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1、
(二)立體幾何
1．(2018·蘇州調(diào)研)如圖，在三棱錐P－ABC中，△PAB是正三角形，D，E分別為AB，AC的中點，∠ABC＝90°.
求證：(1)DE∥平面PBC；
(2)AB⊥PE.
證明 (1)因為D，E分別為AB，AC的中點，
所以DE∥BC，
又DE?平面PBC，BC?平面PBC，
所以DE∥平面PBC.
(2)連結(jié)PD，因為DE∥BC，
又∠ABC＝90°，所以DE⊥AB.
又PA＝PB，D為AB的中點，
所以PD⊥AB，
又PD∩DE＝D，PD，DE?平面PDE，
所以AB⊥平面PDE.
因為PE?平面PDE，所以AB⊥PE.
2.如
2、圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC與BD交于點O，PC⊥底面ABCD，E為PB上一點，G為PO的中點．
(1)若PD∥平面ACE，
求證：E為PB的中點；
(2)若AB＝PC，求證：CG⊥平面PBD.
證明 (1)連結(jié)OE，由四邊形ABCD是正方形知，O為BD的中點，
因為PD∥平面ACE，PD?平面PBD，平面PBD∩平面ACE＝OE，所以PD∥OE.
因為O為BD的中點，所以E為PB的中點．
(2)在四棱錐P－ABCD中，AB＝PC，
因為四邊形ABCD是正方形，所以O(shè)C＝AB，
所以PC＝OC.
因為G為PO的中點，所以CG⊥PO.
又因
3、為PC⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，
所以PC⊥BD.
而四邊形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
因為AC，PC?平面PAC，AC∩PC＝C，
所以BD⊥平面PAC，
因為CG?平面PAC，所以BD⊥CG.
因為PO，BD?平面PBD，PO∩BD＝O，
所以CG⊥平面PBD.
3.如圖，在三棱錐P－ABC中，點E，F(xiàn)分別是棱PC，AC的中點．
(1)求證：PA∥平面BEF；
(2)若平面PAB⊥平面ABC，PB⊥BC，求證：BC⊥PA.
證明 (1)在△PAC中，E，F(xiàn)分別是棱PC，AC的中點，
所以PA∥EF.
又PA?平面BEF，EF?平面BEF，
4、所以PA∥平面BEF.
(2)在平面PAB內(nèi)過點P作PD⊥AB，垂足為D.
因為平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PD?平面PAB，所以PD⊥平面ABC，
因為BC?平面ABC，所以PD⊥BC，
又PB⊥BC，PD∩PB＝P，PD?平面PAB，PB?平面PAB，所以BC⊥平面PAB，
又PA?平面PAB，所以BC⊥PA.
4．(2018·揚州調(diào)研)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為AB，AC的中點．
(1)證明：B1C1∥平面A1DE；
(2)若平面A1DE⊥平面ABB1A1，證明：AB⊥DE.
證明 (1)在直三棱柱ABC－A1
5、B1C1中，
四邊形B1BCC1是平行四邊形，
所以B1C1∥BC，
在△ABC中，D，E分別為AB，AC的中點，
故BC∥DE，所以B1C1∥DE，
又B1C1?平面A1DE，DE?平面A1DE，
所以B1C1∥平面A1DE.
(2)在平面ABB1A1內(nèi)，
過A作AF⊥A1D于點F，
因為平面A1DE⊥平面A1ABB1，
平面A1DE∩平面A1ABB1＝A1D，AF?平面A1ABB1，
所以AF⊥平面A1DE，
又DE?平面A1DE，所以AF⊥DE，
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，
A1A⊥平面ABC，DE?平面ABC，
所以A1A⊥DE，
因為AF∩A1A＝A，AF?平面A1ABB1，
A1A?平面A1ABB1，
所以DE⊥平面A1ABB1，
因為AB?平面A1ABB1，所以DE⊥AB.
2019年高考數(shù)學(xué)練習(xí)題匯總高考解答題分項練(二)
