2018年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)卷 圖形的相似（含解析）

圖形的相似一、選擇題1.已知 ，下列變形錯誤的是（   ） A.                                B.                                C.                                D. 【答案】B 【解析】 由 得，3a=2b，A. 由 得 ，所以變形正確，故不符合題意；B. 由 得3a=2b，所以變形錯誤，故符合題意；C. 由 可得 ，所以變形正確，故不符合題意；D.3a=2b變形正確，故不符合題意.故答案為：B.【分析】根據(jù)已知比例式可得出3a=2b，再根據(jù)比例的基本性質(zhì)對各選項逐一判斷即可。2.如圖，已知直線abc，直線m分別交直線a、b、c于點A,B,C，直線n分別交直線a、b、c于點D,E,F,若 , ,則 的值應(yīng)該（    ）A. 等于                               B. 大于                               C. 小于                               D. 不能確定【答案】B 【解析】 ：如圖，過點A作ANDF，交BE于點M，交CF于點NabcAD=ME=NF=4（平行線中的平行線段相等）AC=AB+BC=2+4=6設(shè)MB=x，CN=3xBE=x+4，CF=3x+4x0故答案為：B【分析】過點A作ANDF，交BE于點M，交CF于點N，根據(jù)已知及平行線中的平行線段相等，可得出AD=ME=NF=4，再根據(jù)平行線分線段成比例得出BM和CN的關(guān)系，設(shè)MB=x，CN=3x，分別表示出BE、CF，再求出它們的比，利用求差法比較大小，即可求解。3.在平面直角坐標系中，線段AB兩個端點的坐標分別為A（6，8），B（10，2），若以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮短為原來的 后得到線段CD，則點A的對應(yīng)點C的坐標為（   ） A. （5，1）                           B. （4，3）                           C. （3，4）                           D. （1，5）【答案】C 【解析】 ：以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮小為原來的 后得到線段CD，端點C的橫坐標和縱坐標都變?yōu)锳點的橫坐標和縱坐標的一半，又A（6，8），端點C的坐標為（3，4）故答案為：C【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，位似圖形上一個點的坐標等于原圖形上對應(yīng)點的橫縱坐標分別乘以位似比，或位似比的相反數(shù)。4.如圖，在ABC中，點D在AB邊上，DEBC，與邊AC交于點E，連結(jié)BE，記ADE，BCE的面積分別為S1 ， S2 ， （    ）A. 若 ，則                              B. 若 ，則 C. 若 ，則                              D. 若 ，則 【答案】D 【解析】 :如圖，過點D作DFAC于點F，過點B作BMAC于點MDFBM，設(shè)DF=h1 ， BM=h2 DEBC 若 設(shè) =k0.5（0k0.5）AE=ACk，CE=AC-AE=AC（1-k)，h1=h2kS1= AEh1= ACkh1 ， S2= CEh2= AC（1-k）h23S1= k2ACh2 ， 2S2=（1-K）ACh20k0.5 k2（1-K）3S12S2故答案為：D【分析】過點D作DFAC于點F，過點B作BMAC于點M，可得出DFBM，設(shè)DF=h1 ， BM=h2 ， 再根據(jù)DEBC，可證得 ，若 ，設(shè) =k0.5（0k0.5），再分別求出3S1和2S2 ， 根據(jù)k的取值范圍，即可得出答案。5.如圖,在ABC中,點D在BC邊上,連接AD,點G在線段AD上,GEBD,且交AB于點E,GFAC,且交CD于點F,則下列結(jié)論一定正確的是(    ).A.                       B.                       C.                       D. 【答案】D 【解析】 ：GEBD, ,因此A不符合題意；GEBD, GFAC ，,因此B、C不符合題意；由得; ,因此D符合題意；故答案為：D【分析】抓住已知條件：GEBD，GFAC，利用平行線分線段成比例，及中間比代換，對各選項逐一判斷即可求解。6.如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是邊AD上一點，且AE=2ED，EC交對角線BD于點F，則 等于（   ）A.                                           B.                                           C.                                           D. 【答案】A 【解析】 ：四邊形ABCD為平行四邊形，EDBC，BC=AD，DEFBCF， = ，設(shè)ED=k，則AE=2k，BC=3k， = = 故答案為：A【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得EDBC，BC=AD，根據(jù)相似三角形的判定可得DEFBCF，則可得比例式,設(shè)ED=k，則根據(jù)題意可得AE=2k，BC=3k，所以.7.已知 與 相似，且相似比為 ，則 與 的面積比（  ） A.                                       B.                                       C.                                       D. 【答案】D 【解析】 與 相似，且相似比為 與 的面積比為：1:9故答案為：D【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可解答。8.如圖，已知矩形ABCD中，AB2，在BC上取一點E，沿AE將ABE向上折疊，使B點落在AD上的F點處，若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD（   ）A.                                      B. 1                                     C. 4                                     D. 2 【答案】B 【解析】   ：設(shè)AD=x，根據(jù)折疊的性質(zhì)的得出AB=AF=2，故DF=x-2, 四邊形ABCD是矩形，DC=AB=2,又四邊形EFDC與矩形ABCD相似，DCAD=FDDC,DC2=AD·FD ,即22=x(x-2)，解得  ：x1=  ,x2=（舍去）。故答案為  ：【分析】設(shè)AD=x，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出AB=AF=2，故DF=x-2,根據(jù)矩形的對邊相等得出DC=AB=2，根據(jù)相似多邊形的對應(yīng)邊成比例得出關(guān)于x的方程，求解得出答案。9.要制作兩個形狀相同的三角形框架,其中一個三角形的三邊長分別為 ， 和 ，另一個三角形的最短邊長為2.5 cm，則它的最長邊為（    ） A. 3cm                                    B. 4cm                                    C. 4.5cm                                    D. 5cm【答案】C 【解析】 設(shè)另一個三角形的最長邊為xcm，由題意得5：2.5=9：x，解得：x=4.5，故答案為：C.【分析】要制作兩個形狀相同的三角形框架，其實質(zhì)就是做兩個相似的三角形框架，設(shè)另一個三角形的最長邊為xcm，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出關(guān)于x的方程，求解即可得出答案。10. 如圖，四邊形ABCD是邊長為6的正方形，點E在邊AB上，BE4，過點E作EFBC，分別交BD、CD于G、F兩點若M、N分別是DG、CE的中點，則MN的長為   （       ）A. 3                                        B.                                         C.                                         D. 4【答案】C 【解析】 ：取DF、CF中點K、H,連接MK、NH、CM，作MONH（如下圖）. 四邊形ABCD是邊長為6的正方形，BE=4.AE=DF=2,CF=BE=4.DGFBGE=.GF=2,EF=4.又M、N、K、H、都是中點，MK=GF=1,NH=EF=3.KF=DF=1,FH=CF=2,MK=OH=1.KH=MO=3NO=2.在RtMON中，MN= = .故答案為C.【分析】取DF、CF中點K、H,連接MK、NH、CM，作MONH（如上圖）；由正方形ABCD是邊長和BE的長可以得出AE=DF=2,CF=BE=4；再由題得到DGFBGE，利用相似三角形的性質(zhì)可以求出.GF=2,EF=4；再根據(jù)三角形中位線可以得出MO=3，NO=2；利用勾股定理即可得出答案.11.如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，點E為邊CD的中點，若菱形ABCD的周長為16，BAD60°,則OCE的面積是（   ）。A.                                          B. 2                                         C.                                          D. 4【答案】A 解析 ：菱形ABCD的周長為16，菱形ABCD的邊長為4，BAD60°,ABD是等邊三角形，又O是菱形對角線AC、BD的交點，ACBD，在RtAOD中，AO= ，AC=2A0=4 ，SACD= ·OD·AC= ×2×4 =4 ，又O、E分別是中點，OEAD，COECAD， , ,SCOE= SCAD= ×4 = .故答案為：A.【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得菱形邊長為4，ACBD，由一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形得ABD是等邊三角形；在RtAOD中，根據(jù)勾股定理得AO= ，AC=2A0=4 ，根據(jù)三角形面積公式得SACD= ·OD·AC=4 ，根據(jù)中位線定理得OEAD，由相似三角形性質(zhì)得 ,從而求出OCE的面積.二、填空題 12.矩形ABCD中，AB=6，BC=8.點P在矩形ABCD的內(nèi)部，點E在邊BC上，滿足PBEDBC，若APD是等腰三角形，則PE的長為數(shù)_. 【答案】3或1.2 【解析】 四邊形ABCD是矩形，BAD=C=90°，CD=AB=6，BD=10，PBEDBC，PBE=DBC，點P在BD上， 如圖1，當(dāng)DP=DA=8時，BP=2，PBEDBC，PE：CD=PB：DB=2：10，PE：6=2：10，PE=1.2；如圖2，當(dāng)AP=DP時，此時P為BD中點，PBEDBC，PE：CD=PB：DB=1：2，PE：6=1：2，PE=3；綜上，PE的長為1.2或3，故答案為：1.2或3.【分析】 根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得出BAD=C=90°，利用勾股定理求出BD的長，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得出PBE=DBC，得出點P在BD上，然后分情況討論：當(dāng)DP=DA=8時，BP=2；當(dāng)AP=DP時，此時P為BD中點，利用相似三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊成比例，就可求出PE的長。13.在RtABC中C=90°，AD平分CAB,BE平分CBA,AD、BE相交于點F，且AF=4,EF= ,則AC=_【答案】【解析】 ：作EGAF，連接CF，C=90°，CAB+CBA=90°，又AD平分CAB,BE平分CBA,FAB+FBA=45°，AFE=45°，在RtEGF中，EF= ,AFE=45°，EG=FG=1，又AF=4,AG=3,AE= ，AD平分CAB,BE平分CBA,CF平分ACB,ACF=45°，AFE=ACF=45°，F(xiàn)AE=CAF，AEFAFC， ,即 ,AC= .故答案為： .【分析】作EGAF，連接CF，根據(jù)三角形內(nèi)角和和角平分線定義得FAB+FBA=45°，再由三角形外角性質(zhì)得AFE=45°，在RtEGF中，根據(jù)勾股定理得EG=FG=1，結(jié)合已知條件得AG=3,在RtAEG中，根據(jù)勾股定理得AE= ；由已知得F是三角形角平分線的交點，所以CF平分ACB,ACF=45°，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得 ,從而求出AC的長.14.如圖，ABC中，點D、E分別在AB、AC上，DEBC，AD：DB1：2，則ADE與ABC的面積的比為_【答案】1:9 【解析】 【解答】解：AD：DB1：2，AD：AB=AD：（AD+DB）=1:3，DE/BC，ADEABC， ，則  故答案為：1:9.【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，面積比等于相似比的平方；由平行可得ADEABC，而且相似比AD：AB=AD：（AD+DB）=1:3.15.如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，點E、F分別在BC、CD上，若AE= ，EAF=45°，則AF的長為_【答案】【解析】 ：取AB的中點M，連接ME，在AD上截取ND=DF，設(shè)DF=DN=x，四邊形ABCD是矩形，D=BAD=B=90°，AD=BC=4，NF= x，AN=4x，AB=2，AM=BM=1，AE= ，AB=2，BE=1，ME= ，EAF=45°，MAE+NAF=45°，MAE+AEM=45°，MEA=NAF，AMEFNA， ， ，解得：x= AF= 故答案為： 【分析】取AB的中點M，連接ME，在AD上截取ND=DF，設(shè)DF=DN=x，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出D=BAD=B=90°，AD=BC=4，根據(jù)等腰直角三角形邊之間的關(guān)系得出NF= x，AN=4x，根據(jù)中點定義得出AM=BM=1，根據(jù)勾股定理得出BE=1，ME=， 然后判斷出AMEFNA，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出AM FN=MEAN，從而得出關(guān)于x的方程，求解得出x的值，根據(jù)勾股定理得出AF的長。16.如圖，E、F、G、H分別為矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點，連接AC、HE、EC、GA、GF，已知AGGF，AC ，則AB的長為_【答案】2 【解析】 ：設(shè)AB=CD=2x，則AE=BE=CG=DG=x，AD2=BC2=AC2-CD2=6-4x2 ， AGGF，AGD+CGF=90°，在矩形ABCD中，D=FCG=90°，AGD+DAG=90°，CGF=DAG，ADGGCF， ，即DG·CG=AD·CF，DG=CG=x，CF= AD， ,解得x1=1,x2=-1（舍去），則AB=2x=2故答案為：2.【分析】由AGGF，及D=FCG=90°，可證明ADGGCF，則 ，而CG=DG，CF= AD，則CG2= ，只需要得到另一個CG與AD的數(shù)量關(guān)系：由AC 和勾股定理可知AD2=BC2=AC2-CD2=6-(2CG)2 ， 構(gòu)造方程即可解答.17.如圖，在RtABC中，BAC=90°，AB=15，AC= 20，點D在邊AC上，AD=5，DEBC于點E，連結(jié)AE，則ABE的面積等于_【答案】78 【解析】 :在RtABC中，BAC=90°，AB=15，AC= 20，BC=25ABC的面積=ABAC=×15×20=150CD=AC-AD=20-5-15DEBC，DEC=BAC=90°C=CCDECBA即CE:20=15：25解之：CE=12BE=BC-CE=13SABE：SABC=BE:BC=13：25SABE：150=13：25解之：SABE=78故答案為：78【分析】根據(jù)題意，利用勾股定理求出BC的長，就可求出ABC的面積，再證明CDECBA，利用相似三角形的性質(zhì)，得出對應(yīng)邊成比例，求出CE的長，從而求出BE的長，然后根據(jù)SABE：SABC=BE:BC，建立方程，求出ABE的面積即可。18.如圖，四邊形ABCD為菱形，E為對角線BD延長線上一點，BD4，DE1，BAE45°，則AB長為 _【答案】【解析】 ：連接AO交BD于O，作BMAE于M，交AC于NBAE=45°，BMA=90°，MAB=MBA=45°，AM=BM，四邊形ABCD是菱形，ACBD，AOE=90°，設(shè)AM=BM=b，ME=a，E=E，AOE=BME=90°，AOEBME， = ， = ，a2+ab=15     又a2+b2=25    ×5×3得到：2a2+5ab3b2=0，（a+3b）（2ab）=0，b=2a代入得到a= ，b=2 ，AB= AM=2 故答案為2 【分析】連接AO交BD于O，作BMAE于M，交AC于N根據(jù)三角形的內(nèi)角和判斷出MAB=MBA=45°，根據(jù)等邊對等角得出AM=BM，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出ACBD，AOE=90°，設(shè)AM=BM=b，ME=a，然后判斷出AOEBME，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出 O E E M = A E B E，從而得出關(guān)于a,b的方程，a2+ab=15     ，根據(jù)勾股定理得出a2+b2=25    ，×5×3得到：2a2+5ab3b2=0，求解得出，a,b的值，根據(jù)等腰直角三角形邊之間的關(guān)系由AB= AM得出答案。19.邊長為2的正方形ABCD中E是AB的中點,P在射線DC上從D出發(fā)以每秒1個單位長度的速度運動,過P做PFDE,當(dāng)運動時間為_秒時，以點P、F、E為頂點的三角形與AED相似【答案】1或 【解析】 四邊形ABCD是正方形，PFDE，A=DFP=ADC=90°，ADE+EDP=EDP+DPF=90°，ADE=FPD，ADEFPD.（ 1 ）如圖1，當(dāng)DPE=90°時，易得FPDFEP，則ADEFEP，此時四邊形AEPD是矩形，DP=AE=1，t=1，即當(dāng)t=1時，ADEFEP；（ 2 ）如圖2，當(dāng)DP=EP時，易得FPEFPD，則FEPADE，此時四邊形AEHD是矩形，DH=AE=1，HP=x-1，HE=AD=2，PE2=HE2+HP2=PD2 ， ，解得： ；綜上所述，當(dāng) 或 時，以點P、F、E為頂點的三角形與AED相似.故答案為：1或 .【分析】由題意知，不論點P運動到何處，易證得ADEFPD，所以只需FEP與三角形FPD相似或全等即可。由題意可分兩種情況：（1）當(dāng)DPE=90°時，易得ADEFEP，可得比例式求解；（2）當(dāng)DP=EP時，易得FPEFPD，則FEPADE，于是可得比例式求解。三、解答題 20.如圖，點D在ABC的邊AB上，ACD=B，AD=6cm，DB=8cm，求：AC的長【答案】解：ACD=B，A=A，ADCACB， = ，即 = ，解得，AC=2 【解析】【分析】ACD=B，而A是公共角，所以根據(jù)有兩個角相等的兩個三角形相似可得ADCACB，所以可得比例式,即,解得AC=2.21.如圖，ABC中，點D在邊AB上，滿足ACD=ABC，若AC= ，AD=1，求DB的長【答案】解：ACD=ABC，又A=A，ABCACD ， ，AC= ，AD=1， ，AB=3，BD= ABAD=31=2 【解析】【分析】根據(jù)已知條件易證得ABCACD ，由相似三角形的性質(zhì)可得比例式,將已知的線段代入即可求解。22.如圖，在正方形ABCD中，點G在邊BC上（不與點B，C重合），連接AG，作DEAG，于點E，BFAG于點F，設(shè) 。（1）求證：AE=BF； （2）連接BE，DF，設(shè)EDF= ，EBF= 求證： （3）設(shè)線段AG與對角線BD交于點H，AHD和四邊形CDHG的面積分別為S1和S2 ， 求 的最大值 【答案】（1）因為四邊形ABCD是正方形，所以BAF+EAD=90°，又因為DEAG，所以EAD+ADE=90°，所以ADE=BAF，又因為BFAG，所以DEA=AFB=90°，又因為AD=AB所以RtDAERtABF，所以AE=BF（2）易知RtBFGRtDEA，所以 在RtDEF和RtBEF中，tan= ，tan= 所以ktan= = = = =tan所以 （3）設(shè)正方形ABCD的邊長為1，則BG=k，所以ABG的面積等于 k因為ABD的面積等于 又因為 =k，所以S1= 所以S2=1- k- = 所以 =-k2+k+1= 因為0k1，所以當(dāng)k= ，即點G為BC中點時， 有最大值 【解析】【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)及垂直的定義，可證得ADE=BAF，ADE=BAF及AD=AB，利用全等三角形的判定，可證得RtDAERtABF，從而可證得結(jié)論。（2）根據(jù)已知易證RtBFGRtDEA，得出對應(yīng)邊成比例，再在RtDEF和RtBEF中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，分別表示出tan、tan，從而可推出tan=tan。（3）設(shè)正方形ABCD的邊長為1，則BG=k，分別表示出ABG、ABD的面積，再根據(jù) =k,求出S1及S2 ， 再求出S1與S2之比與k的函數(shù)解析式，求出頂點坐標，然后根據(jù)k的取值范圍，即可求解。23.如圖，以 的直角邊 為直徑作 交斜邊 于點 ，過圓心 作 ，交 于點 ，連接 .（1）判斷 與 的位置關(guān)系并說明理由； （2）求證： ； （3）若 ， ，求 的長. 【答案】（1）解：DE是圓O的切線證明：連接ODOEAC1=3，2=AOA=OD1=A2=3在BOE和DOE中OE=OD，2=3，OE=OEBOEDOE（SAS）ODE=OBE=90°ODDEDE是圓O的切線（2）解：證明：連接BDAB是直徑BDC=ADB=ABC=90°OEAC，O是AB的中點OE是ABC的中位線AC=2OEBDC=ABC，C=CABCBDC BC2=2CDOEBC=2DE，（2DE）2=2CDOE （3）解： 設(shè)：BD=4x，CD=3x在BDC中，    ，BC=2DE=5（4x）2+（3x）2=25解之：x=1，x=-1（舍去）BD=4ABD=CAD=BDtanABD= 【解析】【分析】（1）連接OD，根據(jù)平行線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)證明2=3，再證明BOEDOE，可證出ODDE，即可得證。（2）連接BD，證明OE是ABC的中位線，得出AC=2OE，再證明ABCBDC，得出BC2=ACCD，結(jié)合BC=2DE，AC=2OE，即可求證結(jié)論。（3）根據(jù)三角函數(shù)的定義，BD=4x，CD=3x，先求出BC的長，再根據(jù)勾股定理求出x的值，就可得出BD的長，再根據(jù)ABD=C，利用銳角三角函數(shù)的定義得出AD=BDtanABD，即可解答。24.如果三角形的兩個內(nèi)角 與 滿足 90°，那么我們稱這樣的三角形為“準互余三角形”（1）若ABC是“準互余三角形”，C90°，A60°，則B_°； （2）如圖，在RtABC中，ACB90°，AC4，BC5，若AD是BAC的平分線，不難證明ABD是“準互余三角形”試問在邊BC上是否存在點E（異于點D），使得ABE也是“準互余三角形”？若存在，請求出BE的長；若不存在，請說明理由 （3）如圖，在四邊形ABCD中，AB7，CD12，BDCD，ABD2BCD，且ABC是“準互余三角形”求對角線AC的長 【答案】（1）15°（2）解：存在，如圖，連結(jié)AE，在RtABC中，B+BAC=90°，AD是BAC的平分線，BAC=2BAD，B+2BAD=90°，ABD是“準互余三角形”，又ABE也是“準互余三角形”，B+2BAE=90°，B+BAE+EAC=90°，EAC=B,又C=C,CAECBA， ,即CA2=CB·CE，AC4，BC5，CE= .BE=BC-CE=5- = .（3）解：如圖，將BCD沿BC翻折得到BCF,CD12，CF=CD=12，BCF=BCD,CBD=CBF,又BDCD，ABD=2BCD，CBD+BCD=90°，2CBD+2BCD=180°，即ABD+CBD+CBF=180°，A、B、F三點共線，在RtAFC中，CAB+ACF=90°，即CAB+ACB+BCF=90°，CAB+2ACB90°，ABC是“準互余三角形”,2CAB+ACB=90°，CAB=BCF，F(xiàn)=F,FCBFAC， ,即FC2=FA·FB,設(shè)BF=x，AB=7,FA=x+7,x（x+7）=122,解得：x1=9，x2=-16（舍去）AF=7+9=16.在RtAFC中，AC= = =20. 【解析】 （1）解：ABC是“準互余三角形”，C90°，A60°，2B+A=90°，2B+60°=90°，B=15°.故答案為：15°【分析】（1）根據(jù)“準互余三角形”，的定義，結(jié)合題意得2B+A=90°，代入數(shù)值即可求出B度數(shù).（2）存在，根據(jù)直角三角形兩內(nèi)角互余和角平分線定義得B+2BAD=90°，根據(jù)“準互余三角形”，定義即可得ABD是“準互余三角形”；根據(jù)ABE是“準互余三角形”，以及直角三角形兩內(nèi)角互余可得EAC=B,根據(jù)相似三角形判定“AA”可得CAECBA，再由相似三角形性質(zhì)得 ,由此求出CE= .從而得BE長.（3）如圖，將BCD沿BC翻折得到BCF,根據(jù)翻折性質(zhì)、直角三角形性質(zhì)、“準互余三角形”定義可得到FCBFAC，再由相似三角形性質(zhì)可得 ,設(shè)BF=x，代入數(shù)值即可求出x值，從而求出AF值，在RtAFC中，根據(jù)勾股定理即可求得AC長.23