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第五章 不等式、推理與證明、算法初步與復數
考點測試33 不等關系與不等式
高考概覽
考綱研讀
1．了解現實世界和日常生活中的不等關系
2．了解不等式(組)的實際背景
3．掌握不等式的性質及應用
一、基礎小題
1．若A＝(x＋3)(x＋7)，B＝(x＋4)(x＋6)，則A，B的大小關系為( )
A．A
B D．不確定
答案 A
解析 因為(x＋3)(x＋7)－(x＋4)(x＋6)
＝(x2＋10x＋21)－(x2＋10x＋24)＝－3<0，
故Am－5；②5－m>3－m；③5m>3m；④5＋m>5－m．其中正確的有( )
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
答案 B
解析 顯然①②正確；對③，m≤0時不成立；對④，m≤0時不成立．故選B．
3．設a，b∈R，若p：a B．>
C．ac>bc D．a20，故A正確；由a0時，由a|b|，即a2>b2，故D錯誤．故選A．
5．設a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，則A，B的大小關系是( )
A．A≤B B．A≥B
C．AB
答案 B
解析 由題意，得B2－A2＝－2≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B．故選B．
6．若a＞b＞0，c＜d＜0，則一定有( )
A．ac＞bd B．ac＜bd
C．ad＜bc D．ad＞bc
答案 B
解析 根據c＜d＜0，有－c＞－d＞0，由于a＞b＞0，故－ac＞－bd，ac＜bd．故選B．
7．已知a0，b的符號不定，對于aac B．c(b－a)>0
C．cb20，由c0知A一定正確；由b0，故ax＋by＋cz>az＋by＋cx；同理，ay＋bz＋cx－(ay＋bx＋cz)＝b(z－x)＋c(x－z)＝(x－z)(c－b)<0，故ay＋bz＋cxb，c>0，則<；②若ac2>bc2，則a>b；③若a>b，c≠0，則ac2>bc2；④若a0，b<0，
∴ab<0即ab4，x－ay≤2}，則( )
A．對任意實數a，(2，1)∈A
B．對任意實數a，(2，1)?A
C．當且僅當a<0時，(2，1)?A
D．當且僅當a≤時，(2，1)?A
答案 D
解析 若(2，1)∈A，則有解得a>．結合四個選項，只有D說法正確．故選D．
15．(2017山東高考)若a＞b＞0，且ab＝1，則下列不等式成立的是( )
A．a＋＜＜log2(a＋b)
B．＜log2(a＋b)＜a＋
C．a＋＜log2(a＋b)＜
D．log2(a＋b)＜a＋＜
答案 B
解析 (特殊值法)令a＝2，b＝，可排除A，C，D．故選B．
16．(2016北京高考)已知x，y∈R，且x>y>0，則( )
A．－>0 B．sinx－siny>0
C．x－y<0 D．ln x＋ln y>0
答案 C
解析 函數y＝x在(0，＋∞)上為減函數，∴當x>y>0時，xy>0?y>0時，不能比較sinx與siny的大小，故B錯誤；x>y>0xy>1ln (xy)>0ln x＋ln y>0，故D錯誤．
17．(2016浙江高考)已知實數a，b，c．( )
A．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2＋c|≤1，則a2＋b2＋c2<100
B．若|a2＋b＋c|＋|a2＋b－c|≤1，則a2＋b2＋c2<100
C．若|a＋b＋c2|＋|a＋b－c2|≤1，則a2＋b2＋c2<100
D．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2－c|≤1，則a2＋b2＋c2<100
答案 D
解析 利用特殊值法驗證．令a＝3，b＝3，c＝－11．5，排除A；令a＝4，b＝－15．5，c＝0，排除B；令a＝11，b＝－10．5，c＝0，排除C．由1≥|a2＋b＋c|＋|a＋b2－c|≥|a2＋a＋b2＋b|得－1≤a2＋a＋b2＋b≤1，即－≤a＋2＋b＋2≤，所以a＋2≤，－2<－－|c|－2－4，
得|c|<7．
所以a2＋b2＋c2<4＋4＋49＝57<100．故選D．
18．(2015湖北高考)設x∈R，[x]表示不超過x的最大整數．若存在實數t，使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[tn]＝n同時成立，則正整數n的最大值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 B
解析 若n＝3，則即
得9≤t6<16，即當≤t<時，有[t]＝1，[t2]＝2，[t3]＝3，∴n＝3符合題意．
若n＝4，則即
得34≤t12<53，即當≤t<時，有[t]＝1，[t2]＝2，[t3]＝3，[t4]＝4，故n＝4符合題意．
若n＝5，則即?、?
∵63<35，∴<，故①式無解，即n＝5不符合題意，則正整數n的最大值為4．
三、模擬小題
19．(2019河南百校聯盟模擬)設a，b∈R，則“(a－b)a2≥0”是“a≥b”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 B
解析 由(a－b)a2≥0，解得a≥b，或a＝0，b∈R，因為a2≥0，a≥b，所以(a－b)a2≥0，故“(a－b)a2≥0”是“a≥b”的必要不充分條件．
20．(2018河南六市模擬)若<<0，則下列結論不正確的是( )
A．a2|a＋b|
答案 D
解析 ∵<<0，∴ba2，aby的一個充分不必要條件是( )
A．|x|>|y| B．x2>y2
C．> D．x3>y3
答案 C
解析 由|x|>|y|，x2>y2未必能推出x>y，排除A，B；由>可推出x>y，反之，未必成立，而x3>y3是x>y的充要條件，故選C．
22．(2018山東煙臺模擬)下列四個命題中，為真命題的是( )
A．若a>b，則ac2>bc2
B．若a>b，c>d，則a－c>b－d
C．若a>|b|，則a2>b2
D．若a>b，則<
答案 C
解析 當c＝0時，A不成立；2>1，3>－1，而2－3<1－(－1)，故B不成立；a＝2，b＝－1時，D不成立；由a>|b|知a>0，所以a2>b2，故選C．
23．(2018安徽淮北一中模擬)若ab2；②|1－a|>|b－1|；③>>．其中正確的個數是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 D
解析 由于a|b|>0，a2>b2，故a2＋1>b2，①正確；－a>－b>0，－a＋1>－b＋1>1，故|1－a|>|b－1|，②正確；a＋b>，③正確，故選D．
24．(2018安徽合肥質檢)下列三個不等式：①x＋≥2(x≠0)；②<(a>b>c>0)；③>(a，b，m>0且ab>c>0得<，所以<成立，所以②恒成立；－＝，由a，b，m>0且a0恒成立，故③恒成立，故選B．
25．(2018山東德州月考)已知實數a，b，c滿足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，則a，b，c的大小關系為( )
A．a0，所以b＝1＋a2>a，所以ab>1，則下列不等式成立的是( )
A．aln b>bln a B．aln bbea
答案 C
解析 觀察A，B兩項，實際上是在比較和的大小，引入函數y＝，x>1．則y′＝，可見函數y＝在(1，e)上單調遞增，在(e，＋∞)上單調遞減．函數y＝在(1，＋∞)上不單調，所以函數在x＝a和x＝b處的函數值無法比較大?。畬τ贑，D兩項，引入函數f(x)＝，x>1，則f′(x)＝＝>0，所以函數f(x)＝在(1，＋∞)上單調遞增，又因為a>b>1，所以f(a)>f(b)，即>，所以aebb>0，試比較與的大?。?
解 解法一(作差法)：
－＝
＝＝．
因為a>b>0，所以a＋b>0，a－b>0，2ab>0．
所以>0，所以>．
解法二(作商法)：
因為a>b>0，所以>0，>0．
所以＝＝＝1＋>1．
所以>．
2．(2018四川綿陽檢測)設00且a≠1，比較|loga(1－x)|與|loga(1＋x)|的大小．
解 解法一：當a>1時，由00，
∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|
＝－loga(1－x)－loga(1＋x)＝－loga(1－x2)，
∵0<1－x2<1，
∴l(xiāng)oga(1－x2)<0，從而－loga(1－x2)>0，
故|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|．
當0|loga(1＋x)|．
解法二(平方作差)：
|loga(1－x)|2－|loga(1＋x)|2
＝[loga(1－x)]2－[loga(1＋x)]2
＝loga(1－x2)loga
＝loga(1－x2)loga>0．
∴|loga(1－x)|2>|loga(1＋x)|2，
故|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|．
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