【教學(xué)設(shè)計(jì)】 圓周角定理

圓周角的定理教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)與技能1、理解圓周角的概念,掌握?qǐng)A周角的兩個(gè)特征、定理的內(nèi)容及簡(jiǎn)單應(yīng)用；2、準(zhǔn)確地運(yùn)用圓周角定理及其推論進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明計(jì)算。 (二)過(guò)程與方法1、通過(guò)觀察、比較、分析圓周角與圓心角的關(guān)系發(fā)展學(xué)生合情推理和演繹推理的能力。2、通過(guò)觀察圖形，提高學(xué)生的識(shí)圖的能力3、通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生添加合理的輔助線，培養(yǎng)學(xué)生探究問(wèn)題的興趣。 (三)情感與價(jià)值觀1、經(jīng)過(guò)探索圓周角定理的過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力。2、通過(guò)積極引導(dǎo)，幫助學(xué)生有意識(shí)主動(dòng)探究，并能在探究中獲得成功的體驗(yàn)。教學(xué)重點(diǎn)圓周角定理、圓周角定理的推導(dǎo)及運(yùn)用它們解題教學(xué)難點(diǎn)1 認(rèn)識(shí)圓周角定理需要分三種情況逐一證明的必要性。2 推論的靈活應(yīng)用以及輔助線的添加教學(xué)突破讓學(xué)生學(xué)會(huì)分類討論、轉(zhuǎn)換化歸是教學(xué)突破的關(guān)鍵教學(xué)準(zhǔn)備教師準(zhǔn)備：制作課件，精選習(xí)題學(xué)生準(zhǔn)備：復(fù)習(xí)有關(guān)知識(shí)，預(yù)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容，制作圓形紙片教學(xué)過(guò)程活動(dòng)1： 創(chuàng)設(shè)情景，引入概念師：課件（出示圓柱形海洋館圖片）右圖是圓柱形海洋館的俯視圖海洋館的前側(cè)延伸到海洋里，并用玻璃隔開(kāi)，人們站在海洋館內(nèi)部，透過(guò)其中的圓弧形玻璃窗可以觀看到窗外的海洋動(dòng)物如圖是圓柱形的海洋館橫截面的示意圖， 表示圓弧形玻璃窗同學(xué)甲站在圓心O的位置，同學(xué)乙站在正對(duì)著玻璃窗的靠墻的位置C，丙、丁分別站在其他靠墻的位置D和E，師：同學(xué)甲的視角AOB的頂點(diǎn)在圓心處，我們稱這樣的角為圓心角同學(xué)乙的視角ACB、同學(xué)丙的視角ADB和同學(xué)丁的視角AEB不同于圓心角，是與圓有關(guān)的另一類角，我們稱這類角為圓周角師：提出問(wèn)題問(wèn)題1：觀察ACB、ADB和AEB的邊和頂點(diǎn)與圓的位置有什么共同特點(diǎn)？問(wèn)題2：ACB、ADB和AEB與AOB有什么區(qū)別？問(wèn)題3：ACB、ADB和AEB有哪些共同點(diǎn)？（教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，并關(guān)注以下問(wèn)題）1、 問(wèn)題的出示是否引起學(xué)生的興趣2、 學(xué)生是否理解示意圖3、 學(xué)生是否理解圓周角的定義4、 學(xué)生是否清楚了要探究的數(shù)學(xué)問(wèn)題生：這三個(gè)角的共同點(diǎn)有兩個(gè)：頂點(diǎn)都在圓周上；兩邊都與圓相交師：評(píng)價(jià)并鼓勵(lì)學(xué)生的總結(jié)給出肯定，我們把頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角（教師板書圓周角定義，并強(qiáng)調(diào)定義的兩個(gè)要點(diǎn)，學(xué)生在學(xué)案上寫出圓周角的定義）設(shè)計(jì)意圖：從生活中的實(shí)例入手，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析，抽象出圖形的共同屬性，得出圓周角定義，理解圓周角概念的本質(zhì) 跟蹤練習(xí)：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)定義回答下面問(wèn)題：在下列與圓有關(guān)的角中，哪些是圓周角？哪些不是，為什么？ （學(xué)生思考片刻之后，教師就每個(gè)圖形分別請(qǐng)一位學(xué)生作答）設(shè)計(jì)意圖：為了使學(xué)生更加容易地掌握概念，此處教師并排地呈現(xiàn)正例和反例，可以有利于學(xué)生對(duì)本質(zhì)屬性與非本質(zhì)進(jìn)行比較活動(dòng)2：?jiǎn)栴}探究探究同弧所對(duì)圓周角及圓周角與圓心角的關(guān)系師：下面我們繼續(xù)研究海洋館的問(wèn)題，設(shè)想你是一名游客，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)的位置供你選擇，你認(rèn)為在哪個(gè)位置看到的海洋景象范圍更廣一些？預(yù)設(shè)生：（會(huì)很肯定的說(shuō)）當(dāng)然是同學(xué)甲的位置可以看到更廣的海洋范圍了師提出：你是如何知道的？預(yù)設(shè)生1：因?yàn)槲野l(fā)現(xiàn)AOB比ACB、ADB和AEB都大預(yù)設(shè)生2：因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)在圓內(nèi)當(dāng)角的頂點(diǎn)距離弧越近角就越大師提出：如果在乙、丙、丁三位同學(xué)的位置中選擇，哪個(gè)位置看到的海洋范圍更廣一些？預(yù)設(shè)生：（看了圖形想了想）三個(gè)位置看到海洋范圍的大小應(yīng)該是一樣的師提出問(wèn)題：1、弧AB所對(duì)的圓周角的個(gè)數(shù)有多少個(gè)？2、弧AB所對(duì)的圓周角的度數(shù)是否發(fā)生變化？預(yù)設(shè)生：有無(wú)數(shù)個(gè)，度數(shù)相等師：你是怎么知道的？預(yù)設(shè)生：觀察猜到的。師：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要有觀察、猜想但更重要的還要驗(yàn)證。請(qǐng)同學(xué)們驗(yàn)證你們的說(shuō)法，并與同伴交流師提出問(wèn)題：弧AB所對(duì)的圓周角與其所對(duì)的圓心角有什么關(guān)系？（學(xué)生分組開(kāi)始動(dòng)手操作驗(yàn)證：有的借助量角器，用度量的方法進(jìn)行驗(yàn)證；有的采用折疊重合的方法進(jìn)行驗(yàn)證）預(yù)設(shè)生：(興奮地驚叫著)老師，我發(fā)現(xiàn)了：同學(xué)乙、丙、丁的視角ACB、ADB和AEB相等，同學(xué)甲的視角AOB比其他同學(xué)的視角都大，是它們的2倍!（其他同學(xué)也都興奮得不得了，教室里頓時(shí)一片歡騰）設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、操作、分析、驗(yàn)證、交流等基本數(shù)學(xué)活動(dòng)，探索圓周角的性質(zhì)，感知基本幾何事實(shí)，初步體會(huì)兩種數(shù)量關(guān)系：同弧所對(duì)的圓周角和圓心角的關(guān)系；同弧所對(duì)的圓周角的關(guān)系 師：下面，老師用計(jì)算機(jī)進(jìn)一步驗(yàn)證我們剛才所得到的結(jié)論：（教師開(kāi)始在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行驗(yàn)證）首先采用幾何畫板的度量功能，量出AOB、ACB、ADB和AEB，發(fā)現(xiàn)：AOB最大，ACB=ADB=AEB，接著，采用計(jì)算功能，計(jì)算ACB和AOB的比值，發(fā)現(xiàn)：ACB：AOB=1：2然后教師分別從以下幾個(gè)方面演示，讓學(xué)生觀察圓周角的度數(shù)是否發(fā)生改變，同弧所對(duì)的圓周角與圓心角的關(guān)系有無(wú)變化：拖動(dòng)圓周角的頂點(diǎn)使其在圓周上運(yùn)動(dòng)；改變圓心角的度數(shù)；改變圓的半徑大小設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)幾何畫板做進(jìn)一步演示與驗(yàn)證，用幾何動(dòng)態(tài)的語(yǔ)言來(lái)研究圓周角與圓心角的關(guān)系，在某些量變化的過(guò)程中讓學(xué)生觀察不變的數(shù)量關(guān)系，幫助學(xué)生更好地理解圓周角與圓心角的關(guān)系師：既然這樣，我們請(qǐng)一位同學(xué)把所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論用文字語(yǔ)言表述一下預(yù)設(shè)生1：同弧所對(duì)的圓周角相等，并且都等于圓心角的一半預(yù)設(shè)生2：他的說(shuō)法不準(zhǔn)確，應(yīng)該是：在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等，并且都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半丟掉了“在同圓或等圓中”和“這條弧所對(duì)的”這兩點(diǎn)師：前一位同學(xué)總結(jié)得很好，但后一位同學(xué)總結(jié)得更準(zhǔn)確，我們要學(xué)習(xí)他們這種嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的態(tài)度和精神設(shè)計(jì)意圖：把直觀操作與邏輯推理有機(jī)結(jié)合，使將要進(jìn)行的推理論證成為學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、探究得出結(jié)論的自然延續(xù)活動(dòng)3：用分類討論的方法證明定理師: 為了更好地說(shuō)明結(jié)論的正確性,下面我們探究其論證方法先請(qǐng)同學(xué)們?cè)谟覉D的O中盡可能多地畫所對(duì)的圓周角,并思考圓心與圓周角有哪幾種位置關(guān)系?（學(xué)生分組畫圖,每個(gè)小組總結(jié)所畫的圖形的情況，教師巡視,在同學(xué)們所畫的圖形中發(fā)現(xiàn)圓心與圓周角的三種位置關(guān)系的例子,并在展示臺(tái)上演示）預(yù)設(shè)生1:圓心在圓周角的一邊上預(yù)設(shè)生2,圓心在圓周角的內(nèi)部,預(yù)設(shè)生3在圓周角的外部師:圓心與圓周角存在三種位置關(guān)系：圓心在圓周角的一邊上；圓心在圓周角的內(nèi)部；圓心在圓周角的外部（如下圖）第一種情況第二種情況第三種情況師:在上述三種情況中我們先選擇其中的一種情況進(jìn)行證明,選哪種情況,如何證明?（學(xué)生先獨(dú)立思考, 然后在同伴間悄悄交流自己的思路）預(yù)設(shè)生：選擇第一種情況進(jìn)行證明，因?yàn)閳A心在圓周角的一邊上，是最簡(jiǎn)單的一種情況因?yàn)閳A心在圓周角的一邊上，所以AC是圓的直徑,由同圓半徑相等可知，OC=OB，所以C=B，根據(jù)定理“三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”可得，AOB=C+B=2C，即同弧所對(duì)的圓周角等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半師：證明得非常好，掌聲給予鼓勵(lì)！師：當(dāng)圓心在圓周角的一邊上的時(shí)候，圓周角ACB的邊AC部分就是O的直徑，因此給證明思路的尋找?guī)?lái)了不少方便，當(dāng)圓心不在圓周角的邊上時(shí)，比如在角的內(nèi)部，沿CO對(duì)折O，展開(kāi)后你有什么發(fā)現(xiàn)？對(duì)該情況下命題的證明有哪些啟示？（學(xué)生開(kāi)始對(duì)折圓形紙片，觀察，分析，交流）預(yù)設(shè)生：由對(duì)折發(fā)現(xiàn)，可以轉(zhuǎn)化為第一種情況的證明，即，如果做過(guò)點(diǎn)C的直徑CD，那么，由(1)中的結(jié)論可知：ACD=AOD，BCD=BOD，兩式相加即可得到ACB=AOB師：很好！請(qǐng)同學(xué)們?cè)趯W(xué)案上寫出這種情況下的證明過(guò)程，之后完成最后一種情況的證明，同伴之間交流自己的證明思路（各小組學(xué)生思考交流后一種情況的證明思路，完成證明過(guò)程一名學(xué)生黑板上展示證明過(guò)程，教師做思路和規(guī)范性點(diǎn)評(píng)）設(shè)計(jì)意圖：在本段的教學(xué)中，注意突出圖形性質(zhì)的探究過(guò)程，重視學(xué)生主體地位的落實(shí)，通過(guò)觀察度量、實(shí)驗(yàn)操作、圖形變換、合情推理來(lái)探索圖形的性質(zhì)，從而讓學(xué)生學(xué)會(huì)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法另外，教學(xué)時(shí)盡可能地從數(shù)學(xué)語(yǔ)言的三種形態(tài)“文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言”進(jìn)行描述，以強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)與理解，加強(qiáng)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的運(yùn)用與表達(dá)師：通過(guò)上面的證明，我們得到：同弧所對(duì)的圓周角等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半其實(shí)，等弧的情況下該命題也是成立的，命題“同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等”也是正確的，想一想為什么？（教師板書）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半活動(dòng)4：鞏固練習(xí)，拓展性質(zhì)1、如圖，點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)圓上，四邊形ABCD的對(duì)角線把4各內(nèi)角分成8個(gè)角，這些角中哪些是相等的角？2、如圖，點(diǎn)A、B、C、D在O上，若C=60°，則D=_，O=_3、如圖，等邊ABC的頂點(diǎn)都在O上，點(diǎn)D是O上一點(diǎn)，則BDC=_（學(xué)生獨(dú)立思考，交流，回答問(wèn)題，教師通過(guò)學(xué)生練習(xí)，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，評(píng)價(jià)教學(xué)效果）設(shè)計(jì)意圖：習(xí)題的作用是將基本知識(shí)技能化，通過(guò)技能的訓(xùn)練幫助學(xué)生理解基本知識(shí)比如在第3題中，學(xué)生要求BDC，首先要根據(jù)定義判斷這個(gè)角是圓中的什么角？要求它的值應(yīng)該建立與哪個(gè)量的關(guān)系？（弧）借助于這個(gè)量又可以與誰(shuí)相聯(lián)系？（A）通過(guò)這樣的轉(zhuǎn)化考察了學(xué)生對(duì)定理的理解和應(yīng)用，并使學(xué)生在從復(fù)雜的圖形中分解出基本圖形的訓(xùn)練中，培養(yǎng)空間識(shí)圖能力活動(dòng)5：課堂小結(jié)，鞏固反思師：?jiǎn)栴}：本節(jié)課你學(xué)到了什么知識(shí)？從中得到了什么啟發(fā)？預(yù)設(shè)生：我這節(jié)課學(xué)會(huì)了圓周角的定義和圓周角的定理，知道圓周角有兩個(gè)要點(diǎn)，同弧對(duì)的圓周角式相等的關(guān)系，圓心角和圓周角是二倍的關(guān)系預(yù)設(shè)生：我通過(guò)這節(jié)課學(xué)會(huì)了從特殊到一般的解決問(wèn)題的方法，知道分類和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想預(yù)設(shè)生：這節(jié)課的學(xué)習(xí)，我感到很高興，因?yàn)槲覍W(xué)到了好些解決問(wèn)題的方法，更重要的是，老師的提問(wèn)和鼓勵(lì)使我認(rèn)識(shí)到自己的能力，相信一定能學(xué)好這門課！師：同學(xué)們都反思總結(jié)得很好，真誠(chéng)希望在今后的學(xué)習(xí)中能一如既往地養(yǎng)成勤反思多總結(jié)的好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，使我們的學(xué)習(xí)成績(jī)更上一層樓布置作業(yè)：P87頁(yè)2、3題，習(xí)題241第4、5、12題 設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)小結(jié)使學(xué)生歸納、梳理總結(jié)本節(jié)的知識(shí)、技能、方法，將本課所學(xué)的知識(shí)與以前所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行緊密聯(lián)結(jié)，有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)能力和對(duì)數(shù)學(xué)的積極情感7學(xué)習(xí)是一件快樂(lè)的事情，大家下載后可以自行修改