高考數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)練系列 圓錐曲線教案 蘇教版

圓錐曲線與方程考綱導(dǎo)讀1掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單的幾何性質(zhì)、了解橢圓的參數(shù)方程2掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單的幾何性質(zhì)3掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單的幾何性質(zhì)4了解圓錐曲線的初步應(yīng)用知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圓錐曲線橢圓定義標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)雙曲線定義標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)拋物線定義標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)第二定義第二定義統(tǒng)一定義直線與圓錐曲線的位置關(guān)系橢圓雙曲線拋物線a、b、c三者間的關(guān)系高考導(dǎo)航圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，它的基本特點(diǎn)是數(shù)形兼?zhèn)?，兼容并包，可與代數(shù)、三角、幾何知識(shí)相溝通，歷來是高考的重點(diǎn)內(nèi)容。縱觀近幾年高考試題中對(duì)圓錐曲線的考查，基本上是兩個(gè)客觀題，一個(gè)主觀題，分值21分24分，占15%左右，并且主要體現(xiàn)出以下幾個(gè)特點(diǎn)：1圓錐曲線的基本問題，主要考查以下內(nèi)容：圓錐曲線的兩種定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及a、b、c、e、p五個(gè)參數(shù)的求解圓錐曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用2、求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程或軌跡圖形在高考中出現(xiàn)的頻率較高，此類問題的解決需掌握四種基本方法：直譯法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法3有關(guān)直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題，是高考的重?zé)狳c(diǎn)問題，這類問題常涉及圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識(shí)以及線段中點(diǎn)、弦長等，分析這類問題時(shí)，往往要利用數(shù)形結(jié)合思想和“設(shè)而不求”的方法、對(duì)稱的方法及韋達(dá)定理，多以解答題的形式出現(xiàn)4求與圓錐曲線有關(guān)的參數(shù)或參數(shù)范圍問題，是高考命題的一大熱點(diǎn)，這類問題綜合性較大，運(yùn)算技巧要求較高；尤其是與平面向量、平面幾何、函數(shù)、不等式的綜合，特別近年出現(xiàn)的解析幾何與平面向量結(jié)合的問題，是?？汲Ｐ碌脑囶}，將是今后高考命題的一個(gè)趨勢第1課時(shí) 橢圓基礎(chǔ)過關(guān)1橢圓的兩種定義(1) 平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于)的點(diǎn)的軌跡叫橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的 ， 之間的距離叫做焦距注：當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是 當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，P點(diǎn)的軌跡不存在(2) 橢圓的第二定義：到 的距離與到 的距離之比是常數(shù)，且 的點(diǎn)的軌跡叫橢圓定點(diǎn)F是橢圓的 ，定直線l是 ，常數(shù)e是 2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1) 焦點(diǎn)在軸上，中心在原點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是：，其中( > >0，且 )(2) 焦點(diǎn)在軸上，中心在原點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是，其中a，b滿足： （3）焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上如何判斷？3橢圓的幾何性質(zhì)(對(duì),a > b >0進(jìn)行討論)(1) 范圍： x ， y (2) 對(duì)稱性：對(duì)稱軸方程為 ；對(duì)稱中心為 (3) 頂點(diǎn)坐標(biāo)： ，焦點(diǎn)坐標(biāo)： ，長半軸長： ，短半軸長： ；準(zhǔn)線方程： (4) 離心率： ( 與 的比)， ，越接近1，橢圓越 ；越接近0，橢圓越接近于 (5) 焦半徑公式：設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，則 ，= 。4焦點(diǎn)三角形應(yīng)注意以下關(guān)系（老師補(bǔ)充畫出圖形）：(1) 定義：r1r22a(2) 余弦定理：2r1r2cos(2c)2(3) 面積：r1r2 sin·2c| y0 |(其中P()為橢圓上一點(diǎn)，|PF1|r1，|PF2|r2，F(xiàn)1PF2)典型例題變式訓(xùn)練2：已知P（x0,y0）是橢圓（ab0）上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是焦點(diǎn)，求證：以PF2為直徑的圓必和以橢圓長軸為直徑的圓相內(nèi)切.證明 設(shè)以PF2為直徑的圓心為A，半徑為r.F1、F2為焦點(diǎn)，所以由橢圓定義知|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2r|PF1|+2r=2a，即|PF1|=2（ar）連結(jié)OA，由三角形中位線定理，知|OA|=故以PF2為直徑的圓必和以長軸為直徑的圓相內(nèi)切.評(píng)注 運(yùn)用橢圓的定義結(jié)合三角形中位線定理，使題目得證。例3. 如圖，橢圓的中心在原點(diǎn)，其左焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，過的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，與拋物線交于C、D兩點(diǎn)當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，（1）求橢圓的方程；（2）求過點(diǎn)O、，并且與橢圓的左準(zhǔn)線相切的圓的方程；（3）求的最大值和最小值解：（1）由拋物線方程，得焦點(diǎn)設(shè)橢圓的方程： 解方程組 得C（-1，2），D（1，-2） 由于拋物線、橢圓都關(guān)于x軸對(duì)稱， 2分又，因此，解得并推得 故橢圓的方程為 4分（2）， 圓過點(diǎn)O、，圓心M在直線上設(shè)則圓半徑，由于圓與橢圓的左準(zhǔn)線相切，由得解得所求圓的方程為8分（3） 由若垂直于軸，則， ， 9分若與軸不垂直，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為 由 得 ，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根設(shè)，., 11分 = ，所以當(dāng)直線垂于軸時(shí)，取得最大值當(dāng)直線與軸重合時(shí)，取得最小值變式訓(xùn)練3：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(-1, 0)、B(1, 0), 動(dòng)點(diǎn)C滿足條件：ABC的周長為22.記動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線W.(1)求W的方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)（0, ）且斜率為k的直線l與曲線W 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q，求k的取值范圍；（3）已知點(diǎn)M（，0），N（0, 1），在()的條件下，是否存在常數(shù)k，使得向量與共線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由.解：() 設(shè)C（x, y）, , , , 由定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，長軸長為2的橢圓除去與x軸的兩個(gè)交點(diǎn). . . W: . (2) 設(shè)直線l的方程為，代入橢圓方程，得. 整理，得. 因?yàn)橹本€l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于 ，解得或. 滿足條件的k的取值范圍為 （3）設(shè)P（x1,y1）,Q(x2,y2),則（x1+x2，y1+y2), 由得. 又 因?yàn)椋?所以. 所以與共線等價(jià)于. 將代入上式，解得. 所以不存在常數(shù)k，使得向量與共線.例4. 已知橢圓W的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，兩條準(zhǔn)線間的距離為6. 橢圓W的左焦點(diǎn)為，過左準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)任作一條斜率不為零的直線與橢圓W交于不同的兩點(diǎn)、，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為.（1）求橢圓W的方程；（2）求證： ()；（3）求面積的最大值. 解：（1）設(shè)橢圓W的方程為，由題意可知解得，所以橢圓W的方程為4分（2）解法1：因?yàn)樽鬁?zhǔn)線方程為，所以點(diǎn)坐標(biāo)為.于是可設(shè)直線 的方程為得.由直線與橢圓W交于、兩點(diǎn)，可知，解得設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，,則，因?yàn)?，所以?又因?yàn)?，所?10分解法2：因?yàn)樽鬁?zhǔn)線方程為，所以點(diǎn)坐標(biāo)為.于是可設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，,則點(diǎn)的坐標(biāo)為，由橢圓的第二定義可得,所以，三點(diǎn)共線，即10分(3)由題意知 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立，所以面積的最大值為變式訓(xùn)練4：設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn). （1）若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值；（2）是否存在過點(diǎn)A（5，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1）易知 設(shè)P（x，y），則 ，即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，有最小值3；當(dāng)，即點(diǎn)P為橢圓長軸端點(diǎn)時(shí)，有最大值4 （2）假設(shè)存在滿足條件的直線l易知點(diǎn)A（5，0）在橢圓的外部，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l與橢圓無交點(diǎn)，所在直線l斜率存在，設(shè)為k直線l的方程為 由方程組依題意 當(dāng)時(shí)，設(shè)交點(diǎn)C，CD的中點(diǎn)為R，則又|F2C|=|F2D| 20k2=20k24，而20k2=20k24不成立， 所以不存在直線，使得|F2C|=|F2D|綜上所述，不存在直線l，使得|F2C|=|F2D| 小結(jié)歸納1在解題中要充分利用橢圓的兩種定義，靈活處理焦半徑，熟悉和掌握a、b、c、e關(guān)系及幾何意義，能夠減少運(yùn)算量，提高解題速度，達(dá)到事半功倍之效2由給定條件求橢圓方程，常用待定系數(shù)法步驟是：定型確定曲線形狀；定位確定焦點(diǎn)位置；定量由條件求a、b、c，當(dāng)焦點(diǎn)位置不明確時(shí)，方程可能有兩種形式，要防止遺漏3解與橢圓的焦半徑、焦點(diǎn)弦有關(guān)的問題時(shí)，一般要從橢圓的定義入手考慮；橢圓的焦半徑的取值范圍是4“設(shè)而不求”，“點(diǎn)差法”等方法，是簡化解題過程的常用技巧，要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)5解析幾何與代數(shù)向量的結(jié)合，是近年來高考的熱點(diǎn)，應(yīng)引起重視第2課時(shí) 雙 曲 線基礎(chǔ)過關(guān)典型例題例2雙曲線型自然通風(fēng)塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，它的最小半徑為12 m，上口半徑為13 m，下口半徑為25 m，高55 m.選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出此雙曲線的方程（精確到1m）.解：如圖817，建立直角坐標(biāo)系xOy，使A圓的直徑AA在x軸上，圓心與原點(diǎn)重合.這時(shí)上、下口的直徑CC、BB平行于x軸，且=13×2 (m)，=25×2 (m).設(shè)雙曲線的方程為 （a>0,b>0）令點(diǎn)C的坐標(biāo)為（13，y），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（25，y55）.因?yàn)辄c(diǎn)B、C在雙曲線上，所以 解方程組由方程（2）得 （負(fù)值舍去）.代入方程（1）得化簡得 19b2+275b18150=0 （3）解方程（3）得 b25 (m).所以所求雙曲線方程為：例3. 中，固定底邊BC，讓頂點(diǎn)A移動(dòng)，已知，且，求頂點(diǎn)A的軌跡方程解：取BC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以B()，利用正弦定理，從條件得，即由雙曲線定義知，點(diǎn)A的軌跡是B、C為焦點(diǎn)，焦距為4，實(shí)軸長為2，虛軸長為的雙曲線右支，點(diǎn)(1，0)除外，即軌跡方程為()變式訓(xùn)練3：已知雙曲線的一條漸近線方程為，兩條準(zhǔn)線的距離為l.（1）求雙曲線的方程；（2）直線l過坐標(biāo)原點(diǎn)O且和雙曲線交于兩點(diǎn)M、N，點(diǎn)P為雙曲線上異于M、N的一點(diǎn)，且直線PM，PN的斜率均存在，求kPM·kPN的值.（1）解：依題意有：可得雙曲線方程為 （2）解：設(shè)所以 例4. 設(shè)雙曲線C：的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，垂直于x軸的直線m與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)P、Q。（1）若直線m與x軸正半軸的交點(diǎn)為T，且，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；（2）求直線A1P與直線A2Q的交點(diǎn)M的軌跡E的方程；（3）過點(diǎn)F（1，0）作直線l與（）中的軌跡E交于不同的兩點(diǎn)A、B，設(shè)，若（T為（）中的點(diǎn)）的取值范圍。解：（1）由題，得，設(shè)則由 又在雙曲線上，則 聯(lián)立、，解得 由題意， 點(diǎn)T的坐標(biāo)為（2，0） 3分（2）設(shè)直線A1P與直線A2Q的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y）由A1、P、M三點(diǎn)共線，得 1分由A2、Q、M三點(diǎn)共線，得 1分聯(lián)立、，解得 1分在雙曲線上，軌跡E的方程為 1分（3）容易驗(yàn)證直線l的斜率不為0。故可設(shè)直線l的方程為 中，得 設(shè) 則由根與系數(shù)的關(guān)系，得 2分 有將式平方除以式，得 1分由 1分又故令 ，即 而 ， 變式訓(xùn)練4：)已知中心在原點(diǎn)，左、右頂點(diǎn)A1、A2在x軸上，離心率為的雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)P（6,6），動(dòng)直線l經(jīng)過A1PA2的重心G與雙曲線C交于不同兩點(diǎn)M、N，Q為線段MN的中點(diǎn).（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）當(dāng)直線l的斜率為何值時(shí)，。本小題考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)議程中各量之間關(guān)系，以及直線與雙曲線的位置關(guān)系。解（1）設(shè)雙曲線C的方程為又P（6,6）在雙曲線C上，由、解得所以雙曲線C的方程為。（2）由雙曲線C的方程可得所以A1PA2的重點(diǎn)G（2,2）設(shè)直線l的方程為代入C的方程，整理得整理得解得由，可得解得小結(jié)歸納由、，得5對(duì)于直線與雙曲線的位置關(guān)系，要注意“數(shù)形轉(zhuǎn)化”“數(shù)形結(jié)合”，既可以轉(zhuǎn)化為方程組的解的個(gè)數(shù)來確定，又可以把直線與雙曲線的漸近線進(jìn)行比較，從“形”的角度來判斷第3課時(shí) 拋 物 線基礎(chǔ)過關(guān)1拋物線定義：平面內(nèi)到 和 距離 的點(diǎn)的軌跡叫拋物線， 叫拋物線的焦點(diǎn)， 叫做拋物線的準(zhǔn)線(注意定點(diǎn)在定直線外，否則，軌跡將退化為一條直線)2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程 ，焦點(diǎn)為 ，準(zhǔn)線為 ，焦點(diǎn)為 ，準(zhǔn)線為 ，焦點(diǎn)為 ，準(zhǔn)線為 ，焦點(diǎn)為 ，準(zhǔn)線為 3拋物線的幾何性質(zhì)：對(duì)進(jìn)行討論 點(diǎn)的范圍： 、 對(duì)稱性：拋物線關(guān)于 軸對(duì)稱 離心率 焦半徑公式：設(shè)F是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上一點(diǎn)，則 焦點(diǎn)弦長公式：設(shè)AB是過拋物線焦點(diǎn)的一條弦(焦點(diǎn)弦)i) 若，則 ， ii) 若AB所在直線的傾斜角為(則 特別地，當(dāng)時(shí)，AB為拋物線的通徑，且 iii) SAOB （表示成P與的關(guān)系式）iv) 為定值，且等于 典型例題例1. 已知拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是x軸，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，求拋物線的方程和n的值解：設(shè)拋物線方程為，則焦點(diǎn)是F點(diǎn)A(3，n)在拋物線上，且| AF |5故解得P4，故所求拋物線方程為變式訓(xùn)練1：求頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是x軸，并且頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離等于6的拋物線方程解：因?yàn)閷?duì)稱軸是軸，可設(shè)拋物線方程為或 ，p12故拋物線方程為或例2. 已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B(1) 若，求直線l的方程(2) 求的最小值解：(1)解法一：設(shè)直線的方程為：代入整理得，設(shè)則是上述關(guān)于的方程的兩個(gè)不同實(shí)根，所以根據(jù)拋物線的定義知：| AB |若，則即直線有兩條，其方程分別為：解法二：由拋物線的焦點(diǎn)弦長公式|AB|(為AB的傾斜角)易知sin±，即直線AB的斜率ktan±，故所求直線方程為：或.(2) 由(1)知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，|AB|有最小值4解法二：由(1)知|AB| |AB|min4 (此時(shí)sin1，90°)變式訓(xùn)練2：過拋物線y24x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于5，則這樣的直線（ ）A有且僅有一條B有且僅有兩條C有無數(shù)條D不存在解：B例3. 若A(3，2)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，P為拋物線上任意一點(diǎn)，求的最小值及取得最小值時(shí)的P的坐標(biāo)解：拋物線的準(zhǔn)線方程為過P作PQ垂直于準(zhǔn)線于Q點(diǎn)，由拋物線定義得|PQ| PF |，| PF | PA | PA | PQ |要使| PA | PQ |最小，A、P、Q三點(diǎn)必共線，即AQ垂直于準(zhǔn)線，AQ與拋物線的交點(diǎn)為P點(diǎn)從而|PA|PF|的最小值為此時(shí)P的坐標(biāo)為(2，2)1.（2008·遼寧理，10）已知點(diǎn)P是拋物線y2=2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)（0，2）的距離與點(diǎn)P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為 .答案 變式訓(xùn)練3：一個(gè)酒杯的軸截面是拋物線的一部分，它的方程是x2，在杯內(nèi)放入一個(gè)玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑r的取值范圍是 。解：例4. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，兩點(diǎn)在拋物線y2x2上，l是AB的垂直平分線(1)當(dāng)且僅當(dāng)x1x2取何值時(shí)，直線l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F？證明你的結(jié)論？(2)當(dāng)直線l的斜率為2時(shí)，求在y軸上的截距的取值范圍解：(1)Fl|FA|FB|A、B兩點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離相等拋物線的準(zhǔn)線是x軸的平行線，y10，y20，依題意y1，y2不同時(shí)為0上述條件等價(jià)于y1y2(x1x2)(x1x2)0x1x2 x1x20即當(dāng)且僅當(dāng)x1x20時(shí)，l過拋物線的焦點(diǎn)F(2)設(shè)l在y軸上的截距為b，依題意得l的方程為y2xb，過點(diǎn)A、B的直線方程可寫為yxm所以x1、x2滿足方程：2x2xm0且x1x2，由于A、B為拋物線上不同的兩點(diǎn)，所以8m0，即m設(shè)AB之中點(diǎn)為N(x0，y0)，則x0y0x0mm由Nl得：mb于是bm即l在y軸上截距的取值范圍是(，)變式訓(xùn)練4：正方形ABCD中，一條邊AB在直線yx4上，另外兩頂點(diǎn)C、D在拋物線y2x上，求正方形的面積設(shè)C、D的坐標(biāo)分別為(y12，y1)，(y22，y2)( y1> y2)，則直線CD的斜率為1 1，即y1y21 又| CD |(y1y2)| BC |(y12y14恒正)由| CD | BC |，有(y1y2) 解、 得 y12或y13當(dāng)y12時(shí)，有| BC |3，此時(shí)SABCD18當(dāng)y13時(shí)，有| BC |5，此時(shí)SABCD50 正方形的面積為18或50小結(jié)歸納1求拋物線方程要注意頂點(diǎn)位置和開口方向，以便準(zhǔn)確設(shè)出方程，然后用待定系數(shù)法2利用好拋物線定義，進(jìn)行求線段和的最小值問題的轉(zhuǎn)化3涉及拋物線的弦的中點(diǎn)和弦長等問題要注意利用韋達(dá)定理，能避免求交點(diǎn)坐標(biāo)的復(fù)雜運(yùn)算4、解決焦點(diǎn)弦問題時(shí)，拋物線的定義有廣泛的應(yīng)用，應(yīng)注意焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì)基礎(chǔ)過關(guān)第4課時(shí) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，常用研究方法是將曲線方程與直線方程聯(lián)立，由所得方程組的解的個(gè)數(shù)來決定，一般地，消元后所得一元二次方程的判別式記為，>0時(shí)，有兩個(gè)公共點(diǎn)，0時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn)，<0時(shí)，沒有公共點(diǎn)但當(dāng)直線方程與曲線方程聯(lián)立的方程組只有一組解（即直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)）時(shí)，直線與曲線未必相切，在判定此類情形時(shí)，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合（對(duì)于雙曲線，重點(diǎn)注意與漸近線平行的直線，對(duì)于拋物線，重點(diǎn)注意與對(duì)稱軸平行的直線）2直線與圓錐曲線的交點(diǎn)間的線段叫做圓錐曲線的弦設(shè)弦AB端點(diǎn)的坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2),直線AB的斜率為k，則：AB=或：利用這個(gè)公式求弦長時(shí)，要注意結(jié)合韋達(dá)定理當(dāng)弦過圓錐曲線的焦點(diǎn)時(shí)，可用焦半徑進(jìn)行運(yùn)算3中點(diǎn)弦問題：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)是橢圓上不同的兩點(diǎn)，且x1x2，x1x20，M(x0，y0)為AB的中點(diǎn)，則 兩式相減可得即 對(duì)于雙曲線、拋物線，可得類似的結(jié)論典型例題例1. 直線yax1與雙曲線3x2y21相交于A、B兩點(diǎn)(1) 當(dāng)a為何值時(shí)，A、B兩點(diǎn)在雙曲線的同一支上？當(dāng)a為何值時(shí)，A、B兩點(diǎn)分別在雙曲線的兩支上？(2) 當(dāng)a為何值時(shí)，以AB為直徑的圓過原點(diǎn)？解： 消去y(1) 聯(lián)立 (3a2)x22ax20 顯然a23，否則方程只有一解，于是直線與雙曲線至多一個(gè)交點(diǎn)若交點(diǎn)A、B在雙曲線同支上，則方程滿足：a(，)(，)若A、B分別在雙曲線的兩支上，則有：a(，)(2) 若以AB為直徑的圓過點(diǎn)O，則OAOB，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)由于x1x2，x1x2y1y2(ax11)(ax21)a(x1x2)a2x1x21a2·a·11OAOB x1x2y1y20 1a±1此時(shí)0，符合要求變式訓(xùn)練1：已知直線y(a1)x1與曲線y2ax恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值.解：聯(lián)立方程為(1) 當(dāng)a0時(shí)，此時(shí)方程組恰有一組解 (2) 當(dāng)a0時(shí)，消去x得 若0，即a1方程變?yōu)橐淮畏匠?，y10，方程組恰有一組解 若0，即a1，令0得1，解得a此時(shí)直線與曲線相切，恰有一個(gè)公共點(diǎn)，綜上所述知，當(dāng)a0，1，時(shí)，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)例2. 已知雙曲線方程2x2y22.(1) 求以A(2,1)為中點(diǎn)的雙曲線的弦所在直線方程；(2) 過點(diǎn)B(1,1)能否作直線l，使l與所給雙曲線交于Q1、Q2兩點(diǎn)，且點(diǎn)B是弦Q1Q2的中點(diǎn)？這樣的直線l如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由解：(1)即設(shè)的中點(diǎn)弦兩端點(diǎn)為，則有關(guān)系又據(jù)對(duì)稱性知，所以是中點(diǎn)弦所在直線的斜率，由、在雙曲線上，則有關(guān)系兩式相減是： 所求中點(diǎn)弦所在直線為，即(2)可假定直線存在，而求出的方程為，即方法同(1)，聯(lián)立方程，消去y,得然而方程的判別式，無實(shí)根，因此直線與雙曲線無交點(diǎn)，這一矛盾說明了滿足條件的直線不存在變式訓(xùn)練2：若橢圓的弦被點(diǎn)（4，2）平分，則此弦所在直線的斜率為（ ）A2 B2 C D 解：D例3. 在拋物線y24x上恒有兩點(diǎn)關(guān)于直線ykx3對(duì)稱，求k的取值范圍解法一：設(shè)、關(guān)于直線對(duì)稱，直線方程為，代入得，設(shè)、，中點(diǎn)，則 點(diǎn)在直線上，代入，得，即解得解法二：設(shè)，關(guān)于對(duì)稱，中點(diǎn)，則相減得：，則 在拋物線內(nèi)部，化簡而得，即，解得變式訓(xùn)練3：設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)P（2，1）的直線l與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，又知點(diǎn)P恰為AB的中點(diǎn)，則 .解：8例4. 已知橢圓1(a為常數(shù)，且a>1)，向量(1, t) (t >0)，過點(diǎn)A(a, 0)且以為方向向量的直線與橢圓交于點(diǎn)B，直線BO交橢圓于點(diǎn)C（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）(1) 求t表示ABC的面積S( t )；(2) 若a2，t, 1，求S( t )的最大值CAOBxy解：(1) 直線AB的方程為：yt(xa)，由 得 y0或y 點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為 S(t)SABC2SAOB|OA|·yB(2) 當(dāng)a2時(shí)，S(t) t，1， 4t24當(dāng)且僅當(dāng)4t，t時(shí)，上式等號(hào)成立. S(t)2即S(t)的最大值S(t)max2變式訓(xùn)練4：設(shè)橢圓C：的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)A作垂直于AF的直線交橢圓C于另外一點(diǎn)P，交x軸正半軸于點(diǎn)Q， 且 （1）求橢圓C的離心率； （2）若過A、Q、F三點(diǎn)的圓恰好與直線l： APQFOxy相切，求橢圓C的方程. 解：設(shè)Q（x0，0），由F（-c，0）A（0，b）知2分設(shè)，得因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以整理得2b2=3ac，即2（a2c2）=3ac，,故橢圓的離心率e由知，于是F（a，0）， QAQF的外接圓圓心為（a，0），半徑r=|FQ|=a所以，解得a=2，c=1，b=，小結(jié)歸納所求橢圓方程為小結(jié)歸納1判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，注意數(shù)形結(jié)合；用判別式的方法時(shí)，若所得方程二次項(xiàng)的系數(shù)有參數(shù)，則需考慮二次項(xiàng)系數(shù)為零的情況2涉及中點(diǎn)弦的問題有兩種常用方法：一是“設(shè)而不求”的方法，利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作差構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系，它能簡化計(jì)算；二是利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式對(duì)于存在性問題，還需用判別式進(jìn)一步檢驗(yàn)3對(duì)稱問題，要注意兩點(diǎn)：垂直和中點(diǎn)圓錐曲線單元測試題一、選擇題1 中心在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x±4，離心率為的橢圓方程是 （ ）ABC D2 AB是拋物線y22x的一條焦點(diǎn)弦，|AB|4，則AB中點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是 （ ）A2BCD3 若雙曲線的一條準(zhǔn)線與拋物線y28x的準(zhǔn)線重合，則雙曲線的離心率為 （ ）ABC4D4 已知拋物線y2x2上兩點(diǎn)A(x1，y1), B(x2，y2)關(guān)于直線yxm對(duì)稱，且x1x2, 那么m的值等于（ ）A B C 2 D35已知雙曲線x21的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)M在雙曲線上且0，則點(diǎn)M到x軸的距離為 （ ）A BC D6點(diǎn)P(3，1)在橢圓(a>b>0)的左準(zhǔn)線上，過點(diǎn)P且方向?yàn)?2,5)的光線，經(jīng)直線y2反射后通過橢圓的左焦點(diǎn)，則這個(gè)橢圓的離心率為（ ）A BC D 7 橢圓上有n個(gè)不同的點(diǎn)：P1，P2，Pn，橢圓的右焦點(diǎn)為F，數(shù)列|PnF|是公差大于的等差數(shù)列，則n的最大值是（ ）A198 B199C200 D2018 過點(diǎn)(4, 0)的直線與雙曲線的右支交于A、B兩點(diǎn)，則直線AB的斜率k的取值范圍是（ ）A| k |1B| k | >C| k |D| k | < 19 已知為三角形的一個(gè)內(nèi)角，且sincos，則方程x2siny2cos1表示 （ ）A焦點(diǎn)在x軸上的橢圓B焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線D焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線10下列圖中的多邊形均為正多邊形，M、N是所在邊上的中點(diǎn)，雙曲線均以圖中的F1、F2為焦點(diǎn)，設(shè)圖、中的雙曲線離心率分別為e1、e2、e3，則（ ）MNF1F2F1F2F2F1MNNMAe1 > e2 > e3 Be1 < e2 < e3 Ce1e2 < e3 De1e2 > e3 二、填空題11拋物線yx2上到直線2xy4的距離最近的點(diǎn)是 .12雙曲線3x24y212x8y40按向量平移后的雙曲線方程為，則平移向量 13P在以F1、F2為焦點(diǎn)的雙曲線上運(yùn)動(dòng)，則F1F2P的重心G的軌跡方程是14橢圓中，以M(1，2)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程為 .15以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中： 設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，若，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線； 過定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)弦AB、O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若()，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓； 方程2x25x20的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率； 雙曲線與有相同的焦點(diǎn)其中真命題的序號(hào)為 （寫出所有真命題的序號(hào)）三、解答題16已知雙曲線的離心率為2，它的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，P為雙曲線上的一點(diǎn)，且F1PF260°，PF1F2的面積為，求雙曲線的方程17已知?jiǎng)訄AC與定圓x2y21內(nèi)切,與直線x3相切.(1) 求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程；(2) 若Q是上述軌跡上一點(diǎn)，求Q到點(diǎn)P(m,0)距離的最小值.18如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線在軸和軸上的截距分別是和，且交拋物線于、兩點(diǎn) (1) 寫出直線的截距式方程； (2) 證明：； (3) 當(dāng)時(shí)，求的大小xyOMlaNb19設(shè)x，yR，,為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x軸，y軸正方向上的單位向量，若x(y2)，x(y2)，且|8(1) 求動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程(2) 設(shè)曲線C上兩點(diǎn)A、B，滿足(1)直線AB過點(diǎn)（0，3），(2) 且OAPB為矩形，求直線AB方程.20動(dòng)圓M過定點(diǎn)A(，0)，且與定圓A´：(x)2y212相切(1)求動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程；(2)過點(diǎn)P(0，2)的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)E、F，求的取值范圍21已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是F1(c, 0)、F2(c, 0)，Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足，點(diǎn)P是線段F1Q與橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段F2Q上，并且滿足0，0(1) 設(shè)x為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，證明；(2) 求點(diǎn)T的軌跡C的方程；(3) 試問：在點(diǎn)T的軌跡C上，是否存在點(diǎn)M，使F1MF2的面積Sb2 ？若存在，求F1MF2的正切值，若不存在，請(qǐng)說明理由xyQPOF1F2圓錐曲線單元測試題答案1.B 2. C 3. A 4. B 5. C 6. A 7. C 8. B 9. B 10. D 11. (1，1) 12. (2，1) 13. 14. 9x32y730 15. 16. 解：以焦點(diǎn)F1、F2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，如右圖所示：設(shè)雙曲線方程為：0F1F2xyP60°依題意有： 解之得：a24，c216，b212故所求雙曲線方程為：17解：(1) 設(shè)則C與O內(nèi)切，即軌跡方程為(2) 設(shè)，則當(dāng)，即時(shí) 當(dāng)，即時(shí)，18解：(1) (2) 由直線方程及拋物線方程可得：by22pay2pab0故 所以(3) 設(shè)直線OM，ON的斜率分別為k1，k2則.當(dāng)a2p時(shí)，知y1y24p2，x1x24p2所以，k1k21，即MON90°19( 1 ) 解：令M(x，y)，F(xiàn)1(0,2)，F(xiàn)2(0，2)則，即|，即|8又 42c， c2，a4，b212所求軌跡方程為 ( 2) 解：由條件(2)可知OAB不共線，故直線AB的斜率存在，設(shè)AB方程為ykx3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 (3k24)x218kx210x1x2 x1·x2y1·y2(kx13) (kx23)k2 x1x23k(x1x2)9 OAPB為矩形， OAOB 0 x1x2y1y20 得k±所求直線方程為y±x3xyFA(,0)EMP(0, 2)A´(,0)20解：(1)A´(，0)，依題意有|MA´|2|MA´|MA|2 2點(diǎn)M的軌跡是以A´、A為焦點(diǎn)，2為長軸上的橢圓，a，c b21因此點(diǎn)M的軌跡方程為(2) 解法一：設(shè)l的方程為xk(y2)代入，消去x得：(k23)y24k2y4k230由0得16k4(4k23)(k23)0 0k21設(shè)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，則y1y2，y1y2又(x1，y12)，(x2，y22)·x1x2(y12)(y22)k(y12)·k (y22) (y12)(y22)(1k2)0k21 3k234 ·解法二：設(shè)過P(0，2)的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，為直線l的傾角)代入中并整理得：(12sin2)t212sin·t90由122sin236(12sin2)0得：sin2 又t1t2··cos0°|PE|·|PF|t1t2由sin21得：·21(1) 證法一：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)xyQPOF1F2T由P(x，y)在橢圓上，得