工程力學(xué)：第十四章 彎曲變形

1上海工程技術(shù)大學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)學(xué)院工程力學(xué)部上海工程技術(shù)大學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)學(xué)院工程力學(xué)部2第六章第六章 彎曲變形彎曲變形61 概述62 梁的撓曲線(xiàn)近似微分方程63 積分法計(jì)算梁的變形64 疊加法計(jì)算梁的變形65 梁的剛度計(jì)算66 簡(jiǎn)單超靜定梁的求解彎曲變形小結(jié)彎曲變形小結(jié)3彎曲強(qiáng)度的計(jì)算：彎曲強(qiáng)度的計(jì)算：彎曲剛度的計(jì)算：彎曲剛度的計(jì)算：,maxmaxzWM,max*maxmaxbISFzzs材料力學(xué)的任務(wù)是研究構(gòu)件強(qiáng)度、剛度與穩(wěn)定性的問(wèn)題。材料力學(xué)的任務(wù)是研究構(gòu)件強(qiáng)度、剛度與穩(wěn)定性的問(wèn)題。梁彎曲變形的計(jì)算。梁彎曲變形的計(jì)算。1)1)畫(huà)畫(huà)Q Q、M M圖：圖：2)2)計(jì)算計(jì)算,*zzzSIW3)3)計(jì)算應(yīng)力計(jì)算應(yīng)力梁的撓曲線(xiàn)：變形后的軸線(xiàn)。梁的撓曲線(xiàn)：變形后的軸線(xiàn)。目的目的：要控制梁的最大變形：要控制梁的最大變形在一定的限度內(nèi)。在一定的限度內(nèi)。梁的撓度，橫截面的轉(zhuǎn)角。梁的撓度，橫截面的轉(zhuǎn)角。6 61 1 概概 述述4二、撓度：二、撓度：橫截面形心沿垂直于橫截面形心沿垂直于 軸線(xiàn)方向的位移軸線(xiàn)方向的位移。 一、撓曲線(xiàn)：梁變形后的軸線(xiàn)。一、撓曲線(xiàn)：梁變形后的軸線(xiàn)。 性質(zhì)：性質(zhì)：連續(xù)、光滑、彈性、 極其平坦的平面曲線(xiàn)。w w = w = w（x x） 撓曲線(xiàn)方程。撓度向上為正；向下為負(fù)。撓度向上為正；向下為負(fù)。三、轉(zhuǎn)角：三、轉(zhuǎn)角：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過(guò)橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度。用的角度。用“ ” ” 表示。表示。=(x)=(x)轉(zhuǎn)角方程。由變形前的橫截面轉(zhuǎn)到變形后，逆時(shí)針為正；順時(shí)針為負(fù)。逆時(shí)針為正；順時(shí)針為負(fù)。四、撓度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系四、撓度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系 用用“w w” 表示表示。FFCCwwxx wxwdxdwtg)(wtg56一、撓曲線(xiàn)：梁變形后的軸線(xiàn)。一、撓曲線(xiàn)：梁變形后的軸線(xiàn)。 性質(zhì)：性質(zhì)：連續(xù)、光滑、彈性、 極其平坦的平面曲線(xiàn)。二、撓度：橫截面形心沿垂直于二、撓度：橫截面形心沿垂直于 軸線(xiàn)方向的位移。軸線(xiàn)方向的位移。 用用 “ “w w” 表示。表示。w w =w =w（x x） 撓曲線(xiàn)方程。撓度向上為正；向下為負(fù)。撓度向上為正；向下為負(fù)。三、轉(zhuǎn)角：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度。用三、轉(zhuǎn)角：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度。用“ ” ” 表示。表示。=(x)=(x)轉(zhuǎn)角方程。由變形前的橫截面轉(zhuǎn)到變形后，逆時(shí)針為正；順時(shí)針為負(fù)。逆時(shí)針為正；順時(shí)針為負(fù)。四、撓度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系四、撓度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系w w =w =w（x x）上任一點(diǎn)處wxwdxdwtg)(wtgw w C 1xCwPAB7一、曲率與彎矩的關(guān)系：一、曲率與彎矩的關(guān)系：EIMr1二、曲率與撓曲線(xiàn)的關(guān)系：二、曲率與撓曲線(xiàn)的關(guān)系：232)(1)(1wwx rwx )(1r（2）三、撓曲線(xiàn)與彎矩的關(guān)系三、撓曲線(xiàn)與彎矩的關(guān)系： 聯(lián)立（1）、（2）兩式得wx EIM)()(xwM EI（1）zEIxMx)()(1r6 62 2 梁的撓曲線(xiàn)近似微分方程梁的撓曲線(xiàn)近似微分方程8wxM00)( xw撓曲線(xiàn)近似微分方程的近似性撓曲線(xiàn)近似微分方程的近似性忽略了“Fs”、 對(duì)變形的影響。2)(w使用條件：使用條件：彈性范圍內(nèi)工作的細(xì)長(zhǎng)梁。M 0M 0wx注意彎曲凹凸形狀與注意彎曲凹凸形狀與M M（x x）的正負(fù)關(guān)系。）的正負(fù)關(guān)系。二、注意約束對(duì)彎曲變形的影響。二、注意約束對(duì)彎曲變形的影響。6-36-3梁撓曲線(xiàn)的大致形狀判定梁撓曲線(xiàn)的大致形狀判定18注意彎曲凹凸形狀與注意彎曲凹凸形狀與M M（x x）的正負(fù)關(guān)系。）的正負(fù)關(guān)系。注意約束對(duì)彎曲變形的影響。注意約束對(duì)彎曲變形的影響。M, 0:MACaFABCFaCB CB 段為直線(xiàn)。段為直線(xiàn)。r, 0: MCBA A端有約束：端有約束：, 0Aw, 0A, 0C, 0CwACCBBC19注意注意:1):1)彎曲凹凸形狀與彎曲凹凸形狀與M M關(guān)系關(guān)系; ; 2)2)約束對(duì)彎曲變形的影響。約束對(duì)彎曲變形的影響。M, 05 . 0:FaMCBFABCGB GB 段段: :,5 . 05 . 0:FaFaFaMAAA A端有約束端有約束：, 0GM, 0, 0CCw; 0, 0GGwBaaaFa5 . 0D例：畫(huà)出梁的彎曲的大致形狀。例：畫(huà)出梁的彎曲的大致形狀。Fa5 . 0解：解：列出各段的列出各段的M M方程方程GABAB段：段：Fa5 . 0a5 . 0CDCD：M = 0M = 0， CDCD段為直線(xiàn)。段為直線(xiàn)。, 0MAG AG 段段: :, 0M G G點(diǎn)為拐點(diǎn)點(diǎn)為拐點(diǎn); 0, 0AAwGCDBCDAG206 1. 2.a b 6 1. 2.a b 本次課作業(yè)21qLABxC解：解：建立坐標(biāo)系并寫(xiě)出彎矩方程寫(xiě)出微分方程并積分應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)確定撓曲線(xiàn)和轉(zhuǎn)角方程最大撓度及最大轉(zhuǎn)角ql/2ql/2)(222)(22xlxqqxxqlxM21431322)126(2)32(2)(2CxCxlxqEIwCxlxqwEIxlxqwEI X=0 , w=0 ; x=L , w=0 . )46(24)2(24323323xlxlEIqwxlxlEIqxw0,24231CqlCEIqlEIqlwBALx2438453max42max例：例：求分布載荷簡(jiǎn)支的最大撓度 和最大轉(zhuǎn)角(EI=常數(shù)）22FABlxeM22qxFxMMeqsFMFAqeMx 梁上有分布載荷，集中力與梁上有分布載荷，集中力與集中力偶。集中力偶。彎矩：彎矩：彎矩的疊加原理彎矩的疊加原理- - 梁在幾個(gè)載荷共同作用下梁在幾個(gè)載荷共同作用下的彎矩值，等于各載荷單獨(dú)的彎矩值，等于各載荷單獨(dú)作用下的彎矩的代數(shù)和。作用下的彎矩的代數(shù)和。321MMMM)( xMwEIii )()()(332211xMwEIxMwEIxMwEI 6 - 4疊加法計(jì)算梁的變形疊加法計(jì)算梁的變形231 1、梁在簡(jiǎn)單載荷作用下?lián)隙?、轉(zhuǎn)角應(yīng)為已知或有變形表可查；、梁在簡(jiǎn)單載荷作用下?lián)隙?、轉(zhuǎn)角應(yīng)為已知或有變形表可查；2 2、疊加法適用于求梁個(gè)別截面的撓度或轉(zhuǎn)角值。、疊加法適用于求梁個(gè)別截面的撓度或轉(zhuǎn)角值。)()()()(221121nBnBBnBFFFFFF )()()(),(221121nBnBBnBFwFwFwFFFw 一、一、前提條件：前提條件：彈性、小變形。彈性、小變形。二、二、疊加原理：疊加原理：各荷載同時(shí)作用下，梁任一截面的撓度或轉(zhuǎn)角，等各荷載同時(shí)作用下，梁任一截面的撓度或轉(zhuǎn)角，等于各荷載分別單獨(dú)作用下同一梁同一截面撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。于各荷載分別單獨(dú)作用下同一梁同一截面撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。三、三、疊加法的特征：疊加法的特征：)(xMwEI 321321)(MMMxMwwww 疊加法計(jì)算梁的變形疊加法計(jì)算梁的變形24aaFaaq=+例例：疊加法求疊加法求A A截面的轉(zhuǎn)角和截面的轉(zhuǎn)角和C C截面截面 的撓度的撓度. .解解、載荷分解如圖、由梁的簡(jiǎn)單載荷變形表， 查簡(jiǎn)單載荷引起的變形。)(64833EIFaEIFLwFC)(41622EIFaEIFLFA)(245384544EIqaEIqLwqC)(32433EIqaEIqLqAaaqFA AC CA25)6245(34EIFaEIqawwwqAFACqAFAA)43(122qaFEIa、疊加例：例：疊加法求C點(diǎn)撓度.解解、查梁的簡(jiǎn)單載荷變形表查梁的簡(jiǎn)單載荷變形表、載荷無(wú)限分解如圖載荷無(wú)限分解如圖AB0qCl 5 . 0l 5 . 0qdbdFFABCl 5 . 0l 5 . 0ab)(6222blxlEIFbxw)0( ,ax ,5 . 0 lx )34(4822lbEIFbwcFqdbdF bdb26dbLbqdxxqdF02)(EIbLbdFwdFC48)43()(32dbEIbLqb24)43(322、疊加疊加dFCqCwwEIqLdbEILbLqbL24024)43(45.00322AB0qCl 5 . 0l 5 . 0)34(48)(22lbEIbdFdwcqdbdF qdbdF bdb27=+L/2qFL/2ABC例例：確定圖示梁確定圖示梁C截面的撓度和轉(zhuǎn)角截面的撓度和轉(zhuǎn)角。解解：1、載荷分解如圖載荷分解如圖2 2、查梁的簡(jiǎn)單載荷變形表、查梁的簡(jiǎn)單載荷變形表EIqLEIqLwCqCq6;834L/2qL/2L/2FL/2;243)2(33EIFLEILFwBFEIFLLEIFLEIFLLwwBFBFCF48528242323EIFLBFCF82EIFLEILFBF82)2(22)(a)(a)(b)(bB由由F F引起的引起的C C點(diǎn)位移：點(diǎn)位移：28=+L/2qFL/2ABC例例：確定圖示梁C截面的撓度和轉(zhuǎn)角。EIqLEIqLwCqCq6;834L/2qL/2L/2FL/2,4853EIFLwCFEIFLCF823、疊加EIFLEIqLEIFLEIqLwwwCFCqCCFCqC86;4858233429L/2L/2qA AC CA=+例例：求圖示梁C截面的撓度。解解：1、載荷分解如圖2、查梁的簡(jiǎn)單載荷變形表EIqLEILqwwwwCaCbCaC7685384)2(50443、疊加0;384)2(54CbCawEILqwL/2A AC CAq/2L/2(a)L/2L/2A AC CAq/2q/2(b)30例例: :結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法) 原理說(shuō)明+1w2w21www=P PA AB BL L 1 1L L 2 2C CFP PA AB BL L 1 1L L 2 2C C剛化剛化A A C C 段段FP PA AB BL L 1 1L L 2 2C C剛化剛化B B C C 段段FP PB BL L 2 2C C等價(jià)等價(jià)FP PA AB BL L 1 1L L 2 2C CM等價(jià)等價(jià)Fw31=+A AB BL La aC Cq qqaqaA AB BL L C CM=qa/2（b）例例：求圖示梁B截面的撓度（EI已知）。已知）。解解：1、結(jié)構(gòu)分解如圖2、查梁的簡(jiǎn)單載荷變形表3、疊加B B C Cq q（a）EILqaaEILqaawEIqawCbBbBa63)21(;8324EILaqaEILqaEIqawwwBbBaB24)43(6833432例例：求圖示梁C截面的撓度。解解：1、結(jié)構(gòu)分解如圖2、查梁的簡(jiǎn)單載荷變形表L/2FL/2ABC2EIEIL/2FL/2ABC（a）=+L/2FL/2ABC（b）M=FL/2EIFLLEILFLEILFEILFLEILFLwwEIFLEILFwBbBbCbCa48322)2(2)2(2)2()2(22)2(2)2(33)2(2243)2(32333、疊加EIFLEIFLEIFLwwwCbCaC16348724333333435例：例：拐桿如圖，A處為一軸承，允許桿在軸承內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，但不能上下移動(dòng)，已知：E=210Gpa，G=0.4E，求 B 截面的垂直位移。分析分析：B點(diǎn)的垂直位移由兩部分組成，即：BA彎曲和CA桿扭轉(zhuǎn)由A截面轉(zhuǎn)角而引起。 F FBwB1FBAC CMA=FLABwB2ABAABBBBLEIFLwww3321PACABABABGILFLLEIFL33333101052103123 . 0603410202104 . 0325 . 03 . 0603 . 0mm22. 8500300P=60NBAC C20510F36 max一、梁的剛度條件一、梁的剛度條件其中稱(chēng)為許用轉(zhuǎn)角；/L稱(chēng)為許用撓跨比。、校核剛度：、設(shè)計(jì)截面尺寸；（對(duì)于土建工程，強(qiáng)度常處于主要地位，剛度常處于從屬地位。特殊構(gòu)件例外） LLwwwwmaxmaxmax二、剛度計(jì)算二、剛度計(jì)算、確定外載荷。6 65 5 梁的剛度計(jì)算梁的剛度計(jì)算37F F2 2A AB BC CD DF F2 2A AB BC CD DF F2 2B BL L 2 2C CA AB BL L 1 1L L 2 2C CMF F2 2A AB BC CF F1 1D D=+=F F2 2=2KN=2KNA AB BL=400mmL=400mma a=0.1m=0.1mC CF F1 1=1KN=1KND D200200 mmmm例：例：下圖為一空心圓桿，內(nèi)外徑分別為：下圖為一空心圓桿，內(nèi)外徑分別為：d=40mmd=40mm、D=80mmD=80mm，桿，桿的的E=210GPaE=210GPa，工程規(guī)定，工程規(guī)定C C點(diǎn)的點(diǎn)的/L/L=0.00001,B=0.00001,B點(diǎn)的點(diǎn)的 =0.001=0.001弧度弧度, ,試校試校核此桿的剛度核此桿的剛度. .38EIaLFawBC162111EILFB16211EILaFEIaFEIaLFwC3316223221EILaFEIMLB3323EILaFawBC32233EILaFEILFB316221解解：結(jié)構(gòu)變換，查表求簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)變換，查表求簡(jiǎn)單 載荷變形。載荷變形。02 B EIaFwC3322疊加求復(fù)雜載荷下的變形疊加求復(fù)雜載荷下的變形P P2 2=2KN=2KNA AB BL=400mmL=400mma a=0.1m=0.1mC CP P1 1=1KN=1KND D200200mmmmF1=1kNF1=2kN=A AB BC CP P1 1D D+圖圖1 1圖圖2 2圖圖3 3P P2 2B Ba aC CA AB BL La aC CMP P2 2F1F2F239mEILaFEIaFEIaLFwC62232211019. 53316)(10423. 0)320016400(18802104 . 03164221弧度EILaFEILFB481244441018810)4080(6414. 3)(64mdDI 001.010423.04maxLLwmax mmwwC56max101019.5校核剛度校核剛度40第一次作業(yè)：第一次作業(yè)：6 1, 26 1, 2.a, c, 第二次作業(yè)：第二次作業(yè)：6 - 8. a,c,146 - 8. a,c,14 疊加法：疊加法：29. 30 29. 30 41復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)： 疊加法求梁的彎曲變形疊加法求梁的彎曲變形1 1、分解載荷或分解結(jié)構(gòu)、分解載荷或分解結(jié)構(gòu)( (應(yīng)為已知或有變形表可查應(yīng)為已知或有變形表可查) )； 畫(huà)出圖形畫(huà)出圖形2 2、計(jì)算梁在各簡(jiǎn)單載荷作用下?lián)隙?、轉(zhuǎn)角；、計(jì)算梁在各簡(jiǎn)單載荷作用下?lián)隙?、轉(zhuǎn)角；3 3、疊加。、疊加。)()()()(221121nBnBBnBFFFFFF )()()(),(221121nBnBBnBFwFwFwFFFw 疊加原理：疊加原理：各荷載同時(shí)作用下，梁任一截面的撓度或轉(zhuǎn)角，等各荷載同時(shí)作用下，梁任一截面的撓度或轉(zhuǎn)角，等于各荷載分別單獨(dú)作用下同一梁同一截面撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。于各荷載分別單獨(dú)作用下同一梁同一截面撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。疊加法的特征：疊加法的特征：42=)( a)(b)( cccbcacwww21ccbcac21EIqlac4873EIqlbc631EIlqcBcc6)5 . 0(322求：求：C C截面的撓度與轉(zhuǎn)角。截面的撓度與轉(zhuǎn)角。43=)( a)(b)( cccbcacwww21cBcBcclww2225 . 0EIqlwbc841,8)5 . 0(42EIlqwcB求：求：C C截面的撓度與轉(zhuǎn)角。截面的撓度與轉(zhuǎn)角。acw44由梁在簡(jiǎn)單荷載作用下的變形表和前面的變形計(jì)算可看：由梁在簡(jiǎn)單荷載作用下的變形表和前面的變形計(jì)算可看：梁的撓度和轉(zhuǎn)角除了與梁的撓度和轉(zhuǎn)角除了與梁的支座和荷載梁的支座和荷載有關(guān)外還取決于有關(guān)外還取決于下面三個(gè)因素下面三個(gè)因素：材料材料梁的位移與材料的彈性模量 E 成反比成反比；截面截面梁的位移與截面的慣性矩 I 成反比成反比；跨長(zhǎng)跨長(zhǎng)梁的位移與跨長(zhǎng) L 的的 n 次冪成正比次冪成正比。 （轉(zhuǎn)角為（轉(zhuǎn)角為 n 的的 2 次冪，撓度為次冪，撓度為 n 的的 3 次冪）次冪）1、增大梁的抗彎剛度（、增大梁的抗彎剛度（EI）2、調(diào)整跨長(zhǎng)和改變結(jié)構(gòu)、調(diào)整跨長(zhǎng)和改變結(jié)構(gòu)方法方法同提高梁的強(qiáng)度的措施相同同提高梁的強(qiáng)度的措施相同三、提高梁的剛度的措施三、提高梁的剛度的措施45注意：注意： 同類(lèi)的同類(lèi)的材料材料，“E”E”值相差不多值相差不多，“ j xj x”相差較大相差較大，故換用故換用同類(lèi)材料只能提高強(qiáng)度，同類(lèi)材料只能提高強(qiáng)度，不能提高剛度不能提高剛度。 不同類(lèi)的材料不同類(lèi)的材料，“E”E”和和“G”G”都相差很多（鋼都相差很多（鋼E=200GPa , E=200GPa , 銅銅E=100GPaE=100GPa），故可選用不同類(lèi)的材料以達(dá)到），故可選用不同類(lèi)的材料以達(dá)到提高剛度提高剛度的目的。的目的。但是，改換材料，其但是，改換材料，其原料費(fèi)用也會(huì)隨之發(fā)生很大的改變?cè)腺M(fèi)用也會(huì)隨之發(fā)生很大的改變！46C C=6 66 6 簡(jiǎn)單超靜定梁的求解簡(jiǎn)單超靜定梁的求解ABq2l2lC CAB2l2lC CABqARBRARBRCRCR. 02, 02qllRmBA,2, 0qlRmAB由平衡方程可以解出全部未知數(shù)由平衡方程可以解出全部未知數(shù)靜定問(wèn)題靜定問(wèn)題二個(gè)平衡方程，三個(gè)未知數(shù)。二個(gè)平衡方程，三個(gè)未知數(shù)。平衡方程數(shù)平衡方程數(shù) 未知數(shù)。未知數(shù)。超靜定問(wèn)題超靜定問(wèn)題.5 . 0 qlRB平衡方程數(shù)平衡方程數(shù) = = 未知數(shù)。未知數(shù)。0cw去掉多余約束而成為去掉多余約束而成為靜定靜定結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu) 靜定基靜定基。471 1、用多余約束反力代替多余約束（取、用多余約束反力代替多余約束（取靜定基，靜定基，原則：便于計(jì)算）原則：便于計(jì)算）2 2、在多余約束處根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件列出變形的幾何方程、在多余約束處根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件列出變形的幾何方程3 3、把物理?xiàng)l件代入幾何方程列出力的補(bǔ)充方程求出多余反力、把物理?xiàng)l件代入幾何方程列出力的補(bǔ)充方程求出多余反力 計(jì)算梁的內(nèi)力、應(yīng)力、強(qiáng)度、變形、剛度。計(jì)算梁的內(nèi)力、應(yīng)力、強(qiáng)度、變形、剛度。C C=L/2A AC CAqL/2BRc分析0CcRcqcwww048384534EIlREIqlCqLRC85ABq2l2lC CBRABq解超靜定的步驟解超靜定的步驟 ( (靜力、幾何、物理?xiàng)l件靜力、幾何、物理?xiàng)l件) )0Bw48解：解：1 1、研究對(duì)象，、研究對(duì)象，ABAB梁，梁， 受力分析：受力分析：C C、物理?xiàng)l件、物理?xiàng)l件048384534EILFEIqLCY,85qLRCABq2l2lCRABq例例 已知梁的已知梁的EIEI，梁的長(zhǎng)度，梁的長(zhǎng)度，求各約束反力。求各約束反力。、變形協(xié)調(diào)方程、變形協(xié)調(diào)方程、選用、選用靜定基，去支座靜定基，去支座ARBRCR0, 0qlRRRYCBA05 . 05 . 0, 02qllRlRMCBAqlRRRCBA,0CRCqCwwwEIlRwEIqLwCCRCqC48,384534聯(lián)立求解：聯(lián)立求解：163qlRRBA49C CABq2l2l165ql163ql25692ql畫(huà)出剪力圖、彎矩圖。畫(huà)出剪力圖、彎矩圖。ARBRCR162qlAB163ql25692ql165ql50EI、幾何方程幾何方程解解：、受力分析受力分析，、物理方程物理方程EIlRwEIqlwBBRBqB3;83403834EILFEIqLBY,83qLRB=A AB BR R B Bq q 0 0A AB B+例例 已知梁的已知梁的EIEI，梁的長(zhǎng)度，梁的長(zhǎng)度，求各約束反力。求各約束反力。ABBR0BRBqBwwwql靜定基靜定基BRAmARABqqlRmRBAA,0, 0qlRRYBA05 . 0, 02lRqlmMBAA8,852qlmqlRAA求解：求解：51EI、幾何方程幾何方程解解：、受力分析受力分析，、物理方程物理方程EIlmEIqlAAmAq3;242303243EIlmEIqlA,8qLmA例例 已知梁的已知梁的EIEI，梁的長(zhǎng)度，梁的長(zhǎng)度，求各約束反力。求各約束反力。AB0AmAqAql靜定基靜定基BRAmARqqlRmRBAA,0, 0qlRRYBA05 . 0, 02lRqlmMBAA83,85qlRqlRBA求解：求解：ABAmqABABAmAmAq=, 0A52q q 0 0L LA AB BC CEI、幾何方程幾何方程 解解：、建立靜定基建立靜定基BCBRBqBLwwwB求求B B點(diǎn)反力。點(diǎn)反力。、補(bǔ)充方程求出支反力補(bǔ)充方程求出支反力EILRwEIqLwBBRBqB3; 834EALRLBCBBC)3(834ILALIqLRBCBEALREILREIqLBCBB3834=q q 0 0L LA AB BR R B BEIq q 0 0A AB B+=A AB BR RB B例例：已知：已知：EIEI，L L，L LBCBC,EA,EA。53q q 0 0L LA AB BC CEIL LB BC CEA例：結(jié)構(gòu)如上圖例：結(jié)構(gòu)如上圖，E=210Gpa，s=240MPa，LBC=1m，ABC=1cm2, AB為矩形截面梁,b=10cm,h=30cm,L=2m，q0=20 kN/m, 求結(jié)構(gòu)的安全系數(shù)。 解解：由上題可知q0AB)(14.8)3(834kNILALIqLRBCBMx-23.72k N m1.64k N m maxmaxzABWM)(8.150.30.16237202MPa 彎矩如圖. )(4.81108140 4MPaARBCBCBC94.24.81240max snBR54第一次作業(yè)：第一次作業(yè)：6 1, 26 1, 2.a, c, 第三次作業(yè)：第三次作業(yè)：6 - 17. a,18.a,196 - 17. a,18.a,19 21 21 第二次作業(yè)：第二次作業(yè)：6 - 8. a,c,146 - 8. a,c,14 疊加法：疊加法：29. 30 29. 30 55qaAB例例、用疊加法求圖示等截面直梁A、D、E（BC之中點(diǎn)）點(diǎn)的撓度。EIqawA841 解解：結(jié)構(gòu)和載荷分解如圖。 EIqaaEIaqawA3322422EIqawE842EIqaaEIaqawD6622422E（1）（2）Pq=P/aaABDC2aaFq=F/aPaABDC2aaqa2/2F56EIqaEIFawD33433EIqaaEIaFawA36244EIqaEIaFawE44424EIqaaEIaFawD323244EIqawwiAiA2419441EIqawwiEiE83441EIqawwiDiD67441（4）FDCa（3）PaABDC2aaPaFFa57確定撓曲線(xiàn)大致形狀確定撓曲線(xiàn)大致形狀原則：原則：1、由彎矩的正負(fù)判斷撓曲線(xiàn)彎曲的大致形狀（畫(huà)彎矩圖）；由彎矩的正負(fù)判斷撓曲線(xiàn)彎曲的大致形狀（畫(huà)彎矩圖）； 2、由梁的支座處的邊界條件及梁變形的連續(xù)條件判斷。、由梁的支座處的邊界條件及梁變形的連續(xù)條件判斷。mm分析分析1、畫(huà)、畫(huà)M圖，圖，2、據(jù)、據(jù)M圖、支座和變形的連續(xù)條件畫(huà)撓曲線(xiàn)的大致形狀。圖、支座和變形的連續(xù)條件畫(huà)撓曲線(xiàn)的大致形狀。mxM3FFaaaMxFaFa拐點(diǎn)拐點(diǎn)58xMM/32M/3 A AB BMa2aM/3aM/3aaaaF2F1R2R1xMF2aF1a設(shè)：設(shè)： F1產(chǎn)生變形的效果大于產(chǎn)生變形的效果大于F2。59 用用疊加法求疊加法求AB梁上梁上E處的處的撓度撓度 wE+ +60+ +611、連續(xù)性假設(shè) 2、均勻性假設(shè)3、各向同性假設(shè)四、研究材料力學(xué)的前提條件小變形。? )(1)/( 1)/( 1)( 122牛頓smkgsmkg )/(/22mN米牛頓;.;.;.;.bacacbabccbaDCBA符號(hào)62一、撓曲線(xiàn)：梁變形后的軸線(xiàn)。一、撓曲線(xiàn)：梁變形后的軸線(xiàn)。 性質(zhì)：性質(zhì)：連續(xù)、光滑、彈性、極其平坦的平面曲線(xiàn)。連續(xù)、光滑、彈性、極其平坦的平面曲線(xiàn)。二、撓度：橫截面形心沿垂直于軸線(xiàn)方向的位移。二、撓度：橫截面形心沿垂直于軸線(xiàn)方向的位移。撓度向上為正；向下為負(fù)。撓度向上為正；向下為負(fù)。三、轉(zhuǎn)角：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度。用三、轉(zhuǎn)角：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度。用“ ” ” 表示。表示。順時(shí)針為負(fù)；逆時(shí)針為正。順時(shí)針為負(fù)；逆時(shí)針為正。四、撓度和角度的關(guān)系四、撓度和角度的關(guān)系wtg基本概念基本概念彎曲變形小結(jié)彎曲變形小結(jié)632、曲率與撓曲線(xiàn)的關(guān)系：wx )(1r（2）3、撓曲線(xiàn)與彎矩的關(guān)系： wx EIM)(撓曲線(xiàn)近似微分方程的近似性撓曲線(xiàn)近似微分方程的近似性忽略了“Fs”、 對(duì)變形的影響。2)(w使用條件：使用條件：彈性范圍內(nèi)工作的細(xì)長(zhǎng)梁。)(xwM EI結(jié)論：撓曲線(xiàn)近似微分方程結(jié)論：撓曲線(xiàn)近似微分方程五、撓曲線(xiàn)近似微分方程的推導(dǎo)五、撓曲線(xiàn)近似微分方程的推導(dǎo)1、曲率與彎矩的關(guān)系：EIM)()(1xxr（1）難點(diǎn)64)()(xMxwEI 1)()(CdxxMxwEI21)()(CxCdxdxxMxEIw 步驟步驟：（EIEI為常量）為常量）1 1、根據(jù)荷載分段列出彎矩方程、根據(jù)荷載分段列出彎矩方程 M M（x x）。）。2 2、根據(jù)彎矩方程列出撓曲線(xiàn)的近似微分方程并進(jìn)行積分、根據(jù)彎矩方程列出撓曲線(xiàn)的近似微分方程并進(jìn)行積分3 3、根據(jù)彎曲梁變形的邊界條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)。、根據(jù)彎曲梁變形的邊界條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)?；居?jì)算基本計(jì)算一、積分法一、積分法（1 1）、固定支座處：撓度等于零、轉(zhuǎn)角等于零。）、固定支座處：撓度等于零、轉(zhuǎn)角等于零。（2 2）、固定鉸支座處；可動(dòng)鉸支座處：撓度等于零。）、固定鉸支座處；可動(dòng)鉸支座處：撓度等于零。（3 3）、在彎矩方程分段處：）、在彎矩方程分段處： 一般情況一般情況下稍左稍右的兩個(gè)截面撓度相等、轉(zhuǎn)角相等。下稍左稍右的兩個(gè)截面撓度相等、轉(zhuǎn)角相等。重點(diǎn)654 4、確定撓曲線(xiàn)方程和轉(zhuǎn)角方程、確定撓曲線(xiàn)方程和轉(zhuǎn)角方程 。5 5、計(jì)算任意截面的撓度、轉(zhuǎn)角；撓度的最大值、轉(zhuǎn)角的最大值。、計(jì)算任意截面的撓度、轉(zhuǎn)角；撓度的最大值、轉(zhuǎn)角的最大值。（1 1）、載荷疊加。）、載荷疊加。（2 2）、結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）。）、結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）。1 1、前提條件：彈性、小變形。、前提條件：彈性、小變形。2 2、疊加原理：梁上有幾個(gè)（幾種）荷載共同作用的變形等于每、疊加原理：梁上有幾個(gè)（幾種）荷載共同作用的變形等于每 個(gè)荷載（每種）荷載單獨(dú)作用產(chǎn)生的變形的代數(shù)和。個(gè)荷載（每種）荷載單獨(dú)作用產(chǎn)生的變形的代數(shù)和。3、疊加法計(jì)算的兩種類(lèi)型：、疊加法計(jì)算的兩種類(lèi)型：二、疊加法二、疊加法LLwmax三、剛度計(jì)算三、剛度計(jì)算1 1、剛度條件、剛度條件2、剛度計(jì)算剛度計(jì)算、校核剛度：校核剛度：、設(shè)計(jì)截面尺寸設(shè)計(jì)截面尺寸； 、設(shè)計(jì)載荷。設(shè)計(jì)載荷。 max重點(diǎn)661 1、用多余約束反力代替多余約束（取靜定基，原則：便于計(jì)算），、用多余約束反力代替多余約束（取靜定基，原則：便于計(jì)算），2 2、在多余約束處根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件列出變形的幾何方程，、在多余約束處根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件列出變形的幾何方程，3 3、把物理?xiàng)l件代入幾何方程列出力的補(bǔ)充方程求出多余反力，、把物理?xiàng)l件代入幾何方程列出力的補(bǔ)充方程求出多余反力，4、計(jì)算梁的內(nèi)力、應(yīng)力、強(qiáng)度、變形、剛度。、計(jì)算梁的內(nèi)力、應(yīng)力、強(qiáng)度、變形、剛度。步驟步驟四、超靜定梁的求解四、超靜定梁的求解五、確定撓曲線(xiàn)大致形狀五、確定撓曲線(xiàn)大致形狀原則：原則：1、由彎矩的正負(fù)判斷撓曲線(xiàn)彎曲的大致形狀（畫(huà)彎矩圖）；、由彎矩的正負(fù)判斷撓曲線(xiàn)彎曲的大致形狀（畫(huà)彎矩圖）； 2、由梁的支座處的邊界條件及梁變形的連續(xù)條件判斷。、由梁的支座處的邊界條件及梁變形的連續(xù)條件判斷。難點(diǎn)難點(diǎn)67