高考數(shù)學專題復習：課時達標檢測(五十八)離散型隨機變量的分布列、均值與方差

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1、 課時達標檢測(五十八) 離散型隨機變量的分布列、均值與方差 一、全員必做題 1．袋中裝著標有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個，從袋中任取3個小球，每個小球被取出的可能性都相等，X表示取出的3個小球上的最大數(shù)字，求： (1)取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的概率； (2)隨機變量X的分布列及均值E(X)． 解：(1)“一次取出的3個小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為A，則P(A)＝＝. (2)由題意，X所有可能的取值為2,3,4,5. P(X＝2)＝＝； P(X＝3)＝＝； P(X＝4)＝＝； P(X＝5)＝＝. 所以隨機變量X的分布列為 X 2 3 4

2、5 P E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝. 2．為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加．現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運動員5名，其中種子選手3名．從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽． (1)設A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”，求事件A發(fā)生的概率； (2)設X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機變量X的分布列及均值E(X)． 解：(1)由已知得，P(A)＝＝. 所以事件A發(fā)生的概率為. (2)隨機變量X的所有可能取值為1,2,3,4. P(X＝k)＝(k＝1,2,3,

3、4)． 所以，隨機變量X的分布列為 X 1 2 3 4 P E(X)＝1×＋2×＋3×＋4× ＝＋＋＋＝＝. 3．國慶節(jié)期間，某旅行社組織了14人參加“國家旅游常識”知識競賽，每人回答3個問題，答對題目個數(shù)及對應人數(shù)統(tǒng)計結(jié)果見下表： 答對題目個數(shù) 0 1 2 3 人數(shù) 3 2 5 4 根據(jù)上表信息解答以下問題： (1)從14人中任選3人，求3人答對題目個數(shù)之和為6的概率； (2)從14人中任選2人，用X表示這2人答對題目個數(shù)之和，求隨機變量X的分布列及E(X)． 解：(1)記“3人答對題目個數(shù)之和為6”為事件A， 事件A包含“3

4、人分別答對2題”，“3人分別答對1,2,3題”和“3人分別答對0,3,3題”． 則P(A)＝＝＝， 即3人答對題目個數(shù)之和為6的概率為. (2)依題意可知X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5,6. 則P(X＝0)＝＝＝， P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝＝， P(X＝3)＝＝＝， P(X＝4)＝＝＝， P(X＝5)＝＝＝， P(X＝6)＝＝＝. 從而X的分布列為 X 0 1 2 3 4 5 6 P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝＝＝. 1．拋擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻且六個面上分別標有1,2,3,

5、4,5,6的正方體，記上底面上的數(shù)字分別為x，y.若[a]表示a的整數(shù)部分，如：[2.6]＝2，設ξ為隨機變量，且ξ＝. (1)求P(ξ＝0)； (2)求ξ的分布列，并求其均值E(ξ)． 解：(1)依題意，實數(shù)對(x，y)共有36種情況，使ξ＝＝0的實數(shù)對(x，y)有以下15種情況：(1,2)，(1,3)，(2,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)，(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(1,6)，(2,6)，(3,6)，(4,6)，(5,6)， 所以P(ξ＝0)＝＝. (2)隨機變量ξ的所有可能取值為0,1,2. ξ＝1的情況有以下18種：(1,1)，(2,1)，(

6、3,1)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(3,3)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，(4,4)，(5,4)，(6,4)，(5,5)，(6,5)，(6,6)， 所以P(ξ＝1)＝＝. ξ＝2的情況有以下3種：(4,1)，(5,1)，(6,1)，所以P(ξ＝2)＝＝. 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 P 均值E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. 2．某商場中的20件不同的商品中有是進口商品，其余的是國產(chǎn)商品．在進口商品中有是高端商品，在國產(chǎn)商品中有是高端商品． (1)從該批商品中隨機抽取3件，求恰有1件進口高端商品且國產(chǎn)高端商品少于2

7、件的概率； (2)若銷售1件國產(chǎn)高端商品獲利80元，1件國產(chǎn)非高端商品獲利50元，當銷售該批國產(chǎn)商品3件時，獲利為ξ元，求ξ的分布列及均值E(ξ)． 解：(1)設事件B為“從該批商品中隨機抽取3件，恰有1件進口高端商品且國產(chǎn)高端商品少于2件”，事件A1為“抽取的3件商品中，有1件進口高端商品，0件國產(chǎn)高端商品”，事件A2為“抽取的3件商品中，有1件進口高端商品，1件國產(chǎn)高端商品”． 因為這20件商品中，進口高端商品有20××＝5(件)，國產(chǎn)高端商品有20××＝3(件)． 所以P(B)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝， 即從該批商品中隨機抽取3件，恰有1件進口高端商品且國產(chǎn)高端商品少于2

8、件的概率是. (2)由于本批商品中僅有5件國產(chǎn)商品，其中3件是高端商品，故銷售該批國產(chǎn)商品3件時，可能有1件高端商品，2件非高端商品，或2件高端商品，1件非高端商品，或3件都是高端商品，于是ξ的可能取值為180,210,240. P(ξ＝180)＝＝，P(ξ＝210)＝＝＝， P(ξ＝240)＝＝. 所以ξ的分布列為 ξ 180 210 240 P 故E(ξ)＝180×＋210×＋240×＝204. 三、沖刺滿分題 1．袋中裝有黑色球和白色球共7個，從中任取2個球都是白色球的概率為.現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸出1個球，甲先摸，乙后摸，然后甲再摸，……，摸后均

9、不放回，直到有一人摸到白色球后終止．每個球在每一次被摸出的機會都是等可能的，用X表示摸球終止時所需摸球的次數(shù)． (1)求隨機變量X的分布列和均值E(X)； (2)求甲摸到白色球的概率． 解析：設袋中白色球共有x個，x∈N*且x≥2，則依題意知＝，所以＝， 即x2－x－6＝0，解得x＝3(x＝－2舍去)． (1)袋中的7個球，3白4黑，隨機變量X的所有可能取值是1,2,3,4,5. P (X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝. 隨機變量X的分布列為 X 1 2 3 4 5 P 所以E(X)＝1×＋2

10、×＋3×＋4×＋5×＝2. (2)記事件A為“甲摸到白色球”，則事件A包括以下三個互斥事件： A1＝“甲第1次摸球時摸出白色球”； A2＝“甲第2次摸球時摸出白色球”； A3＝“甲第3次摸球時摸出白色球”． 依題意知，P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝， 所以甲摸到白色球的概率為P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝. 2．某牛奶廠要將一批牛奶用汽車從所在城市甲運至城市乙，已知從城市甲到城市乙只有兩條公路，且運費由廠商承擔．若廠商恰能在約定日期(×月×日)將牛奶送到，則城市乙的銷售商一次性支付給牛奶廠20萬元；若在約定日期前送到，每提前一天銷售商將多支付

11、給牛奶廠1萬元；若在約定日期后送到，每遲到一天銷售商將少支付給牛奶廠1萬元．為保證牛奶新鮮度，汽車只能在約定日期的前兩天出發(fā)，且只能選擇其中的一條公路運送牛奶，已知下表內(nèi)的信息： 統(tǒng)計 信息 汽車行 駛路線　　 在不堵車的情況下到達城市乙所需時間(天) 在堵車的情況下到達城市乙所需時間(天) 堵車的概率 運費(萬元) 公路1 2 3 1.6 公路2 1 4 0.8 (1)記汽車選擇公路1運送牛奶時牛奶廠獲得的毛收入為ξ(單位：萬元)，求ξ的分布列和均值E(ξ)； (2)選擇哪條公路運送牛奶有可能讓牛奶廠獲得的毛收入更多？ (注：毛收入＝銷售商支付給

12、牛奶廠的費用－運費) 解：(1)若汽車走公路1， 不堵車時牛奶廠獲得的毛收入ξ＝20－1.6＝18.4(萬元)； 堵車時牛奶廠獲得的毛收入ξ＝20－1.6－1＝17.4(萬元)， ∴汽車走公路1時牛奶廠獲得的毛收入ξ的分布列為 ξ 18.4 17.4 P E(ξ)＝18.4×＋17.4×＝18.3(萬元)． (2)設汽車走公路2時牛奶廠獲得的毛收入為η，則 不堵車時牛奶廠獲得的毛收入η＝20－0.8＋1＝20.2(萬元)； 堵車時牛奶廠獲得的毛收入η＝20－0.8－2＝17.2(萬元)． ∴汽車走公路2時牛奶廠獲得的毛收入η的分布列為 η 20.2 17.2 P E(η)＝20.2×＋17.2×＝18.7(萬元)． ∵E(ξ)