數(shù)學(xué)理高考二輪專題復(fù)習(xí)與測試：第二部分 專題三 滿分示范課——立體幾何 Word版含解析

滿分示范課立體幾何立體幾何解答題的基本模式是論證推理與計(jì)算相結(jié)合，以某個(gè)幾何體為依托，分步設(shè)問，逐層加深，解決這類題目的原則是建模、建系建模將問題轉(zhuǎn)化為平行模型、垂直模型及平面化模型；建系依托于題中的垂直條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解【典例】(滿分12分)(2018·全國卷)如圖，邊長為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧所在平面垂直，M是上異于C，D的點(diǎn)(1)證明：平面AMD平面BMC；(2)當(dāng)三棱錐M­ABC體積最大時(shí)，求平面MAB與平面MCD所成二面角的正弦值規(guī)范解答(1)由題設(shè)知，平面CMD平面ABCD，交線為CD.因?yàn)锽CCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，故BCDM.因?yàn)镸為上異于C，D的點(diǎn)，且DC為直徑，所以DMCM.又BCCMC，所以DM平面BMC.由于DM平面AMD，故平面AMD平面BMC.(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D­xyz.當(dāng)三棱錐M­ABC體積最大時(shí)，M為的中點(diǎn)由題設(shè)得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，M(0，1，1)，(2，1，1)，(0，2，0)，(2，0，0)設(shè)n(x，y，z)是平面MAB的法向量，則即可取n(1，0，2). 又是平面MCD的法向量，因此cosn，sinn，.所以平面MAB與平面MCD所成二面角的正弦值為.高考狀元滿分心得1寫全得分步驟：對于解題過程中是得分點(diǎn)的步驟，有則給分，無則沒分，所以對于得分點(diǎn)步驟一定要寫全如第(1)問中BCDM；在證明平面AMD平面BMC時(shí)，只寫出DM平面BMC，忽視條件DM平面AMD，均導(dǎo)致扣分2寫明得分關(guān)鍵：對于解題過程中的關(guān)鍵點(diǎn)，有則給分，無則沒分，所以在答題時(shí)一定要寫清得分關(guān)鍵點(diǎn)，如第(1)問中一定要寫出線面、面面垂直證明過程中的三個(gè)條件，否則不得分；第(2)問中不寫出公式cosn，而得出余弦值則要扣1分3正確計(jì)算是得滿分的保證：如第(2)問中三棱錐MABC體積最大時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)，求平面法向量坐標(biāo)，以及cosn，的值，否則題目不能得分解題程序第一步：由面面垂直性質(zhì)，證BC平面CMD，與BCDM，第二步：根據(jù)面面垂直判定，證平面AMD平面BMC，第三步：建立空間坐標(biāo)系，求相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，第四步：計(jì)算平面MAB的法向量，求二面角的正弦值，第五步：檢驗(yàn)反思，規(guī)范解題步驟跟蹤訓(xùn)練1.(2018·全國卷)如圖，在三棱錐P­ABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O為AC的中點(diǎn)(1)證明：PO平面ABC；(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角M­PA­C為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值(1)證明：因?yàn)镻APCAC4，O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)PAC，且OP2.連接OB.因?yàn)锳BBCAC，所以ABC為等腰直角三角形，且OBAC，OBAC2.由OP2OB2PB2知POOB.由OPOB，OPAC，OBACO，得PO平面ABC.(2)解：如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O­xyz.由已知得O(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2).(0，2，2)取平面PAC的一個(gè)法向量(2，0，0)設(shè)M(a，2a，0)(0a2)，則(a，4a，0)設(shè)平面PAM的法向量為n(x，y，z)由·n0，·n0得可取ya，得平面PAM的一個(gè)法向量為n(a4)，a，a)，所以cos，n .由已知可得|cos，n|cos 30°，所以，解得a4(舍去)或a.所以n(，)又(0，2，2)，所以cos，n.所以PC與平面PAM所成角的正弦值為.2.(2019·廣州調(diào)研)如圖，直三棱柱ABC­A1B1C1中，CC14，AB2，AC2，BAC45°，點(diǎn)M是棱AA1上不同于A，A1的動(dòng)點(diǎn)(1)證明：BCB1M；(2)若平面MB1C把此棱柱分成體積相等的兩部分，求此時(shí)二面角M­B1C­A的余弦值(1)證明：在ABC中，由余弦定理得，BC2482×2×2×cos 45°4，所以BC2，則有AB2BC28AC2，所以ABC90°，所以BCAB.又因?yàn)锽CBB1，BB1ABB，所以BC平面ABB1A1，又B1M平面ABB1A1，故BCB1M.(2)解：由題設(shè)知，平面MB1C把此三棱柱分成兩個(gè)體積相等的幾何體為四棱錐C­ABB1M和四棱錐B1­A1MCC1.由(1)知四棱錐C­ABB1M的高為BC2，因?yàn)閂三棱柱ABC­A1B1C1×2×2×48，所以V四棱錐C­ABB1MV柱4，又V四棱錐C­ABB1M·S梯形ABB1M·BCS梯形ABB1M4，所以S梯形ABB1M6×2，所以AM2.此時(shí)M為AA1的中點(diǎn)以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B­xyz.所以A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(0，0，4)，M(2，0，2)所以(0，2，4)，(2，0，2)，(2，2，0)，設(shè)n1(x，y1，z1)是平面CB1M的一個(gè)法向量，所以即令z11，可得n1(1，2，1)，設(shè)n2(x2，y2，z2)是平面ACB1的一個(gè)法向量，所以即令z21，可得n2(2，2，1)，所以cosn1，n2，所以二面角M­B1C­A的余弦值為.