新版金版教程高考數(shù)學(xué)文二輪復(fù)習(xí)講義：第二編 專題整合突破 專題一集合、常用邏輯用語(yǔ) 第二講 向量、復(fù)數(shù)、算法、合情推理 Word版含解析

1 1第二講向量、復(fù)數(shù)、算法、合情推理 必記公式1兩個(gè)非零向量平行、垂直的充要條件若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abab(b0，R)x1y2x2y10.aba·b0x1x2y1y20.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則(abi)±(cdi)(a±c)(b±d)i(a，b，c，dR)(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i.(abi)÷(cdi)i(a，b，c，dR，cdi0)重要結(jié)論1若a與b不共線，且ab0，則0.2已知(，為常數(shù))，則A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是 1.3平面向量的三個(gè)性質(zhì)(1)若a(x，y)，則|a|.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|.(3)設(shè)為a與b(a0，b0)的夾角，且a(x1，y1)，b(x2，y2)，則cos .4復(fù)數(shù)運(yùn)算中常用的結(jié)論(1±i)2±2i；i；i；baii(abi)；i4n1，i4n1i；i4n21，i4n3i，其中nN*.5歸納推理的思維過程6類比推理的思維過程失分警示1遇到i2，忘記應(yīng)化為1，要注意i的周期性2虛數(shù)與純虛數(shù)的條件不要弄混，當(dāng)b0時(shí)，復(fù)數(shù)zabi(a，bR)叫做虛數(shù)；當(dāng)a0且b0時(shí)，復(fù)數(shù)zabi叫做純虛數(shù)3讀不懂程序框圖的邏輯順序，不能準(zhǔn)確把握判斷框中的條件4分不清當(dāng)型循環(huán)與直到型循環(huán)，不注意控制循環(huán)的變量是什么，不清楚何時(shí)退出循環(huán)、循環(huán)體內(nèi)的程序是什么 考點(diǎn)平面向量的運(yùn)算及應(yīng)用典例示法題型1向量的概念及線性運(yùn)算典例120xx·北京高考在ABC中，點(diǎn)M，N滿足2，.若xy，則x_，y_.解析由2知M為AC上靠近C的三等分點(diǎn)，由知N為BC的中點(diǎn)，作出草圖如下：則有()，所以()，又因?yàn)閤y，所以x，y.答案題型2向量的數(shù)量積典例220xx·廣東高考在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量m，n(sinx，cosx)，x.(1)若mn，求tanx的值；(2)若m與n的夾角為，求x的值解(1)mn，m·n0.故sinxcosx0，tanx1.(2)m與n的夾角為，cosm，n，故sin.又x，x，x，即x，故x的值為.題型3平面向量的綜合應(yīng)用典例320xx·江蘇高考如圖，在ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，·4，·1，則·的值是_解析解法一：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，線段BC的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)B(a,0)，C(a,0)，A(b，c)，則E，F(xiàn)，(ba，c)，(ba，c)，由·b2a2c24，·a21，解得b2c2，a2，則·(b2c2)a2.解法二：設(shè)a，b，則·(a3b)·(a3b)9|b|2|a|24，·(ab)·(ab)|b|2|a|21，解得|a|2，|b|2，則·(a2b)·(a2b)4|b|2|a|2.答案1解決平面向量及線性運(yùn)算問題應(yīng)注意的幾點(diǎn)(1)abab(b0)是判定兩個(gè)向量共線的重要依據(jù)(2)證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線(3)若a與b不共線且ab，則0.(4)(，為實(shí)數(shù))，若A、B、C三點(diǎn)共線，則1.(5)平面向量的線性運(yùn)算包括向量的加法、向量的減法及實(shí)數(shù)與向量的積，在解決這類問題時(shí)，經(jīng)常出現(xiàn)的錯(cuò)誤有：忽視向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)，導(dǎo)致加法與減法混淆；錯(cuò)用數(shù)乘公式對(duì)此，要注意三角形法則和平行四邊形法則適用的條件2數(shù)量積、模和夾角的問題(1)涉及數(shù)量積和模的計(jì)算問題，通常有兩種求解思路：直接利用數(shù)量積的定義；建立坐標(biāo)系，通過坐標(biāo)運(yùn)算求解.(2)在利用數(shù)量積的定義計(jì)算時(shí)，要善于將相關(guān)向量分解為圖形中模和夾角已知的向量進(jìn)行計(jì)算.,求平面向量的模時(shí)，常把模的平方轉(zhuǎn)化為向量的平方.(3)兩個(gè)向量夾角的范圍是0，在使用平面向量解決問題時(shí)要特別注意兩個(gè)向量夾角可能是0或的情況，如已知兩個(gè)向量的夾角為鈍角時(shí)，不單純就是其數(shù)量積小于零，還要求不能反向共線.3解向量與其他知識(shí)的綜合問題應(yīng)注意向量、不等式、解三角形的結(jié)合是現(xiàn)在高考的主流趨勢(shì)，對(duì)于向量而言，要掌握相關(guān)的夾角、模、垂直、平行等重要公式而在三角形中有關(guān)最值的求解通常借助于正弦型或余弦型函數(shù)的范圍，或歸結(jié)為二次函數(shù)的最值、或利用基本不等式等進(jìn)行，無論采用哪種形式，都要強(qiáng)調(diào)變量的范圍處理三角形中的問題也要注意靈活地邊角轉(zhuǎn)化，并且注意一些隱含條件，如內(nèi)角和為180°、大角對(duì)大邊等內(nèi)在屬性考點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算典例示法典例4(1)20xx·全國(guó)卷設(shè)(1i)x1yi，其中x，y是實(shí)數(shù)，則|xyi|()A1 B.C. D2解析因?yàn)?1i)xxxi1yi，所以xy1，|xyi|1i|，選B.答案B(2)20xx·鄭州質(zhì)檢二設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z，則|z|()A1 B.C. D2解析|z|.答案B本例條件不變求？答案1i解析由z1i，所以1i.復(fù)數(shù)的基本概念與運(yùn)算問題的解題思路(1)與復(fù)數(shù)的相關(guān)概念和復(fù)數(shù)的幾何意義有關(guān)的問題，一般是先變形分離出實(shí)部和虛部，把復(fù)數(shù)的非代數(shù)形式化為代數(shù)形式，然后再根據(jù)條件，列方程(組)求解(2)與復(fù)數(shù)z的模|z|和共軛復(fù)數(shù)有關(guān)的問題，一般都要先設(shè)出復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式zabi(a，b，R)，代入條件，用待定系數(shù)法解決針對(duì)訓(xùn)練120xx·安徽高考設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案B解析1i，其在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限220xx·天津高考已知a，bR，i是虛數(shù)單位若(1i)(1bi)a，則的值為_答案2解析(1i)(1bi)1b(1b)ia，所以b1，a2，2.考點(diǎn)程序框圖典例示法題型1求輸入或輸出的值典例520xx·全國(guó)卷執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的x0，y1，n1，則輸出x，y的值滿足()Ay2x By3xCy4x Dy5x解析輸入x0，y1，n1，得x0，y1，x2y21<36，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)：n2，x，y2，x2y24<36，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)：n3，x1，y6，x2y236>36，滿足條件，結(jié)束循環(huán)，所以輸出的x，y6，滿足y4x，故選C.答案C題型2完善程序框圖典例620xx·重慶高考執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出k的值為8，則判斷框內(nèi)可填入的條件是()AsBsCsDs解析第一次循環(huán)，得k2，s；第二次循環(huán)，得k4，s；第三次循環(huán)，得k6，s；第四次循環(huán)，得k8，s，此時(shí)退出循環(huán)，輸出k8，所以判斷框內(nèi)可填入的條件是s，故選C.答案C解答程序框圖(流程圖)問題的關(guān)注點(diǎn)(1)首先要讀懂程序框圖，要熟練掌握程序框圖的三種基本結(jié)構(gòu)，特別是循環(huán)結(jié)構(gòu)，在如累加求和、累乘求積、多次輸入等有規(guī)律的科學(xué)計(jì)算中，都有循環(huán)結(jié)構(gòu)(2)準(zhǔn)確把握控制循環(huán)的變量，變量的初值和循環(huán)條件，弄清在哪一步結(jié)束循環(huán)；弄清循環(huán)體和輸入條件、輸出結(jié)果(3)對(duì)于循環(huán)次數(shù)比較少的可逐步寫出，對(duì)于循環(huán)次數(shù)較多的可先依次列出前幾次循環(huán)結(jié)果，找出規(guī)律提醒：解答循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖(流程圖)問題要注意輸出循環(huán)次數(shù)的情況，防止多一次或少一次的錯(cuò)誤考點(diǎn)合情推理典例示法題型1利用歸納推理求解相關(guān)問題典例720xx·河南鄭州聯(lián)考觀察下列等式：按此規(guī)律，第12個(gè)等號(hào)的等號(hào)右邊等于_解析從題中可找出規(guī)律，第n行等號(hào)左邊的式子是首項(xiàng)為2n1的連續(xù)n個(gè)奇數(shù)之和，所以第12個(gè)等式的等號(hào)右邊左邊232545408.答案408題型2利用類比推理求解相關(guān)問題典例820xx·衡水中學(xué)調(diào)研橢圓中有如下結(jié)論：橢圓1(a>b>0)上斜率為1的弦的中點(diǎn)在直線0上，類比上述結(jié)論：雙曲線1(a>0，b>0)上斜率為1的弦的中點(diǎn)在直線_上解析將橢圓方程1中的x2變?yōu)閤，y2變?yōu)閥，右邊變?yōu)?，得到橢圓1上斜率為1的弦的中點(diǎn)在直線0上類比上述結(jié)論，將雙曲線的方程作上述變換可知，雙曲線1上斜率為1的弦的中點(diǎn)在直線0上不妨設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)為(x1，y1)，(x2，y2)，則1，弦中點(diǎn)設(shè)為(x0，y0)，則x0，y0.將上述兩端點(diǎn)代入雙曲線方程，得兩式相減，得0，即0，所以0，化簡(jiǎn)，得0，0，所以0，于是(x0，y0)在直線0上答案0合情推理的解題思路(1)在進(jìn)行歸納推理時(shí)，要先根據(jù)已知的部分個(gè)體，把它們適當(dāng)變形，找出它們之間的聯(lián)系，從而歸納出一般結(jié)論(2)在進(jìn)行類比推理時(shí)，要充分考慮已知對(duì)象性質(zhì)的推理過程，然后通過類比，推導(dǎo)出類比對(duì)象的性質(zhì)(3)歸納推理關(guān)鍵是找規(guī)律，類比推理關(guān)鍵是看共性 全國(guó)卷高考真題調(diào)研120xx·全國(guó)卷設(shè)復(fù)數(shù)z滿足i，則|z|()A1 B.C. D2答案A解析由題意知1zizi，所以zi，所以|z|1.220xx·全國(guó)卷設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，3，則()A.B.C.D.答案A解析由題意得，故選A.320xx·全國(guó)卷執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的t0.01，則輸出的n()A5 B6C7 D8答案C解析由程序框圖可知，S1，m，n1，>0.01；S，m，n2，>0.01；S，m，n3，>0.01；S，m，n4，>0.01；S，m，n5，>0.01；S，m，n6，>0.01；S，m，n7，<0.01.故選C.420xx·全國(guó)卷設(shè)向量a(m,1)，b(1,2)，且|ab|2|a|2|b|2，則m_.答案2解析由|ab|2|a|2|b|2得ab，則m20，所以m2.其它省市高考題借鑒520xx·天津高考閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出S的值為()A2 B4C6 D8答案B解析第一次循環(huán)，S8，n2；第二次循環(huán)，S2，n3；第三次循環(huán)，S4，n4，故輸出S的值為4.620xx·陜西高考觀察下列不等式：1，1，1，據(jù)此規(guī)律，第n個(gè)等式可為_答案1解析等式左邊的特征：第1個(gè)等式有2項(xiàng)，第2個(gè)有4項(xiàng)，第3個(gè)有6項(xiàng)，且正負(fù)交錯(cuò)，故第n個(gè)等式左邊有2n項(xiàng)且正負(fù)交錯(cuò)，應(yīng)為1；等式右邊的特征：第1個(gè)有1項(xiàng)，第2個(gè)有2項(xiàng)，第3個(gè)有3項(xiàng)，故第n個(gè)有n項(xiàng)，且由前幾個(gè)的規(guī)律不難發(fā)現(xiàn)第n個(gè)等式右邊應(yīng)為.一、選擇題120xx·沈陽(yáng)質(zhì)檢已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案A解析本題主要考查復(fù)數(shù)的計(jì)算和復(fù)平面的概念.1i，其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,1)，故選A.220xx·太原一模已知復(fù)數(shù)z(i為虛數(shù)單位)，則z的虛部為()A1 B0C1 Di答案C解析zi，所以z的虛部是1.320xx·唐山統(tǒng)考在等腰梯形ABCD中，2，M為BC的中點(diǎn)，則()A. B.C. D.答案B解析本題主要考查平面向量的加減運(yùn)算因?yàn)?，所以2.又M是BC的中點(diǎn)，所以()()，故選B.420xx·沈陽(yáng)質(zhì)檢已知兩個(gè)非零向量a，b滿足a·(ab)0，且2|a|b|，則a，b()A30° B60°C120° D150°答案B解析本題主要考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)用由題知a2a·b，而cosa，b，所以a，b60°，故選B.520xx·鄭州質(zhì)檢按如下程序框圖，若輸出結(jié)果為273，則判斷框內(nèi)應(yīng)補(bǔ)充的條件為()Ai>7 Bi7Ci>9 Di9答案B解析本題主要考查程序框圖的應(yīng)用由程序框圖可知：第一步，S0313，i3；第二步，S33330，i5；第三步，S3035273，i7.故判斷框內(nèi)可填i7，選B.620xx·貴陽(yáng)質(zhì)檢閱讀如圖所示的程序框圖，為使輸出的數(shù)據(jù)為31，則處應(yīng)填的表達(dá)式為()Ai3 Bi4Ci5 Di6答案B解析本題主要考查程序框圖第一次循環(huán)，得S3，i2；第二次循環(huán)，得S7，i3；第三次循環(huán)，得S15，i4；第四次循環(huán)，得S31，此時(shí)滿足題意，輸出的S31，所以處可填i4，故選B.720xx·重慶檢測(cè)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出s的值為()A7 B5C2 D9答案A解析本題主要考查程序框圖依題意，執(zhí)行題中的程序框圖，k4<0，s1×(4)4，k422；k2<0，s4×(2)8，k220；k00，s808，k011；k1<2，s817，k1122，此時(shí)結(jié)束循環(huán)，輸出s的值為7，選A.8在平面幾何中有如下結(jié)論：正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1，外接圓面積為S2，則.推廣到空間可以得到類似結(jié)論，已知正四面體PABC的內(nèi)切球體積為V1，外接球體積為V2，則等于()A. B.C. D.答案C解析從平面圖形類比空間圖形，從二維類比三維，如圖，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，E為等邊三角形ABC的中心，O為內(nèi)切球與外接球球心則AEa，DEa，設(shè)OAR，OEr，則OA2AE2OE2，即R222，Ra，ra，正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑之比為31，故正四面體PABC的內(nèi)切球體積V1與外接球體積V2之比等于.9已知a，b是兩個(gè)互相垂直的單位向量，且c·ac·b1，則對(duì)任意的正實(shí)數(shù)t，的最小值是()A2 B2C4 D4答案B解析設(shè)a(1,0)，b(0,1)，則c(1,1)，代入得ctab，所以2.1020xx·廣州模擬已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為(0,1)，(，0)，(0，2)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|1，則|的最小值是()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量模的幾何意義及坐標(biāo)運(yùn)算公式，圓的參數(shù)方程，三角函數(shù)的恒等變換設(shè)P(cos，2sin)，則| 1.二、填空題11如果z為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a等于_答案1解析設(shè)zti，則1aitti，a1.12執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S的值是_答案1解析由程序框圖可知，n1，S0；Scos，n2；Scoscos，n3；n20xx，Scoscoscoscos251coscoscoscoscoscos251×00(1)01，n2105，輸出S.1320xx·合肥質(zhì)檢已知等邊ABC的邊長(zhǎng)為2，若3，則·_.答案2解析本題主要考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算如圖所示，·()·()··22×4×42.14. 如圖所示，在平面上，用一條直線截正方形的一個(gè)角，截下的是一個(gè)直角三角形，有勾股定理c2a2b2.空間中的正方體，用一平面去截正方體的一角，截下的是一個(gè)三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，若這三個(gè)兩兩垂直的側(cè)面的面積分別為S1，S2，S3，截面面積為S，類比平面中的結(jié)論有_答案S2SSS解析建立從平面圖形到空間圖形的類比，在由平面幾何的性質(zhì)類比推理空間立體幾何的性質(zhì)時(shí)，注意平面幾何中點(diǎn)的性質(zhì)可類比推理空間幾何中線的性質(zhì)，平面幾何中線的性質(zhì)可類比推理空間幾何中面的性質(zhì)，平面幾何中面的性質(zhì)可類比推理空間幾何中體的性質(zhì)所以三角形類比空間中的三棱錐，線段的長(zhǎng)度類比圖形的面積，于是作出猜想：S2SSS.