高考數(shù)學(xué)大二輪刷題首選卷理數(shù)文檔：第一部分 考點(diǎn)八 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 Word版含解析

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1、 考點(diǎn)八　導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 一、選擇題 1．求曲線y＝x2與直線y＝x所圍成的封閉圖形的面積，其中正確的是(　　) A．S＝(x2－x)dx B．S＝(x－x2)dx C．S＝(y2－y)dy D．S＝(y－)dy 答案　B 解析　依題意，在同一坐標(biāo)系下畫出曲線y＝x2與直線y＝x的圖象(圖略)，注意到它們的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,0)與(1,1)，結(jié)合圖形及定積分的幾何意義可知，相應(yīng)的圖形的面積可用定積分表示為(x－x2)dx，選B. 2．已知函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x) 的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(　　) A．

2、1 B．2 C．3 D．4 答案　A 解析　如圖，在區(qū)間(a，b)內(nèi)，f′(c)＝0，且在點(diǎn)x＝c附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，所以函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有1個(gè)極小值點(diǎn)，故選A. 3．(2019·天津南開(kāi)區(qū)模擬)過(guò)函數(shù)f(x)＝x3－x2圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)作圖象的切線，則切線傾斜角的范圍是(　　) A． B．∪ C． D． 答案　B 解析　因?yàn)閒′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以斜率k＝tanα≥－1，解得傾斜角α∈∪. 4．函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋2在區(qū)間[－1,1]上的最大值是(　　) A．－2 B．0 C．2 D．4

3、 答案　C 解析　f′(x)＝3x2－6x.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2(舍去)．因?yàn)閒(－1)＝－2，f(0)＝2，f(1)＝0，所以f(x)max＝f(0)＝2.故選C. 5．已知偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝ln (－3x＋1)＋e－x，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線斜率為(　　) A．＋e B．＋e C．＋e D．＋e 答案　C 解析　由題意得，偶函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，∴f′(1)＝－f′(－1)，當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)＝－e－x，∴f′(－1)＝－－e，則f′(1)＝＋e，故選C. 6．(2019·遼寧丹東質(zhì)量測(cè)試

4、二)若x＝1是函數(shù)f(x)＝x3＋(a＋1)x2－(a2＋a－3)x的極值點(diǎn)，則a的值為(　　) A．－2 B．3 C．－2或3 D．－3或2 答案　B 解析　∵f′(x)＝x2＋2(a＋1)x－(a2＋a－3)，又f′(1)＝0，∴1＋2(a＋1)－(a2＋a－3)＝0，即a＝3或a＝－2，當(dāng)a＝3時(shí)，f′(x)＝x2＋8x－9＝(x＋9)(x－1)，顯然x＝1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)；當(dāng)a＝－2時(shí)，f′(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，∴函數(shù)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，沒(méi)有極值，不符合題意，舍去，故選B. 7．已知函數(shù)f(x)＝x3－ax在(－1,1)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范

5、圍是(　　) A．(1，＋∞) B．[3，＋∞) C．(－∞，1] D．(－∞，3] 答案　B 解析　∵f(x)＝x3－ax，∴f′(x)＝3x2－a.又f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減，∴3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，∴a≥3，故選B. 8．(2019·黑龍江哈爾濱六中二模)牛頓迭代法亦稱切線法，它是求函數(shù)零點(diǎn)近似解的另一種方法，若定義xk(k∈N)是函數(shù)零點(diǎn)近似解的初始值，過(guò)點(diǎn)Pk(xk，f(xk))的切線為y＝f′(xk)(x－xk)＋f(xk)，切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)xk＋1，即為函數(shù)零點(diǎn)近似解的下一個(gè)初始值，以此類推，滿足精度的初始值即為函數(shù)零點(diǎn)的近似解，設(shè)函數(shù)f(

6、x)＝x2－2，滿足x0＝2應(yīng)用上述方法，則x3＝(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　因?yàn)閒′(x)＝2x，x0＝2，y0＝2，切線斜率k0＝4，切線方程y－2＝4(x－2)，令y＝0，得x1＝；x1＝，y1＝，切線斜率k1＝3，切線方程為y－＝3，令y＝0，得x2＝；x2＝，y2＝，切線斜率k2＝，切線方程為y－＝，令y＝0，得x3＝，故選D. 二、填空題 9．函數(shù)f(x)＝ln x－x2－x＋5的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)_______． 答案　 解析　函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，再由f′(x)＝－x－1>0可解得0

7、ax的圖象在點(diǎn)(0，f(0))處的切線與曲線y＝－ln x相切，則a＝________. 答案?。? 解析　因?yàn)閒′(x)＝ex＋a，所以f′(0)＝1＋a，又f(0)＝1，所以切線方程為y＝(1＋a)x＋1，又y＝－ln x的導(dǎo)函數(shù)y′＝－，令切點(diǎn)坐標(biāo)為(t，－ln t)，則－＝1＋a＝，解得t＝1，a＝－2. 11．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若f(x)dx＝3f(x0)，x0>0，則x0＝________. 答案　 解析　依題意得＝3(ax＋b)，即3ax＝9a(a≠0)，x＝3(x0>0)，由此解得x0＝. 12．若函數(shù)f(x)＝x3＋mx2＋x＋6在R上有極值，

8、則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 答案　m>4或m<－1 解析　由題意可知，f′(x)＝0有不等根，即方程3x2＋2mx＋m＋＝0有不等根，所以Δ>0，即4m2－12>0，解得m>4或m<－1. 三、解答題 13．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值4. (1)求實(shí)數(shù)a，b的值； (2)當(dāng)a>0時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(－2，f(－2))處的切線方程． 解　(1)∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2， ∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b. ∵f(1)＝1＋a＋b＋a2＝4，f′(1)＝3＋2a＋b＝0， ∴或 經(jīng)檢驗(yàn)都符合題意． (2)當(dāng)a>

9、0時(shí)，由(1)得f(x)＝x3＋3x2－9x＋9， ∴f′(x)＝3x2＋6x－9. f(－2)＝31，f′(－2)＝－9. ∴所求的切線方程為y－31＝－9(x＋2)， 即9x＋y－13＝0. 14．已知函數(shù)f(x)＝ln x，g(x)＝－(a為實(shí)常數(shù))． (1)當(dāng)a＝1時(shí)，求函數(shù)φ(x)＝f(x)－g(x)在x∈[4，＋∞)上的最小值； (2)若方程e2f(x)＝g(x)(其中e＝2.71828…)在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　(1)當(dāng)a＝1時(shí)，函數(shù)φ(x)＝f(x)－g(x)＝ln x－＋，∴φ′(x)＝－＝. ∵x∈[4，＋∞)，∴φ′(x)>0. ∴函數(shù)

10、φ(x)＝f(x)－g(x)在x∈[4，＋∞)上單調(diào)遞增， ∴當(dāng)x＝4時(shí)，φ(x)min＝2ln 2－. (2)方程e2f(x)＝g(x)可化為x2＝－. ∴a＝x－x3. 設(shè)y＝x－x3，則y′＝－3x2. ∵x∈， ∴函數(shù)y＝x－x3在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． ∵x＝時(shí)，y＝；x＝時(shí)，y＝；x＝1時(shí)，y＝， ∴y∈，∴a∈. 一、選擇題 1．已知函數(shù)f(x)＝x·2x，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．當(dāng)x＝時(shí)，f(x)取最大值 B．當(dāng)x＝時(shí)，f(x)取最小值 C．當(dāng)x＝－時(shí)，f(x)取最大值 D．當(dāng)x＝－時(shí)，f(x)取最小值 答案　D 解析　由題意知，

11、f′(x)＝2x＋x·2xln 2，令f′(x)＝0，得x＝－，又當(dāng)x<－時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x>－時(shí)，f′(x)>0.∴當(dāng)x＝－時(shí)，f(x)取最小值． 2．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m為常數(shù))在[－2,2]上有最大值為3，那么此函數(shù)在[－2,2]上的最小值為(　　) A．0 B．－5 C．－10 D．－37 答案　D 解析　由題意知，f′(x)＝6x2－12x，由f′(x)＝0得x＝0或x＝2，當(dāng)x<0或x>2時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)0

12、)＝－37，∴最小值為－37. 3．(2019·晉冀魯豫中原名校第三次聯(lián)考)若函數(shù)f(x)＝2x3－3ax2＋1在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(0,1) D．(1,2) 答案　B 解析　f′(x)＝6x2－6ax＝6x(x－a)．①當(dāng)a≤0時(shí)，若x∈(0，＋∞)，則f′(x)>0，此時(shí)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，a)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(a，＋∞)上單調(diào)遞增，因?yàn)閒(0)＝1>0，若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，有f(a)＝2a3－

13、3a3＋1＝1－a3<0，得a>1，故選B. 4．(2019·江西吉安一模)過(guò)點(diǎn)P(1,1)且與曲線y＝x3相切的直線的條數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　若直線與曲線切于點(diǎn)(x0，y0)(x0≠0)，則k＝＝＝x＋x0＋1，又∵y′＝3x2，∴k＝3x，∴2x－x0－1＝0，解得x0＝1或x0＝－，∴過(guò)點(diǎn)P(1，1)與曲線C：y＝x3相切的直線方程為3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0，故選C. 5．設(shè)f(x)＝(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則f(x)dx＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案　D 解析　依題意得，f(x)dx＝x2dx＋dx＝

14、x3＋ln x＝＋1＝. 6．曲線y＝ln (2x－1)上的點(diǎn)到直線2x－y＋8＝0的最短距離是(　　) A．2 B．2 C．2 D． 答案　A 解析　當(dāng)y′＝＝2時(shí)，x＝1，則點(diǎn)(1,0)到直線2x－y＋8＝0的距離是曲線y＝ln (2x－1)上的點(diǎn)到直線2x－y＋8＝0的最短距離，即最短距離為＝2，故選A. 7．(2019·廣東揭陽(yáng)二模)以下四個(gè)數(shù)中，最大的是(　　) A．ln B． C． D． 答案　B 解析　由題意，令f(x)＝，則f′(x)＝，∴x>e時(shí)，f′(x)<0，∴f(x)在(e，＋∞)上單調(diào)遞減，又由e<3<π<，∴f(e)>f(3)>f(π)>f()

15、，則ln e>ln 3>ln π>ln ()， ∴>ln >>ln 15，故選B. 8．(2019·江西景德鎮(zhèn)二檢)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意x∈(0，＋∞)，都有f′(x)f(－b)－f(－a)，則下列關(guān)系式中正確的是(　　) A．a(chǎn)>b B．a(chǎn)b2 D．a(chǎn)2

16、(x)，所以g(x)為偶函數(shù)，因?yàn)閒(a)－f(b)>f(－b)－f(－a)?f(a)＋f(－a)>f(b)＋f(－b)?g(a)>g(b)，所以|a|<|b|，即a2

17、1對(duì)x∈R恒成立，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為_(kāi)_______． 答案　10x＋4y－5＝0 解析　∵f(x)＋3f(－x)＝x3＋2x＋1，　① ∴f(－x)＋3f(x)＝－x3－2x＋1，?、? 聯(lián)立①②，得f(x)＝－x3－x＋，則 f′(x)＝－x2－1，∴f′(1)＝－－1＝－， 又f(1)＝－－1＋＝－， ∴切線方程為y＋＝－(x－1)，即10x＋4y－5＝0. 11．要做一個(gè)圓錐形的漏斗，其母線長(zhǎng)為20 cm.要使體積最大，則高為_(kāi)_______ cm. 答案　 解析　設(shè)高為h cm，則底面半徑r＝(cm)，所以體積V＝r2h＝h(400