新版高三理科數(shù)學新課標二輪習題：專題三 三角函數(shù) 專題能力訓練10 Word版含答案

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1、 1

2、 1 專題能力訓練10　三角變換與解三角形 能力突破訓練 1.在△ABC中,若sin2A≤sin2B+sin2C-sin Bsin C,則A的取值范圍是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.0,π6 B.π6,π C.0,π3 D.π3,π 2.已知cos(π-2α)sinα-π4=-22,則sin α+cos α等于(　　) A.-72 B.72 C.1

3、2 D.-12 3.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=3ac,則角B的值為(　　) A.π6 B.π3 C.π6或5π6 D.π3或2π3 4.在△ABC中,∠ABC=π4,AB=2,BC=3,則sin∠BAC等于(　　) A.1010 B.105 C.31010 D.55 5.(20xx湖北七市一調(diào))已知△ABC中,角A,B,C對邊分別為a,b,c,C=120°,a=2b,則tan A=　　　　　.? 6.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cos A=45,cos C=513,a=1,則b=　　　　　.? 7.

4、設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若三邊的長為連續(xù)的三個正整數(shù),且A>B>C,3b=20acos A,則sin A∶sin B∶sin C=　　　　　.? 8.在△ABC中,a2+c2=b2+2ac. (1)求B的大小; (2)求2cos A+cos C的最大值. 9.(20xx北京,理15)在△ABC中,∠A=60°,c=37a. (1)求sin C的值; (2)若a=7,求△ABC的面積. 10.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊

5、分別為a,b,c,a=btan A,且B為鈍角. (1)證明:B-A=π2; (2)求sin A+sin C的取值范圍. 11.設(shè)f(x)=sin xcos x-cos2x+π4. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)在銳角△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若fA2=0,a=1,求△ABC面積的最大值. 思維提升訓練 12.若0<α<π2,-π2<β<0,cosπ4+α=13,cosπ4-β2=33,則cosα+β2等于(　　)

6、A.33 B.-33 C.539 D.-69 13.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足csin A=acos C.當3sin A-cosB+π4取最大值時,角A的大小為(　　) A.π3 B.π4 C.π6 D.2π3 14.(20xx湖北荊州一模)在△ABC中,邊AB的垂直平分線交邊AC于點D,若C=π3,BC=8,BD=7,則△ABC的面積為　　　　　.? 15.(20xx河北石家莊二檢)已知sinπ4+αsinπ4-α=16,α∈π2,π,則sin 4α的值為　　　　　.? 16.在銳角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,則tan At

7、an Btan C的最小值是　　　　　.? 17.在△ABC中,三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,π3

8、nα-π4=sin2α-π2sinα-π4=2cosα-π4=2cosα+2sinα=-22, ∴sinα+cosα=-12,故選D. 3.D　解析由(a2+c2-b2)tanB=3ac,得a2+c2-b22ac=32·cosBsinB,即cosB=32·cosBsinB,則sinB=32. ∵0

9、inπ45=3×225=31010. 5.32　解析借助題設(shè)條件,先運用正弦定理將三角形中的邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化化歸為角的關(guān)系,再求解含角A的三角方程. 由正弦定理可得sinA=2sinB,因為B=180°-A-120°=60°-A, 所以sinA=2sin(60°-A),即sinA=3cosA-sinA, 所以2sinA=3cosA,故tanA=32. 6.2113　解析因為cosA=45,cosC=513,且A,C為△ABC的內(nèi)角,所以sinA=35,sinC=1213,sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=6365. 又因為asin

10、A=bsinB,所以b=asinBsinA=2113. 7.6∶5∶4　解析∵A>B>C,∴a>b>c.設(shè)a=b+1,c=b-1(b>1,且b∈N*),由3b=20acosA得3b=20(b+1)×b2+(b-1)2-(b+1)22b(b-1),化簡,得7b2-27b-40=0.解得b=5或b=-87(舍去),∴a=6,c=4, ∴sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4. 8.解(1)由余弦定理及題設(shè)得cosB=a2+c2-b22ac=2ac2ac=22. 又因為0

11、2cosA-22cosA+22sinA =22cosA+22sinA=cosA-π4. 因為0

12、sinB, 所以sinB=cosA,即sinB=sinπ2+A. 又B為鈍角,因此π2+A∈π2,π,故B=π2+A,即B-A=π2. (2)解由(1)知,C=π-(A+B)=π-2A+π2=π2-2A>0,所以A∈0,π4,于是sinA+sinC=sinA+sinπ2-2A=sinA+cos2A=-2sin2A+sinA+1=-2sinA-142+98. 因為0

13、1-sin2x2=sin2x-12. 由-π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ,k∈Z,可得-π4+kπ≤x≤π4+kπ,k∈Z; 由π2+2kπ≤2x≤3π2+2kπ,k∈Z,可得π4+kπ≤x≤3π4+kπ,k∈Z.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是-π4+kπ,π4+kπ(k∈Z); 單調(diào)遞減區(qū)間是π4+kπ,3π4+kπ(k∈Z). (2)由fA2=sinA-12=0,得sinA=12, 由題意知A為銳角,所以cosA=32. 由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA, 得1+3bc=b2+c2≥2bc, 即bc≤2+3,且當b=c時等號成立. 因此12bcsinA≤2+34

14、. 所以△ABC面積的最大值為2+34. 思維提升訓練 12.C　解析∵cosπ4+α=13,0<α<π2, ∴sinπ4+α=223. 又cosπ4-β2=33,-π2<β<0, ∴sinπ4-β2=63, ∴cosα+β2=cosπ4+α-π4-β2=cosπ4+αcosπ4-β2+sinπ4+αsinπ4-β2 =13×33+223×63=539. 13.A　解析由正弦定理,得sinCsinA=sinAcosC. 因為00,從而sinC=cosC. 又cosC≠0,所以tanC=1,則C=π4, 所以B=3π4-A. 于是3sinA-co

15、sB+π4=3sinA-cos(π-A)=3sinA+cosA=2sinA+π6. 因為0

16、的面積為203或243. 15.-429　解析因為sinπ4+α=cosπ2-π4-α=cosπ4-α, 所以sinπ4+αsinπ4-α =sinπ4-αcosπ4-α=12sinπ2-2α =12cos2α=16,所以cos2α=13. 因為π2<α<π,所以π<2α<2π. 所以sin2α=-1-132=-223. 所以sin4α=2sin2αcos2α=-2×229=-429. 16.8　解析sinA=sin(B+C)=2sinBsinC?tanB+tanC=2tanBtanC, 因為tanA=-tan(B+C)=-tanB+tanC1-tanBtanC, 所以ta

17、nAtanBtanC=tanA+tanB+tanC=tanA+2tanBtanC.因為△ABC為銳角三角形,所以tanA>0,tanBtanC>0,所以tanA+2tanBtanC≥22tanAtanBtanC,當且僅當tanA=2tanBtanC時,等號成立,即tanAtanBtanC≥22tanAtanBtanC,解得tanAtanBtanC≥8,即最小值為8. 17.解(1)由ba-b=sin2CsinA-sin2C及正弦定理,得sinB=sin2C,∴B=2C或B+2C=π. 若B=2C,∵π3π(舍去). 若B+2C=π,又A+B+C=π, ∴A=C,∴△ABC為等腰三角形. (2)∵|BA+BC|=2, ∴a2+c2+2accosB=4. 又由(1)知a=c, ∴cosB=2-a2a2. 而cosB=-cos2C, ∴12