工程力學：第12章 彎曲變形

1彎彎 曲曲 變變 形形第第 12 12 章章目錄2第第1212章章 彎曲變形彎曲變形引言引言撓曲軸近似微分方程撓曲軸近似微分方程計算梁位移的積分法計算梁位移的積分法計算梁位移的疊加法計算梁位移的疊加法梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計簡單靜不定梁簡單靜不定梁目錄目錄目錄3引引 言言7-1目錄4目錄引引 言言5目錄引引 言言6撓曲軸近似微分方程撓曲軸近似微分方程1.1.基本概念基本概念撓曲線方程：撓曲線方程：)(xww 由于小變形，截面形心在由于小變形，截面形心在x x方向的位移忽略不計方向的位移忽略不計撓度轉(zhuǎn)角關(guān)系為：撓度轉(zhuǎn)角關(guān)系為：dxdwtan撓曲線撓曲線yxxw撓度撓度轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角撓度撓度w w：截面形心：截面形心在在y y方向的位移方向的位移w向上為正向上為正轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角：截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。：截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。逆鐘向為正逆鐘向為正7-2目錄72.2.撓曲線的近似微分方程撓曲線的近似微分方程推導彎曲正應(yīng)力時，得到：推導彎曲正應(yīng)力時，得到：z zEIEIM M1 1忽略剪力對變形的影響忽略剪力對變形的影響zEIxMx)()(1 目錄撓曲軸近似微分方程撓曲軸近似微分方程8由數(shù)學知識可知：由數(shù)學知識可知：3222)(1 1dxdydxyd 略去高階小量，得略去高階小量，得221dxyd 所以所以zEIxMdxyd)(22 2M(x) 0M(x) 0Od ydx2 0 xyM(x) 0Odxd y 022yxM(x) b。解解1 1）由梁整體平衡分析得：）由梁整體平衡分析得：lFaFlFbFFByAyAx ,02 2）彎矩方程）彎矩方程 axxlFbxFxMAy 11110 ,AC AC 段：段： lxaaxFxlFbaxFxFxMAy 222222),()(CB CB 段：段：目錄maxwab1x2xACDFxAyFByFAByB計算梁位移的積分法計算梁位移的積分法193 3）列撓曲線近似微分方程并積分）列撓曲線近似微分方程并積分112112)(xlFbxMdxwdEI1211112)(CxlFbxEIdxdwEI1113116DxCxlFbEIwAC AC 段：段：ax 10)()(2222222axFxlFbxMdxwdEI2222222)(22)(2CaxFxlFbxEIdxdwEI2223232)(662DxCaxFxlFbEIwCB CB 段：段：lxa2目錄maxwab1x2xACDFxAyFByFAByB計算梁位移的積分法計算梁位移的積分法204 4）由邊界條件確定積分常數(shù)）由邊界條件確定積分常數(shù)0)(,22lwlx0)0(, 011wx代入求解，得代入求解，得位移邊界條件位移邊界條件光滑連續(xù)條件光滑連續(xù)條件)()(,2121aaaxx )()(,2121awawaxxlFbFblCC661321 021 DD目錄maxwab1x2xACDFxAyFByFAByB計算梁位移的積分法計算梁位移的積分法215 5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程)(6222211bllFbxlFbEI 12231)(661xbllFbxlFbEIwAC AC 段：段：ax 10)(6)(222222222bllFbaxFxlFbEI22232322)(6)(66xbllFbaxFxlFbEIwCB CB 段：段：lxa2目錄maxwab1x2xACDFxAyFByFAByB計算梁位移的積分法計算梁位移的積分法226 6）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度令令 得，得，0 dxd )(6,maxalEIlFablxB 令令 得，得，0dxdw)(39)(,3322max22EIlblFbwblx目錄maxwab1x2xACDFxAyFByFAByB計算梁位移的積分法計算梁位移的積分法23計算梁位移的疊加法計算梁位移的疊加法)(22xMEIwdxwdEI 設(shè)梁上有設(shè)梁上有n n 個載荷同時作用，任意截面上的彎矩個載荷同時作用，任意截面上的彎矩為為M(x)M(x)，轉(zhuǎn)角為，轉(zhuǎn)角為 ，撓度為，撓度為w w，則有：，則有： )(xMEIwii 若梁上只有第若梁上只有第i i個載荷單獨作用，截面上彎矩個載荷單獨作用，截面上彎矩為為 ，轉(zhuǎn)角為，轉(zhuǎn)角為 ，撓度為，撓度為 ，則有：，則有：i iw)(xMi由彎矩的疊加原理知：由彎矩的疊加原理知：)()(1xMxMnii 所以，所以，)( )( 11xMwEIwEIniinii7-4目錄24故故 )( 1niiww由于梁的邊界條件不變，因此由于梁的邊界條件不變，因此,1niiniiww1重要結(jié)論：重要結(jié)論： 梁在若干個載荷共同作用時的撓度或轉(zhuǎn)角，等梁在若干個載荷共同作用時的撓度或轉(zhuǎn)角，等于在各個載荷單獨作用時的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。于在各個載荷單獨作用時的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。這就是這就是計算彎曲變形的疊加原理計算彎曲變形的疊加原理。目錄計算梁位移的疊加法計算梁位移的疊加法25例例3 3 已知簡支梁受力如圖示，已知簡支梁受力如圖示，q q、l、EIEI均為已知。求均為已知。求C C 截面截面的撓度的撓度w wC C ；B B截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角 B B1 1）將梁上的載荷分解）將梁上的載荷分解321CCCCwwww321BBBBwC1wC2wC32 2）查表得）查表得3 3種情形下種情形下C C截面的截面的撓度和撓度和B B截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角。EIqlB2431EIqlB1631EIqlB333EIqlwC384541EIqlwC4842EIqlwC1643解解目錄計算梁位移的疊加法計算梁位移的疊加法26wC1wC2wC33 3） 應(yīng)用疊加法，將簡單載荷應(yīng)用疊加法，將簡單載荷作用時的結(jié)果求和作用時的結(jié)果求和 )(3841116483845444431EIqlEIqlEIqlEIqlwwiCiC)(481131624333331EIqlEIqlEIqlEIqliBiB目錄計算梁位移的疊加法計算梁位移的疊加法27例例4 4 已知：懸臂梁受力如圖已知：懸臂梁受力如圖示，示，q q、l、EIEI均為已知。求均為已知。求C C截面的撓度截面的撓度w wC C和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角 C C1 1）首先，將梁上的載荷變成）首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形有表可查的情形 為了利用梁全長承受均為了利用梁全長承受均布載荷的已知結(jié)果，先將均布載荷的已知結(jié)果，先將均布載荷延長至梁的全長，為布載荷延長至梁的全長，為了不改變原來載荷作用的效了不改變原來載荷作用的效果，在果，在AB AB 段還需再加上集段還需再加上集度相同、方向相反的均布載度相同、方向相反的均布載荷。荷。 Cw目錄計算梁位移的疊加法計算梁位移的疊加法28Cw2Cw1Cw2Bw,841EIqlwC,248128234222lEIqlEIqllwwBBCEIqlC631EIqlC4832 EIqlwwiCiC384414213 3）將結(jié)果疊加）將結(jié)果疊加 EIqliCiC4873212 2）再將處理后的梁分解為簡單）再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，計算各自載荷作用的情形，計算各自C C截截面的撓度和轉(zhuǎn)角。面的撓度和轉(zhuǎn)角。 目錄計算梁位移的疊加法計算梁位移的疊加法29簡單靜不定梁簡單靜不定梁1.1.基本概念：基本概念：超靜定梁：超靜定梁：支反力數(shù)目大于有效平衡方程數(shù)目的梁支反力數(shù)目大于有效平衡方程數(shù)目的梁多余約束：多余約束：從維持平衡角度而言從維持平衡角度而言, ,多余的約束多余的約束超靜定次數(shù)：超靜定次數(shù)：多余約束或多余支反力的數(shù)目。多余約束或多余支反力的數(shù)目。2.2.求解方法：求解方法：解除多余約束，建立相當系統(tǒng)解除多余約束，建立相當系統(tǒng)比較變形，列變比較變形，列變形協(xié)調(diào)條件形協(xié)調(diào)條件由物理關(guān)系建立補充方程由物理關(guān)系建立補充方程利用利用靜力平衡條件求其他約束反力。靜力平衡條件求其他約束反力。相當系統(tǒng)：相當系統(tǒng)：用多余約束力代替多余約束的靜定系統(tǒng)用多余約束力代替多余約束的靜定系統(tǒng)7-6目錄30 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA解解例例5 5 求梁的支反力，梁的抗彎求梁的支反力，梁的抗彎剛度為剛度為EIEI。 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA1 1）判定超靜定次數(shù)）判定超靜定次數(shù)2 2）解除多余約束，建立相當系統(tǒng)）解除多余約束，建立相當系統(tǒng)(d)ABCFByABFC0)()(ByFBFBBwww目錄3 3）進行變形比較，列出變形協(xié)）進行變形比較，列出變形協(xié)調(diào)條件調(diào)條件簡單靜不定梁簡單靜不定梁314 4）由物理關(guān)系，列出補充方程）由物理關(guān)系，列出補充方程 EIFaaaEIaFwFB314)29(6)2()(32EIaFwByFBBy38)(303831433EIaFEIFaBy所以所以FFBy474 4）由整體平衡條件求其他約束反力）由整體平衡條件求其他約束反力 )(43),(2FFFaMAyA目錄 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA(d)ABCFByABFCA AM MAyAyF F簡單靜不定梁簡單靜不定梁32例例6 梁梁AB AB 和和BC BC 在在B B 處鉸接，處鉸接，A A、C C 兩端固定，梁的抗彎剛度兩端固定，梁的抗彎剛度均為均為EIEI，F(xiàn) F = 40kN= 40kN，q q = 20kN/m = 20kN/m。畫梁的剪力圖和彎矩圖。畫梁的剪力圖和彎矩圖。 從從B B 處拆開，使超靜定結(jié)構(gòu)變處拆開，使超靜定結(jié)構(gòu)變成兩個懸臂梁。成兩個懸臂梁。變形協(xié)調(diào)方程為：變形協(xié)調(diào)方程為：21BBwwBBFFFBwB1 FBwB2物理關(guān)系物理關(guān)系EIFEIqwBB3484341EIFEIFwBB3424362322解解簡單靜不定梁簡單靜不定梁33FB FBwB1wB2kN75. 84842046104023342BF代入得補充方程：代入得補充方程：EIFEIFEIFEIqBB342436234843234確定確定A A 端約束力端約束力04, 0 qFFFBAykN25.7175. 82044 BAFqF0424, 0 BAAFqMM mkN12575. 842204424 BAFqM簡單靜不定梁簡單靜不定梁34FB F BwB1wB20, 0 FFFFCBy確定確定B B 端約束力端約束力 kN75.4875. 840 BCFFF042, 0 BCCFFMM kN.m11540275. 8424 FFMBC簡單靜不定梁簡單靜不定梁35A A、B B 端約束力已求出端約束力已求出最后作梁的剪力圖和彎矩圖最后作梁的剪力圖和彎矩圖)( )( 25.7175. 875.48 kN SF)(kN25.71 AF)kN(75.48 CF)(mkN125 AM)m(kN115 CM)( 12511594. 15 .17)mkN( M)( 簡單靜不定梁簡單靜不定梁361.1.剛度條件剛度條件,maxmax ww建筑鋼梁的許可撓度：建筑鋼梁的許可撓度：1000250ll機械傳動軸的許可轉(zhuǎn)角：機械傳動軸的許可轉(zhuǎn)角：30001精密機床的許可轉(zhuǎn)角：精密機床的許可轉(zhuǎn)角：500017-5目錄梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計37 根據(jù)要求，圓軸必須具有足夠的剛度，以保證軸承根據(jù)要求，圓軸必須具有足夠的剛度，以保證軸承B B 處轉(zhuǎn)角不超過許用數(shù)值。處轉(zhuǎn)角不超過許用數(shù)值。 B1 1）由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁）由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B B 處的轉(zhuǎn)角為：處的轉(zhuǎn)角為： EIFlaB3解解目錄例例7 7 已知鋼制圓軸左端受力為已知鋼制圓軸左端受力為F F20 kN20 kN，al ml m，l2 m2 m，E E=206 GPa=206 GPa。軸承。軸承B B處的許可轉(zhuǎn)處的許可轉(zhuǎn)角角 =0.5 =0.5。根據(jù)剛度要求。根據(jù)剛度要求確定軸的直徑確定軸的直徑d d。梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計38例例7 7 已知鋼制圓軸左端受力為已知鋼制圓軸左端受力為F F20 kN20 kN，al ml m，l2 m2 m，E E=206 GPa=206 GPa。軸承。軸承B B處的許可轉(zhuǎn)處的許可轉(zhuǎn)角角 =0.5 =0.5。根據(jù)剛度要求。根據(jù)剛度要求確定軸的直徑確定軸的直徑d d。B2 2）由剛度條件確定軸的直徑：）由剛度條件確定軸的直徑： B 111mmm101115 . 010206318012102064318064342934EFlad目錄 1803EIFla EFlaI3180 EFlad3180644梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計392.2.提高梁剛度的措施提高梁剛度的措施1 1）選擇合理的截面形狀）選擇合理的截面形狀目錄梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計402 2）改善結(jié)構(gòu)形式，減少彎矩數(shù)值）改善結(jié)構(gòu)形式，減少彎矩數(shù)值改改變變支支座座形形式式目錄梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計412 2）改善結(jié)構(gòu)形式，減少彎矩數(shù)值）改善結(jié)構(gòu)形式，減少彎矩數(shù)值改改變變載載荷荷類類型型目錄%5 .6212CCww梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計423 3）采用超靜定結(jié)構(gòu)）采用超靜定結(jié)構(gòu)目錄梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計43作業(yè)（作業(yè)（1212月月1515日）日）12-112-1（b b） 12-212-2（b b）（）（d d）作業(yè)（作業(yè)（1212月月2020日）日）12-5 12-812-5 12-8作業(yè)（作業(yè)（1212月月2222日）日）12-15(b) 12-2012-15(b) 12-20