求得DE和CE的長(zhǎng)，然后在RtBDE中利用勾股定理求解試題解析：（1）AC=AD，CAD=60°，ACD是等邊三角形，DC=AC=4（2）作DEBC于點(diǎn)EACD是等邊三角形，ACD=60°，又ACBC，DCE=ACB-ACD=90°-60°=30°，RtCDE中，DE=DC=2，CE=DCcos30°=4×，BE=BC-CE=3-2=RtBDE中，BD=考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).14. （2017湖南株洲第22題）如圖示，正方形ABCD的頂點(diǎn)A在等腰直角三角形DEF的斜邊EF上，EF與BC相交于點(diǎn)G，連接CF求證：DAEDCF； 求證：ABGCFG【答案】.證明見(jiàn)解析；證明見(jiàn)解析.【解析】試題分析：由正方形ABCD與等腰直角三角形DEF，得到兩對(duì)邊相等，一對(duì)直角相等，利用SAS即可得證；由第一問(wèn)的全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，根據(jù)等量代換得到BAG=BCF，再由對(duì)頂角相等，利用兩對(duì)角相等的三角形相似即可得證試題解析：正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，ADC=EDF=90°，AD=CD，DE=DF，ADE+ADF=ADF+CDF，ADE=CDF，在ADE和CDF中，ADECDF；延長(zhǎng)BA到M，交ED于點(diǎn)M，ADECDF，EAD=FCD，即EAM+MAD=BCD+BCF，MAD=BCD=90°，EAM=BCF，EAM=BAG，BAG=BCF，AGB=CGF，ABGCFG考點(diǎn)：相似三角形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；正方形的性質(zhì)15. （2017湖南常德第26題）如圖，直角ABC中，BAC=90°，D在BC上，連接AD，作BFAD分別交AD于E，AC于F（1）如圖1，若BD=BA，求證：ABEDBE；（2）如圖2，若BD=4DC，取AB的中點(diǎn)G，連接CG交AD于M，求證：GM=2MC；AG2=AFAC【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；證明見(jiàn)解析【解析】試題分析：（1）根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）過(guò)G作GHAD交BC于H，由AG=BG，得到BH=DH，根據(jù)已知條件設(shè)DC=1，BD=4，得到BH=DH=2，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，求得GM=2MC；過(guò)C作CNAD交AD的延長(zhǎng)線于N，則CNAG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，由知GM=2MC，得到2NC=AG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，等量代換得到，于是得到結(jié)論考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；和差倍分16. （2017內(nèi)蒙古呼和浩特第18題）如圖，等腰三角形中，分別是兩腰上的中線（1）求證：；（2）設(shè)與相交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別為線段和的中點(diǎn)當(dāng)?shù)闹匦牡巾旤c(diǎn)的距離與底邊長(zhǎng)相等時(shí)，判斷四邊形的形狀，無(wú)需說(shuō)明理由【答案（1）證明見(jiàn)解析；（2）四邊形DEMN是正方形.【解析】試題分析：（1）根據(jù)已知條件得到AD=AE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到EDBC，ED=BC，MNBC，MN=BC，等量代換得到EDMN，ED=MN，推出四邊形EDNM是平行四邊形，由（1）知BD=CE，求得DM=EN，得到四邊形EDNM是矩形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OB=OC，由三角形的重心的性質(zhì)得到O到BC的距離=BC，根據(jù)直角三角形的判定得到BDCE，于是得到結(jié)論試題解析：（1）由題意得，AB=AC，BD，CE分別是兩腰上的中線，AD=AC，AE=AB，AD=AE，在ABD和ACE中 ，ABDACE（ASA）BD=CE；考點(diǎn)：1.全等三角形的判定與性質(zhì)；2.三角形的重心；3.等腰三角形的性質(zhì)17. （2017上海第21題）如圖，一座鋼結(jié)構(gòu)橋梁的框架是ABC，水平橫梁BC長(zhǎng)18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中點(diǎn)，且ADBC（1）求sinB的值；（2）現(xiàn)需要加裝支架DE、EF，其中點(diǎn)E在AB上，BE=2AE，且EFBC，垂足為點(diǎn)F，求支架DE的長(zhǎng)【答案】（1）sinB= ；（2）DE =5【解析】試題分析：（1）在RtABD中，利用勾股定理求出AB，再根據(jù)sinB=計(jì)算即可；（2）由EFAD，BE=2AE，可得 ,求出EF、DF即可利用勾股定理解決問(wèn)題；考點(diǎn)：1.解直角三角形的應(yīng)用；2.平行線分線段成比例定理.27