2018年高考數(shù)學(xué) 常見(jiàn)題型解法歸納反饋訓(xùn)練 第39講 數(shù)列求和的方法

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1、 第39講 數(shù)列求和的方法 【知識(shí)要點(diǎn)】 一、數(shù)列的求和要有通項(xiàng)意識(shí)，先要對(duì)通項(xiàng)特征進(jìn)行分析（數(shù)列的通項(xiàng)決定了數(shù)列的求和方法），再確定數(shù)列求和的方法. 二、數(shù)列常用的求和方法有六種：求和六法 一公二錯(cuò)三分四裂五倒六并，最后一定要牢記，公比為1不為1. 1、公式法： 如果一個(gè)數(shù)列是等差、等比數(shù)列或者是可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列，我們可以運(yùn)用等差、等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式來(lái)求和.對(duì)于一些特殊的數(shù)列（正整數(shù)數(shù)列、正整數(shù)的平方和立方數(shù)列等）也可以直接使用公式求和. ①等差數(shù)列求和公式： ②等比數(shù)列求和公式： ③常見(jiàn)的數(shù)列的前項(xiàng)和：， =,， 等. 2、錯(cuò)位相減法： 若

2、數(shù)列，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則采用錯(cuò)位相減法. 若，其中是等差數(shù)列，是公比為等比數(shù)列，令 ,則 兩式錯(cuò)位相減并化簡(jiǎn)整理即得. 3、分組求和法： 有一類數(shù)列，它既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，但是數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列或常見(jiàn)特殊數(shù)列，則可以將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見(jiàn)的特殊數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可. 4、裂項(xiàng)相消法： 把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，即數(shù)列的每一項(xiàng)都可按此法拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前項(xiàng)的和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和，這一求和方法稱為裂項(xiàng)相消法.適用于類似（其中是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，為常數(shù)）的數(shù)列、部分無(wú)理數(shù)

3、列等.用裂項(xiàng)相消法求和，需要掌握一些常見(jiàn)的裂項(xiàng)方法： ①，特別地當(dāng)時(shí)， ②，特別地當(dāng)時(shí) ③ ④ ⑤ ⑥ 5、倒序相加法： 類似于等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式的推導(dǎo)方法.如果一個(gè)數(shù)列，與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用正序?qū)懞团c倒序?qū)懞偷膬蓚€(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和.這一種求和的方法稱為倒序相加法. 6.并項(xiàng)求和法. 有些數(shù)列的通項(xiàng)里有，這種數(shù)列求和時(shí)，一般要分奇數(shù)和偶數(shù)來(lái)分類討論. 【方法講評(píng)】 方法一 公式法 使用情景 如果一個(gè)數(shù)列是等差、等比數(shù)列或者是可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列，我們可以運(yùn)用等差、等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公

4、式來(lái)求和.對(duì)于一些特殊的數(shù)列（正整數(shù)數(shù)列、正整數(shù)的平方和立方數(shù)列等）也可以直接使用公式求和. 解題步驟 直接代入公式即可. 【例1】已知等比數(shù)列{}中，,公比,又分別是某等差數(shù)列的第項(xiàng)，第項(xiàng)，第項(xiàng). (1)求；(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【解析】（1）依題意有， 即,， 即2.∵,∴. 故. 【點(diǎn)評(píng)】（1）利用公式法求數(shù)列的前項(xiàng)和，一般先求好數(shù)列前項(xiàng)和公式的各個(gè)基本量，再代入公式.（2）第2問(wèn)注意要分類討論，因?yàn)榕c7的大小關(guān)系不能確定. 【反饋檢測(cè)1】已知是公差不為零的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列. （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)； （Ⅱ）求數(shù)列{}的前項(xiàng)和. 方法二

5、 錯(cuò)位相減法 使用情景 已知數(shù)列，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則采用錯(cuò)位相減法. 解題步驟 若，其中是等差數(shù)列，是公比為等比數(shù)列，令 ， 則 兩式相減并整理即得. 【例2】 已知函數(shù) ，是數(shù)列的前項(xiàng)和，點(diǎn)（，）（）在曲線上.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若，，且是數(shù)列的前項(xiàng)和. 試問(wèn)是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. （Ⅱ）因?yàn)? ① 所以 ② ③ ②－③得 . 整理得， ④ 策略二 利用商值比較法 由④式得. 因?yàn)? 所以，即

6、. 所以 所以存在最大值. 策略三 利用放縮法 由①式得，又因?yàn)槭菙?shù)列的前項(xiàng)和， 所以. 所以 所以存在最大值. 【反饋檢測(cè)2】數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)于的不等式的解集中正整數(shù)的個(gè)數(shù)， ． （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和； （3）求證：對(duì)且恒有． 方法三 分組求和法 使用情景 有一類數(shù)列，它既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，但是數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列或常見(jiàn)特殊數(shù)列. 解題步驟 可以將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見(jiàn)的特殊數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可. 【例3】已知數(shù)列{}的前項(xiàng)和為，且滿足． （1）證明：數(shù)列為等比數(shù)

7、列，并求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式； （2）數(shù)列{}滿足，其前項(xiàng)和為，試求滿足的最小正整數(shù)． （2） 設(shè) ① 【點(diǎn)評(píng)】（1）數(shù)列求和時(shí)，要分成兩個(gè)數(shù)列求和，其中一個(gè)是數(shù)列通項(xiàng)是，它用錯(cuò)位相減來(lái)求和，另外一個(gè)數(shù)列是，它是一個(gè)等差數(shù)列，直接用公式法求和.（2）解不等式時(shí)，直接用代值試驗(yàn)解答就可以了. 【反饋檢測(cè)3】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 方法四 裂項(xiàng)相消法 使用情景 類似（其中是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，為常數(shù)）的數(shù)列、部分無(wú)理數(shù)列等. 解題步驟 把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，即數(shù)列的每一項(xiàng)都可按此

8、法拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前項(xiàng)的和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和. 【例4】 已知等差數(shù)列滿足：，.的前項(xiàng)和為. （Ⅰ）求 及；（Ⅱ）令（）,求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【解析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，所以? ，解得，所以；==. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===， 【點(diǎn)評(píng)】利用裂項(xiàng)相消時(shí)，注意消了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng).如， .為了確定保留了哪些項(xiàng)，最好前后多寫一些項(xiàng). 【反饋檢測(cè)4】 設(shè)數(shù)列滿足，. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【反饋檢測(cè)5】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,且(). (Ⅰ) 求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式

9、； (Ⅱ) 記數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:(). 方法五 倒序相加法 使用情景 如果一個(gè)數(shù)列，與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和. 解題步驟 可采用正序?qū)懞团c倒序?qū)懞偷膬蓚€(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和. 【例5 】 已知數(shù)列的前項(xiàng)和，函數(shù)對(duì)有，數(shù)列滿足. （1）分別求數(shù)列、的通項(xiàng)公式； （2）若數(shù)列滿足，是數(shù)列的前項(xiàng)和，若存在正實(shí)數(shù)，使不等式 對(duì)于一切的恒成立，求的取值范圍． 【解析】（1） ①-②得 即 要使得不等式恒成立, 對(duì)于

10、一切的恒成立, 即 令,則 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,故 所以為所求. 【點(diǎn)評(píng)】如果一個(gè)數(shù)列，與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，則可以利用倒序相加法求和. 【例6】求證： 【點(diǎn)評(píng)】如果一個(gè)數(shù)列，與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，則可以利用倒序相加法求和. 【反饋檢測(cè)6】已知函數(shù) （1）證明：； （2）求的值. 方法六 并項(xiàng)求和法 使用情景 有些數(shù)列的通項(xiàng)里有，這種數(shù)列求和時(shí)，一般要分奇數(shù)和偶數(shù)來(lái)分類討論. 解題步驟 一般把項(xiàng)數(shù)分成奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況分

11、類討論. 【例7】求和：…． 【解析】當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， ． 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)， 【點(diǎn)評(píng)】（1）如果數(shù)列的通項(xiàng)里有，這種數(shù)列求和時(shí)，一般要分奇數(shù)和偶數(shù)來(lái)分類討論.把兩項(xiàng)合成一項(xiàng)來(lái)求和. (2)這種情況最好先計(jì)算偶數(shù)的情況，再計(jì)算奇數(shù)的情況.討論奇數(shù)情況時(shí)，為了減少計(jì)算量，提高計(jì)算效率，可以利用，而可以利用前面計(jì)算出來(lái)的偶數(shù)的結(jié)論（因?yàn)槭桥紨?shù)），只要把偶數(shù)情況下表達(dá)式中所有的都換成即可. 【反饋檢測(cè)7】已知數(shù)列的首項(xiàng)為，前項(xiàng)和，且數(shù)列是公差為的等差數(shù)列． （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和． 高中數(shù)學(xué)常見(jiàn)題型解法歸納及反饋檢測(cè)第39講：

12、數(shù)列求和的方法參考答案 【反饋檢測(cè)1答案】（1）；（2）. 【反饋檢測(cè)1詳細(xì)解析】（Ⅰ）由題設(shè)知公差， 由，成等比數(shù)列得＝， 解得， 故的通項(xiàng). (Ⅱ)由（Ⅰ）知，由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式得 . 【反饋檢測(cè)2答案】（1）；（2）；（3）見(jiàn)解析. （3） 由 知 于是 故當(dāng)且時(shí)為增函數(shù) 綜上可知 . （2）由（1）知，故 數(shù)列的前項(xiàng)和 【反饋檢測(cè)4答案】（1）；（2）. 【反饋檢測(cè)

13、4詳細(xì)解答】（1）因?yàn)?，? ① 所以當(dāng)時(shí)，． 當(dāng)時(shí)，， ② ， ①－②得，，所以． 因?yàn)?，適合上式，所以； （2）由（1）得， 所以， 所以【反饋檢測(cè)5答案】（1）， ；（2）見(jiàn)后面解析. 【反饋檢測(cè)5詳細(xì)解析】(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,解得或(舍去)． 當(dāng)時(shí),,,相減得 即,又,所以,則, 所以是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,故． 證法二:當(dāng)時(shí),． 當(dāng)時(shí),先證,即證顯然成立. 所以 所以 , 綜上,對(duì)任意,均有成立. 【反饋檢測(cè)6答案】（1）；（2）. 【反饋檢測(cè)7答案】（1）；（2） 【反饋檢測(cè)7詳細(xì)解析】 （1）（1）由已知得， ∴． 當(dāng)時(shí)，． ，∴，． （2）由⑴可得． 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， ， 綜上， 16