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1、
(七)數(shù)列(A)
1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＋an＝4，n∈N*.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)已知cn＝2n＋3(n∈N*)，記dn＝cn＋logC an(C>0且C≠1)，是否存在這樣的常數(shù)C，使得數(shù)列{dn}是常數(shù)列，若存在，求出C的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
(3)若對(duì)于數(shù)列{bn}及任意的正整數(shù)n，均有b1an＋b2an－1＋b3an－2＋…＋bna1＝n－成立，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．
(1)解 a1＝4－a1，所以a1＝2，
由Sn＋an＝4，得當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＋an－1＝4，
兩式相減，得2an＝an－1，所以＝，
數(shù)
2、列{an}是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以an＝22－n(n∈N*)．
(2)解 由于數(shù)列{dn}是常數(shù)列，
dn＝cn＋logC an＝2n＋3＋(2－n)logC2
＝2n＋3＋2logC2－nlogC2
＝(2－logC2)n＋3＋2logC2為常數(shù)，
則2－logC2＝0，
由C>0且C≠1，
解得C＝，此時(shí)dn＝7.
(3)證明 b1an＋b2an－1＋b3an－2＋…＋bna1
＝n－，①
當(dāng)n＝1時(shí)，b1a1＝－＝－1，
其中a1＝2，所以b1＝－.
當(dāng)n≥2時(shí)，b1an－1＋b2an－2＋b3an－3＋…＋bn－1a1＝n－1－，②
②式兩邊同
3、時(shí)乘以，得
b1an＋b2an－1＋b3an－2＋…＋bn－1a2＝n－，③
由①－③，得bna1＝，
所以bn＝－－(n∈N*，n≥2)，
且bn＋1－bn＝－，
又b1＝－＝－－，
所以數(shù)列{bn}是以－為首項(xiàng)，－為公差的等差數(shù)列．
2．在數(shù)列{an}中，已知a1＝，an＋1＝an－，n∈N*，設(shè)Sn為{an}的前n項(xiàng)和．
(1)求證：數(shù)列{3nan}是等差數(shù)列；
(2)求Sn；
(3)是否存在正整數(shù)p，q，r(p
4、an＝－2.
又因?yàn)閍1＝，所以31·a1＝1，
所以{3nan}是首項(xiàng)為1，公差為－2的等差數(shù)列．
(2)解 由(1)知3nan＝1＋(n－1)·(－2)＝3－2n，
所以an＝(3－2n)n，
所以Sn＝1·1＋(－1)·2＋(－3)·3＋…＋(3－2n)·n，
所以Sn＝1·2＋(－1)·3＋…＋(5－2n)·n＋(3－2n)·n＋1，
兩式相減，得
Sn＝－2－(3－2n)·n＋1＝－2＋(2n－3)·n＋1＝2n·n＋1，
所以Sn＝.
(3)解 假設(shè)存在正整數(shù)p，q，r(p
5、n＝(3－2n)n<0，所以數(shù)列{Sn}單調(diào)遞減．
又p0，所以＋>，等式不成立．
②當(dāng)q＝2時(shí)，p＝1，所以＝＋，
所以＝，
所以r＝3({Sn}單調(diào)遞減，解唯一確定)．
綜上可知，存在正整數(shù)p＝1，q＝2，r＝3，使得Sp，Sq，Sr成等差數(shù)列．
3．設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若(n∈N*)是非零常數(shù)，則稱該數(shù)列為“和等比數(shù)列”．
(1)若數(shù)列{2bn}是首項(xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列，試判斷數(shù)列{bn}是否為“和等比數(shù)列”，并給出證明；
(2)若數(shù)列{cn}是首項(xiàng)為c1，公差為d(d≠
6、0)的等差數(shù)列，且數(shù)列{cn}是“和等比數(shù)列”，試探究d與c1之間的等量關(guān)系．
解 (1)數(shù)列{bn}為“和等比數(shù)列”，證明如下：
因?yàn)閿?shù)列{2bn}是首項(xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列，
所以2bn＝2·4n－1＝22n－1，
因此bn＝2n－1.
設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，則Tn＝n2，T2n＝4n2，
所以＝4，
因此數(shù)列{bn}為“和等比數(shù)列”．
(2)設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Rn，且＝k(k≠0)．
因?yàn)閿?shù)列{cn}是等差數(shù)列，所以Rn＝nc1＋d，
R2n＝2nc1＋d，
所以＝＝k對(duì)于n∈N*都成立，
化簡(jiǎn)，得(k－4)dn＋(k－2)(2c1－d)＝0，
則
因?yàn)閐≠0，所以k＝4，d＝2c1，
因此d與c1之間的等量關(guān)系為d＝2c1.
2019年高考數(shù)學(xué)練習(xí)題匯總高考解答題分項(xiàng)練(七)
