五年級下冊數(shù)學(xué)專項訓(xùn)練奧數(shù)第十二講容斥原理全國版 (含答案

第十二講 容斥原埋家庭是幼兒語言活動的重要環(huán)境，為了與家長配合做好幼兒閱讀訓(xùn)練工作，孩子一入園就召開家長會，給家長提出早期抓好幼兒閱讀的要求。我把幼兒在園里的閱讀活動及閱讀情況及時傳遞給家長，要求孩子回家向家長朗誦兒歌，表演故事。我和家長共同配合，一道訓(xùn)練，幼兒的閱讀能力提高很快。 在很多計數(shù)問題中常用到數(shù)學(xué)上的一個包含與排除原理，也稱為容斥原理.為了說明這個原理，我們先介紹一些集合的初步知識。這個工作可讓學(xué)生分組負責(zé)收集整理,登在小黑板上,每周一換。要求學(xué)生抽空抄錄并且閱讀成誦。其目的在于擴大學(xué)生的知識面,引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會,熱愛生活,所以內(nèi)容要盡量廣泛一些,可以分為人生、價值、理想、學(xué)習(xí)、成長、責(zé)任、友誼、愛心、探索、環(huán)保等多方面。如此下去,除假期外,一年便可以積累40多則材料。如果學(xué)生的腦海里有了眾多的鮮活生動的材料,寫起文章來還用亂翻參考書嗎? 在討論問題時，常常需要把具有某種性質(zhì)的同類事物放在一起考慮.如：A=五（1）班全體同學(xué).我們稱一些事物的全體為一個集合.A五（1）班全體同學(xué)就是一個集合。課本、報刊雜志中的成語、名言警句等俯首皆是,但學(xué)生寫作文運用到文章中的甚少,即使運用也很難做到恰如其分。為什么?還是沒有徹底“記死”的緣故。要解決這個問題,方法很簡單,每天花3-5分鐘左右的時間記一條成語、一則名言警句即可?？梢詫懺诤蠛诎宓摹胺e累專欄”上每日一換,可以在每天課前的3分鐘讓學(xué)生輪流講解,也可讓學(xué)生個人搜集,每天往筆記本上抄寫,教師定期檢查等等。這樣,一年就可記300多條成語、300多則名言警句,日積月累,終究會成為一筆不小的財富。這些成語典故“貯藏”在學(xué)生腦中,自然會出口成章,寫作時便會隨心所欲地“提取”出來,使文章增色添輝。 例1 B全體自然數(shù)=1，2，3，4，是一個具體有無限多個元素的集合。例2 C=在1，2，3，100中能被3整除的數(shù)（3，6，9，12，99是一個具有有限多個元素的集合。集合通常用大寫的英文字母A、B、C、表示.構(gòu)成這個集合的事物稱為這個集合的元素.如上面例子中五（1）班的每一位同學(xué)均是集合A的一個元素.又如在例1中任何一個自然數(shù)都是集合B的元素.像集合B這種含有無限多個元素的集合稱為無限集.像集合C這樣含有有限多個元素的集合稱為有限集.有限集合所含元素的個數(shù)常用符號|A|、|B|、|C|、表示。記號AB表示所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合.就是右邊示意圖中兩個圓所覆蓋的部分.集合AB叫做集合A與集合B的并集.“”讀作“并”，“AB”讀作“A并B”。例3 設(shè)集合A=1，2，3，4，集合B=2，4，6，8，則AB=1，2，3，4，6，8.元素2、4在集合A、B中都有，在并集中只寫一個。記號AB表示所有既屬于集合A也屬于集合B中的元素的全體.就是上頁圖中陰影部分所表示的集合.即是由集合A、B的公共元素所組成的集合.它稱為集合A、B的交集.符號“”讀作“交”，“AB”讀作“A交B”.如例3中的集合A、B，則AB=2，4。下面再舉例介紹補集的概念。例4 設(shè)集合I=1，3，5，7，9，集合A=3，5，7。補集（或余集），如圖中陰影部分表示的集合（整個長方形表示集合I）.對于兩個沒有公共元素的集合A和B，顯然有|AB|=|A|+|B|。例如，A=1，2，100，B=101，則所以|AB|1011001=|A|B|。如果集合A與B有公共元素，例如A1，2，100，B90，91，101，則AB（90，91，100，AB=1，2，101.此時，|AB|與|A|+|B|有什么關(guān)系呢？在這個例中，|AB|=101，|A|B|10012=112。所以|AB|=|A|+|B|-11我們注意到，11恰為AB的元素個數(shù).這是合理的，因為在求|AB|時，90，91，100這11個數(shù)各被計入一次，而在求|A|B|時，這11個數(shù)各被計入兩次（即多算了一次），并且這11個數(shù)組成的集合恰為AB.因此得到|AB|=|A|+|B|-|AB|，（1）這就是關(guān)于兩個集合的容斥原理：集合A與B的并的元素個數(shù)，等于集合A的元素個數(shù)與集合B的元素個數(shù)的和，減去集合A與B的交的元素個數(shù)。（1）是容斥原理的第一個公式.我們還可以用右圖來說明.如圖我們用N1、N2、N3分別表示AB中互不重疊的部分的元素個數(shù)?？梢姡簗A|=N1N3，|B|=N2N3，|AB|=N3.因此|AB|=N1N2N3（N1N3）+（N2N3）-N3=|A|+|B|-|AB|。我們知道，當集合A與B沒有公共元素時，有|AB|A|+|B|.實際上這是公式（1）的特殊情形，因為此時例5 桌上有兩張圓紙片A、B.假設(shè)圓紙片A的面積為30平方厘米，圓紙片B的面積為20平方厘米.這兩張圓紙片重疊部分的面積為10平方厘米.則這兩張圓紙片覆蓋桌面的面積由容斥原理的公式（1）可以算出為：AB=3020-1040（平方厘米）。例6 求在1至100的自然數(shù)中能被3或7整除的數(shù)的個數(shù)。分析 解這類問題時首先要知道在一串連續(xù)自然數(shù)中能被給定整數(shù)整除的數(shù)的個數(shù)規(guī)律是：在n個連續(xù)自然數(shù)中有且僅有一個數(shù)能被n整除.根據(jù)這個規(guī)律我們可以很容易地求出在1至100中能被3整除的數(shù)的個數(shù)為33個，被7整除的數(shù)的個數(shù)為14個，而其中被3和7都能整除的數(shù)有4個，因而得到解：設(shè)A=在1100的自然數(shù)中能被3整除的數(shù)，B在1100的自然數(shù)中能被7整除的數(shù)，則AB=在1100的自然數(shù)中能被21整除的數(shù)。100÷3331，A33。100÷7142，B=14。100÷21416，AB=4。由容斥原理的公式（1）：AB3314-4=43。答：在1100的自然數(shù)中能被3或7整除的數(shù)有43個。例7 求在1100的自然數(shù)中不是5的倍數(shù)也不是6的倍數(shù)的數(shù)有多少個？分析 如果在1100的自然數(shù)中去掉5的倍數(shù)、6的倍數(shù)，剩下的數(shù)就既不是5的倍數(shù)也不是6的倍數(shù)，即問題要求的結(jié)果。解：設(shè)A在1100的自然數(shù)中5的倍數(shù)的數(shù)，B=在1100的自然數(shù)中6的倍數(shù)的數(shù)，數(shù).為此先求AB。100÷50=20，A=20又100÷6164，B=16100÷30310，AB=3，AB=A+B-AB=2016-333。答：在1100的自然數(shù)中既不是5的倍數(shù)又不是6的倍數(shù)的數(shù)共67個。我們也可以把公式（1）用于求幾何圖形的面積.這時，A和B是平面上的兩個點集（即點的集合），都是幾何圖形.A，B，分別表示A的面積，B的面積，。例8 設(shè)下面圖中正方形的邊長為1厘米，半圓均以正方形的邊為直徑，求圖中陰影部分的面積。分析 如圖，四個直徑為1厘米的半圓不但蓋住了正方形，還有四個重疊部分.這正好是要求的陰影部分的面積.或者，用A表示上、下兩個半圓，用B表示左、右兩個半圓，則AB為邊長為1厘米的正方形，AB為圖中陰影部分.由（1）可得AB=A+B-AB，因此可求出陰影部分的面積。解法1:大正方形面積=4個直徑為1厘米的半圓面積-陰影圖形面積-1×10.57（平方厘米）。上頁圖（a）中陰影面積=0.57（平方厘米）。答：陰影面積為0.57平方厘米。上面的例子是把一組事物按兩種不同的性質(zhì)來分類后，求具有其中一種性質(zhì)的元素個數(shù)問題.如果把一組事物按三種不同性質(zhì)來分類后，求具有其中一種性質(zhì)的元素個數(shù)的公式該是什么樣的呢？我們?nèi)杂脠D形來說明它具有與公式（1）類似的公式：ABC=ABC-AB-AC-BCABC， （2）其中ABC=A（BC），ABC=A（BC）.圖中三個圓A、B、C分別表示具有三種不同性質(zhì)的集合，并如圖用M1、M2、M3、M7表示由三個圓形成的內(nèi)部互不重疊的部分所含元素的個數(shù)，可見：ABCM1M2+M7（M1M4M6M7）+（M2M4M5M7）+（M3M5M6M7）-（M4+M7）+（M5+M7）+（M6M7）M7ABC-AB-BC-AC+ABC，即公式（2）成立。事實上這個規(guī)律還可推廣到按多種性質(zhì)來分類的情形.設(shè)集合M中的每個元素至少具有t種性質(zhì)中的一種，用n1表示各個具有1種性質(zhì)的集合中的元素個數(shù)的和，n2表示各個具有2種性質(zhì)的集合中元素個數(shù)的和，nt表示具有t種性質(zhì)的集合中元素的個數(shù)，則集合M中元素的個數(shù)m為：m=n1-n2n3-n4+±nt最后一項當t為偶數(shù)時取“-”號，否則取“”號。例9 某校有學(xué)生960人，其中510人訂閱“中國少年報”，330人訂閱“少年文藝”，120人訂閱“中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)報”；其中有270人訂閱兩種報刊，有58人訂閱三種報刊.問這個學(xué)校中沒有訂閱任何報刊的學(xué)生有多少人？解：設(shè)A訂“中國少年報”的學(xué)生，B=訂“少年文藝”的學(xué)生，C=訂“中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)報”的學(xué)生，I=全校學(xué)生，=212（人）。答：全校有212名學(xué)生沒訂閱任何報刊。解：如右圖，設(shè)這次競賽共有k道題，用集合A、B分別表示甲、乙答錯的題目.圖中字母a、b、c、d分別表示集合A、B在全部題目作成的集合I中形成的各個無重復(fù)部分的元素個數(shù)，可見d為問題所求.依題意列方程：注意到a、b、c、d均表示題目的道數(shù)，應(yīng)為自然數(shù)或零，因此k為12的倍數(shù)：12、24、.k=12，b1，c2，a=1，d=12-（abc）=12-（121）=8（道）。答：甲、乙兩人都對的題共8道。習(xí)題十二1. 某班有50人，會游泳的有27人，會體操的有18人，都不會的有15人.問既會游泳又會體操的有多少人？2. 在11000這1000個自然數(shù)中，不能被2、3、5中任何一個數(shù)整除的數(shù)有多少個？3. 五環(huán)圖中每一個環(huán)內(nèi)徑為4厘米，外徑為5厘米.其中兩兩相交的小曲邊四邊形（圖中陰影部分）的面積相等.已知五個圓環(huán)蓋住的總面積是122.5平方厘米.求每個小曲邊四邊形的面積。4. 某班全體學(xué)生進行短跑、游泳和籃球三項測驗，有4個學(xué)生這三項均未達到優(yōu)秀，其余每人至少一項達到優(yōu)秀，這部分學(xué)生達到優(yōu)秀的項目及人數(shù)如下表：問這個班有多少名學(xué)生？5有100位學(xué)生回答A、B兩題.A、B兩題都沒回答對的有10人，有75人答對A題，83人答對B題，問有多少人A、B兩題都答對？第 6 頁