高考數(shù)學(xué) 17-18版 附加題部分 第1章 第57課 課時(shí)分層訓(xùn)練1

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1、 課時(shí)分層訓(xùn)練(一) A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) (建議用時(shí)：30分鐘) 1．標(biāo)號(hào)分別為A，B，C的三個(gè)口袋，A袋中有1個(gè)紅色小球，B袋中有2個(gè)白色小球，C袋中有3個(gè)黃色小球，現(xiàn)從中取出兩個(gè)小球． (1)若取出的兩個(gè)球顏色不同，有多少種取法？ (2)若取出的兩個(gè)球顏色相同，有多少種取法？ [解]　(1)若兩個(gè)球顏色不同，則應(yīng)在A，B袋中各取一個(gè)或A，C袋中各取一個(gè)或B，C袋中各取一個(gè)，所以應(yīng)有1×2＋1×3＋2×3＝11種取法． (2)若兩個(gè)球顏色相同，則應(yīng)在B或C袋中取出2個(gè)，所以應(yīng)有1＋3＝4種取法． 2．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的點(diǎn)(a，

2、b∈M)，問： (1)P可表示平面上多少個(gè)不同的點(diǎn)？ (2)P可表示平面上多少個(gè)第二象限的點(diǎn)？ (3)P可表示多少個(gè)不在直線y＝x上的點(diǎn)？ 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172316】 [解]　(1)確定平面上的點(diǎn)P(a，b)可分兩步完成： 第一步確定a的值，共有6種確定方法； 第二步確定b的值，也有6種確定方法． 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到平面上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是6×6＝36. (2)確定第二象限的點(diǎn)，可分兩步完成： 第一步確定a，由于a<0，所以有3種確定方法； 第二步確定b，由于b>0，所以有2種確定方法． 由分步計(jì)數(shù)原理，得到第二象限點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3×2＝6. (3)點(diǎn)P(a，b)在直線y＝

3、x上的充要條件是a＝b.因此a和b必須在集合M中取同一元素，共有6種取法，即在直線y＝x上的點(diǎn)有6個(gè)． 由(1)得不在直線y＝x上的點(diǎn)共有36－6＝30(個(gè))． 3．在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，8名男運(yùn)動(dòng)員參加100米決賽．其中甲、乙、丙三人必須在1,2,3,4,5,6,7,8八條跑道的奇數(shù)號(hào)跑道上，則安排這8名運(yùn)動(dòng)員比賽的方式共有多少種？ [解]　分兩步安排這8名運(yùn)動(dòng)員． 第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四條跑道可安排，所以安排方式有4×3×2＝24(種)． 第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一條奇數(shù)號(hào)跑道安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120(種)． 所以

4、安排這8人的方式有24×120＝2 880(種)． 4．如圖57-3所示的五個(gè)區(qū)域中，中心區(qū)域是一幅圖畫，現(xiàn)在要求在其余四個(gè)區(qū)域中涂色，現(xiàn)有四種顏色可供選擇． 圖57-3 要求每一個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)共有多少種？ [解]　將四種顏色編號(hào)為①②③④，A有4種涂法，設(shè)涂①，B有3種涂法，設(shè)涂②，下面分3類： 若C涂①，則D可涂②③④，共3種方法； 若C涂③，則D可涂②④，共2種方法； 若C涂④，則D可涂②③，共2種方法； 于是， 不同的涂法為4×3×(3＋2＋2)＝84(種)． 5．(2016·全國卷Ⅱ改編)如圖57-4，小明從街道的

5、E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑共有多少條？ 圖57-4 [解]　分兩步，第一步，從E→F，有6條可以選擇的最短路徑；第二步，從F→G，有3條可以選擇的最短路徑．由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有6×3＝18條可以選擇的最短路程． 6．某外語組有9人，每人至少會(huì)英語和日語中的一門，其中7人會(huì)英語，3人會(huì)日語，從中選出會(huì)英語和日語的各一人，有多少種不同的選法？ [解]　由題意得有1人既會(huì)英語又會(huì)日語，6人只會(huì)英語，2人只會(huì)日語． 第一類：從只會(huì)英語的6人中選1人說英語，共有6種方法，則說日語的有2＋1＝3種，此時(shí)共有6

6、×3＝18種； 第二類：不從只會(huì)英語的6人中選1人說英語，則只有1種方法，則選會(huì)日語的有2種，此時(shí)共有1×2＝2種；所以根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知共有18＋2＝20(種)選法． B組　能力提升 (建議用時(shí)：15分鐘) 1．有一項(xiàng)活動(dòng)需在3名老師，6名男同學(xué)和8名女同學(xué)中選人參加． (1)若只需一人參加，有多少種不同選法？ (2)若需一名老師，一名學(xué)生參加，有多少種不同選法？ (3)若需老師，男同學(xué)、女同學(xué)各一人參加，有多少種不同選法？ 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172317】 [解]　(1)只需一人參加，可按老師、男同學(xué)、女同學(xué)分三類各自有3,6,8種方法，總方法數(shù)為3＋6＋8＝17(種)．

7、 (2)分兩步，先選教師共3種選法，再選學(xué)生共6＋8＝14種選法，由分步計(jì)數(shù)原理知，總方法數(shù)為3×14＝42(種)． (3)教師、男、女同學(xué)各一人可分三步，每步方法依次為3,6,8種．由分步計(jì)數(shù)原理知方法數(shù)為3×6×8＝144(種)． 2．為了做好閱兵人員的運(yùn)輸，從某運(yùn)輸公司抽調(diào)車輛支援，該運(yùn)輸公司有7個(gè)車隊(duì)，每個(gè)車隊(duì)的車輛均多于4輛．現(xiàn)從這個(gè)公司中抽調(diào)10輛車，并且每個(gè)車隊(duì)至少抽調(diào)1輛，那么共有多少種不同的抽調(diào)方法？ [解]　在每個(gè)車隊(duì)抽調(diào)1輛車的基礎(chǔ)上，還需抽調(diào)3輛車．可分成三類：一類是從某1個(gè)車隊(duì)抽調(diào)3輛，有C種抽調(diào)方法；一類是從2個(gè)車隊(duì)中抽調(diào)，其中1個(gè)車隊(duì)抽調(diào)1輛，另1個(gè)車隊(duì)抽調(diào)

8、2輛，有A種抽調(diào)方法；一類是從3個(gè)車隊(duì)中各抽調(diào)1輛，有C種抽調(diào)方法．故共有C＋A＋C＝84種抽調(diào)方法． 3．將一個(gè)四棱錐S-ABCD的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩個(gè)端點(diǎn)異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是多少？ [解]　設(shè)想染色按S—A—B—C—D的順序進(jìn)行，對(duì)S，A，B染色，有5×4×3＝60(種)染色方法． 由于C點(diǎn)的顏色可能與A同色或不同色，這影響到D點(diǎn)顏色的選取方法數(shù)，故分類討論： C與A同色時(shí)(此時(shí)C對(duì)顏色的選取方法唯一)，D應(yīng)與A(C)，S不同色，有3種選擇；C與A不同色時(shí)，C有2種可選擇的顏色，D也有2種顏色可供選擇．從而對(duì)C，D染色有1×

9、3＋2×2＝7(種)染色方法． 由分步計(jì)數(shù)原理，總的染色方法有60×7＝420(種)． 4．(2016·揚(yáng)州期末)對(duì)于給定的大于1的正整數(shù)n，設(shè)x＝a0＋a1n＋a2n2＋…＋annn，其中ai∈{0,1,2，…，n－1}，i＝0,1,2，…，n－1，n，且an≠0，記滿足條件的所有x的和為An. (1)求A2； (2)設(shè)An＝f(n)，求f(n)． [解]　(1)當(dāng)n＝2時(shí)，x＝a0＋2a1＋4a2，a0∈{0,1}，a1∈{0,1}，a2＝1，故滿足條件的x共有4個(gè)，分別為x＝0＋0＋4，x＝0＋2＋4，x＝1＋0＋4，x＝1＋2＋4，它們的和是22. (2)由題意得，a0，a

10、1，a2，…，an－1各有n種取法；an有n－1種取法，由分步計(jì)數(shù)原理可得a0，a1，a2，…，an－1，an的不同取法共有n·n…n·(n－1)＝nn(n－1)，即滿足條件的x共有nn(n－1)個(gè)．當(dāng)a0分別取i＝0,1,2，…，n－1時(shí)，a1，a2，…，an－1各有n種取法，an有n－1種取法，故An中所有含a0項(xiàng)的和為[0＋1＋2＋…＋(n－1)]nn－1(n－1)＝； 同理，An中所有含a1項(xiàng)的和為[0＋1＋2＋…＋(n－1)]nn－1(n－1)·n＝·n；An中所有含a2項(xiàng)的和為[0＋1＋2＋…＋(n－1)]nn－1(n－1)·n2＝·n2；An中所有含an－1項(xiàng)的和為[0＋1＋2＋…＋(n－1)]nn－1(n－1)·nn－1＝·nn－1；當(dāng)an分別取i＝1,2，…，n－1時(shí)，a0，a1，a2，…，an－1各有n種取法， 故An中所有含an項(xiàng)的和為[1＋2＋…＋(n－1)]nn·nn＝·nn； 所以An＝(1＋n＋n2＋…＋nn－1)＋·nn＝·＋·nn ＝(nn＋1＋nn－1)． 故f(n)＝nn＋1＋nn－1.