新版金版教程高考數(shù)學(xué)文二輪復(fù)習(xí)講義：第二編 專題整合突破 專題八系列4選講 第一講 選修4－4坐標(biāo)系與參數(shù)方程 Word版含解析

1 1專題八系列4選講第一講(選修44)坐標(biāo)系與參數(shù)方程必記公式直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化公式把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸正半軸作為極軸，并在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(，)，則重要結(jié)論1圓的極坐標(biāo)方程(1)若圓心為M(0，0)，半徑為r，則圓的方程為：220cos(0)r20.(2)幾個(gè)特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程當(dāng)圓心位于極點(diǎn)，半徑為r：r；當(dāng)圓心位于M(a,0)，半徑為a：2acos；當(dāng)圓心位于M，半徑為a：2asin.2直線的極坐標(biāo)方程(1)若直線過點(diǎn)M(0，0)，且極軸到此直線的角為，則它的方程為：sin()0sin(0)(2)幾個(gè)特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程直線過極點(diǎn)：0和0；直線過點(diǎn)M(a,0)且垂直于極軸：cosa；直線過M且平行于極軸：sinb.3幾種常見曲線的參數(shù)方程(1)圓以O(shè)(a，b)為圓心，r為半徑的圓的參數(shù)方程是其中是參數(shù)當(dāng)圓心在(0,0)時(shí)，方程為其中是參數(shù)(2)橢圓橢圓1(a>b>0)的參數(shù)方程是其中是參數(shù)橢圓1(a>b>0)的參數(shù)方程是其中是參數(shù)(3)直線經(jīng)過點(diǎn)P0(x0，y0)，傾斜角為的直線的參數(shù)方程是其中t是參數(shù)4直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義過定點(diǎn)M0(x0，y0)，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).通常稱為直線l的參數(shù)方程的“標(biāo)準(zhǔn)式”其中參數(shù)t的幾何意義是：|t|是直線上任一點(diǎn)M(x，y)到M0(x0，y0)的距離，即|M0M|t|.當(dāng)0<<時(shí)，sin>0，所以，直線l的單位方向向量e的方向總是向上此時(shí)，若t>0，則的方向向上；若t<0，則的方向向下；若t0，則點(diǎn)M與點(diǎn)M0重合，即當(dāng)點(diǎn)M在M0上方時(shí)，有t|；當(dāng)點(diǎn)M在M0下方時(shí)，有t|.失分警示1極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的前提是把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸正半軸作為極軸，且在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位2在將曲線的參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，不僅僅是要把其中的參數(shù)消去，還要注意其中的x、y的取值范圍，即在消去參數(shù)的過程中一定要注意普通方程與參數(shù)方程的等價(jià)性考點(diǎn)極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用典例示法典例1已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為2sin.(1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；(2)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)(0,0<2)解(1)將消去參數(shù)t，化為普通方程(x4)2(y5)225，即C1：x2y28x10y160.將代入x2y28x10y160得28cos10sin160.所以C1的極坐標(biāo)方程為28cos10sin160.(2)C2的普通方程為x2y22y0.由解得或所以C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，. 解決極坐標(biāo)系問題的策略(1)如果題目中曲線的極坐標(biāo)方程比較容易化成直角坐標(biāo)方程，則可以統(tǒng)一轉(zhuǎn)化到直角坐標(biāo)系中，利用直角坐標(biāo)系的定理、公式解題(2)如果題目中曲線的極坐標(biāo)方程比較復(fù)雜，不方便化成直角坐標(biāo)方程或者極坐標(biāo)系中的極角、極徑關(guān)系比較明顯，比如已知兩個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)，求兩個(gè)點(diǎn)間的距離，則可以直接利用已知的極角、極徑結(jié)合余弦定理求距離針對(duì)訓(xùn)練20xx·衡陽聯(lián)考在極坐標(biāo)系中，曲線C：2acos(a>0)，l：cos，C與l有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)(1)求a；(2)O為極點(diǎn)，A，B為曲線C上的兩點(diǎn)，且AOB，求|OA|OB|的最大值解(1)曲線C：2acos(a>0)，變形22acos，化為x2y22ax，即(xa)2y2a2.曲線C是以(a,0)為圓心，以a為半徑的圓；由l：cos，展開為cossin，l的直角坐標(biāo)方程為xy30.由題可知直線l與圓C相切，即a，解得a1.(2)不妨設(shè)A的極角為，B的極角為，則|OA|OB|2cos2cos3cossin2cos，當(dāng)時(shí)，|OA|OB|取得最大值2.考點(diǎn)參數(shù)方程及其應(yīng)用典例示法典例220xx·全國卷已知曲線C：1，直線l：(t為參數(shù))(1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；(2)過曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值解(1)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))直線l的普通方程為2xy60.(2)曲線C上任意一點(diǎn)P(2cos，3sin)到l的距離為d|4cos3sin6|.則|PA|5sin()6|，其中為銳角，且tan.當(dāng)sin()1時(shí)，|PA|取得最大值，最大值為.當(dāng)sin()1時(shí)，|PA|取得最小值，最小值為.1參數(shù)方程化為普通方程消去參數(shù)的方法(1)代入消參法：將參數(shù)解出來代入另一個(gè)方程消去參數(shù)，直線的參數(shù)方程通常用代入消參法(2)三角恒等式法：利用sin2cos21消去參數(shù)，圓的參數(shù)方程和橢圓的參數(shù)方程都是運(yùn)用三角恒等式法(3)常見消參數(shù)的關(guān)系式：t·1；224；221.2參數(shù)方程表示的曲線的綜合問題的求解思路(1)可以統(tǒng)一成普通方程處理(2)利用參數(shù)方程中參數(shù)解決問題，如利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義解決與距離有關(guān)的問題，利用圓錐曲線參數(shù)方程中的參數(shù)角解決與最值相關(guān)的問題針對(duì)訓(xùn)練20xx·唐山統(tǒng)考將曲線C1：x2y21上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)得到曲線C2，A為C1與x軸正半軸的交點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)A且傾斜角為30°，記l與曲線C1的另一個(gè)交點(diǎn)為B，與曲線C2在第一、三象限的交點(diǎn)分別為C，D.(1)寫出曲線C2的普通方程及直線l的參數(shù)方程；(2)求|AC|BD|.解(1)由題意可得C2：y21，l：(t為參數(shù))(2)將代入y21，整理得5t24t40.設(shè)點(diǎn)C，D對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1t2，且|AC|t1，|AD|t2.又|AB|2|OA|cos30°，故|AC|BD|AC|(|AD|AB|)|AC|AD|AB|t1t2.考點(diǎn)極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用典例示法典例320xx·全國卷在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：(t為參數(shù)，t0)，其中0<.在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：2sin，C3：2cos.(1)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；(2)若C1與C2相交于點(diǎn)A，C1與C3相交于點(diǎn)B，求|AB|的最大值解(1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2y22y0，曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2y22x0.聯(lián)立解得或所以C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,0)和.(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為(R，0)，其中0<.因此A的極坐標(biāo)為(2sin，)，B的極坐標(biāo)為(2cos，)所以|AB|2sin2cos|4.當(dāng)時(shí)，|AB|取得最大值，最大值為4.解決極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程綜合問題的方法與極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程相關(guān)的問題往往涉及直線、圓、橢圓，處理的基本思路是把它們化為直角坐標(biāo)方程或普通方程，利用直角坐標(biāo)方程或普通方程解決實(shí)際問題，另外若涉及有關(guān)最值或參數(shù)范圍問題時(shí)可利用參數(shù)方程，化為三角函數(shù)的最值問題處理針對(duì)訓(xùn)練20xx·西安質(zhì)檢在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為sin4.(1)求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程(2)設(shè)P為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到C2上點(diǎn)的距離的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)解(1)對(duì)于曲線C1有則2y2cos2sin21，即C1的普通方程為y21.對(duì)于曲線C2有sin(cossin)4cossin8xy80，所以C2的直角坐標(biāo)方程為xy80.(2)顯然橢圓C1與直線C2無公共點(diǎn)，橢圓上點(diǎn)P(cos，sin)到直線xy80的距離為d，當(dāng)sin1時(shí)，d取最小值為3，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.全國卷高考真題調(diào)研120xx·全國卷在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為(x6)2y225.(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程；(2)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|，求l的斜率解(1)由xcos，ysin可得圓C的極坐標(biāo)方程為212cos110.(2)在(1)中建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為(R)設(shè)A，B所對(duì)應(yīng)的極徑分別為1，2，將l的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得212cos110.于是1212cos，1211.|AB|12|.由|AB|得cos2，tan±.所以l的斜率為或.220xx·全國卷在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x2，圓C2：(x1)2(y2)21，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程；(2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為(R)，設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M，N，求C2MN的面積解(1)因?yàn)閤cos，ysin，所以C1的極坐標(biāo)方程為cos2，C2的極坐標(biāo)方程為22cos4sin40.(2)將代入22cos4sin40，得2340，解得12，2.故12，即|MN|.由于C2的半徑為1，所以C2MN的面積為.320xx·全國卷在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為2cos，.(1)求C的參數(shù)方程；(2)設(shè)點(diǎn)D在C上，C在D處的切線與直線l：yx2垂直，根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標(biāo)解(1)C的普通方程為(x1)2y21(0y1)可得C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0t)(2)設(shè)D(1cost，sint)由(1)知C是以G(1,0)為圓心，1為半徑的上半圓因?yàn)镃在點(diǎn)D處的切線與l垂直，所以直線GD與l的斜率相同，tant，t.故D的直角坐標(biāo)為，即.其它省市高考題借鑒420xx·北京高考在極坐標(biāo)系中，直線cossin10與圓2cos交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|_.答案2解析將cossin10化為直角坐標(biāo)方程為xy10，將2cos化為直角坐標(biāo)方程為(x1)2y21，圓心坐標(biāo)為(1,0)，半徑r1，又(1,0)在直線xy10上，所以|AB|2r2.520xx·湖北高考在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系已知直線l的極坐標(biāo)方程為(sin3cos)0，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，l與C相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|_.答案2解析因?yàn)?sin3cos)0，所以sin3cos，所以y3x0，即y3x.由消去t得y2x24.由解得或不妨令A(yù)，B，由兩點(diǎn)間的距離公式得|AB|2.620xx·湖南高考已知直線l：(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為2cos.(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(5，)，直線l與曲線C的交點(diǎn)為A，B，求|MA|·|MB|的值解(1)2cos等價(jià)于22cos.將2x2y2，cosx代入，即得曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2y22x0.(2)將代入，得t25t180.設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根分別為t1，t2，則由參數(shù)t的幾何意義即知，|MA|·|MB|t1t2|18.120xx·合肥質(zhì)檢在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：(為參數(shù))，在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l：sincosm.(1)若m0時(shí)，判斷直線l與曲線C的位置關(guān)系；(2)若曲線C上存在點(diǎn)P到直線l的距離為，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解(1)曲線C的普通方程為：(x1)2(y1)22，是一個(gè)圓；當(dāng)m0時(shí)，直線l的直角坐標(biāo)方程為：xy0，圓心C到直線l的距離為dr，r為圓C的半徑，所以直線l與圓C相切(2)由已知可得，圓心C到直線l的距離為d，解得1m5.220xx·湖南四校聯(lián)考已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為4sin.(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程；(2)若P(x，y)是直線l與圓面4sin的公共點(diǎn)，求xy的取值范圍解(1)因?yàn)閳AC的極坐標(biāo)方程為4sin，所以24sin4又2x2y2，xcos，ysin，所以x2y22y2x，所以圓C的普通方程為x2y22x2y0.(2)設(shè)zxy，由圓C的方程x2y22x2y0(x1)2(y)24，所以圓C的圓心是(1，)，半徑是2，將代入zxy得zt.又直線l過C(1，)，圓C的半徑是2，所以2t2，所以2t2，即xy的取值范圍是2,2320xx·山西質(zhì)檢已知曲線C1：xy和C2：(為參數(shù))以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，且兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位(1)把曲線C1和C2的方程化為極坐標(biāo)方程；(2)設(shè)C1與x，y軸交于M，N兩點(diǎn)，且線段MN的中點(diǎn)為P.若射線OP與C1，C2交于P，Q兩點(diǎn)，求P，Q兩點(diǎn)間的距離解(1)C1：sin，C2：2.(2)M(，0)，N(0,1)，P，OP的極坐標(biāo)方程為，把代入sin得11，P.把代入2得22，Q.|PQ|21|1，即P，Q兩點(diǎn)間的距離為1.420xx·長春質(zhì)量監(jiān)測在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t是參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為8cos.(1)求曲線C2的直角坐標(biāo)方程，并指出其表示何種曲線；(2)若曲線C1和曲線C2交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的最大值和最小值解(1)對(duì)于曲線C2有8cos，即24cos4sin，因此曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2y24x4y0，其表示一個(gè)圓(2)聯(lián)立曲線C1與曲線C2的方程可得：t22sin·t130，|AB|t1t2|，因此|AB|的最小值為2，最大值為8.520xx·河南六市一聯(lián)在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，在以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；(2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求AOB的面積解(1)由曲線C的極坐標(biāo)方程，得2sin22cos，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程是y22x.由直線l的參數(shù)方程得t3y，代入x1t中，消去t得xy40，所以直線l的普通方程為xy40.(2)將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程y22x，得t28t70，設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1t28，t1t27，所以|AB|t1t2|××6，因?yàn)樵c(diǎn)到直線xy40的距離d2，所以AOB的面積是|AB|·d×6×212.620xx·貴陽監(jiān)測極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xOy有相同的長度單位，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，曲線C1的極坐標(biāo)方程為4cos(0)，曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0<)，射線，與曲線C1分別交于(不包括極點(diǎn)O)點(diǎn)A、B、C.(1)求證：|OB|OC|OA|；(2)當(dāng)時(shí)，B、C兩點(diǎn)在曲線C2上，求m與的值解(1)證明：依題意|OA|4cos，|OB|4cos，|OC|4cos，則|OB|OC|4cos4cos2(cossin)2(cossin)4cos|OA|.(2)當(dāng)時(shí)，B、C兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為、，化為直角坐標(biāo)為B(1，)、C(3，)，所以經(jīng)過點(diǎn)B、C的直線方程為y(x1)，而C2是經(jīng)過點(diǎn)(m,0)且傾斜角為的直線，故m2，.720xx·重慶測試在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為sin2.(1)求曲線C和直線l在該直角坐標(biāo)系下的普通方程；(2)動(dòng)點(diǎn)A在曲線C上，動(dòng)點(diǎn)B在直線l上，定點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2)，求|PB|AB|的最小值解(1)由曲線C的參數(shù)方程可得，(x1)2y2cos2sin21，所以曲線C的普通方程為(x1)2y21.由直線l的極坐標(biāo)方程：sin2，可得(sincos)4，即xy4.(2)設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為Q(a，b)，則解得由(1)知，曲線C為圓，圓心坐標(biāo)為C(1,0)，故|PB|AB|QB|AB|QC|11.當(dāng)Q，B，A，C四點(diǎn)共線，且A在B，C之間時(shí)，等號(hào)成立，所以|PB|AB|的最小值為1.820xx·全國卷在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a>0)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：4cos.(1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；(2)直線C3的極坐標(biāo)方程為0，其中0滿足tan02，若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上，求a.解(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程x2(y1)2a2.C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓將xcos，ysin代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標(biāo)方程為22sin1a20.(2)曲線C1，C2的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組若0，由方程組得16cos28sincos1a20，由已知tan2，可得16cos28sincos0，從而1a20，解得a1(舍去)或a1.a1時(shí)，極點(diǎn)也為C1，C2的公共點(diǎn)，在C3上所以a1.