新編高考數(shù)學文二輪復習教師用書：第1部分 重點強化專題 專題4 突破點10 空間中的平行與垂直關系 Word版含答案

突破點10空間中的平行與垂直關系核心知識提煉提煉1 異面直線的性質(zhì)(1)異面直線不具有傳遞性注意不能把異面直線誤解為分別在兩個不同平面內(nèi)的兩條直線或平面內(nèi)的一條直線與平面外的一條直線(2)異面直線所成角的范圍是，所以空間中兩條直線垂直可能為異面垂直或相交垂直(3)求異面直線所成角的一般步驟為：找出(或作出)適合題設的角用平移法；求轉(zhuǎn)化為在三角形中求解；結(jié)論由所求得的角或其補角即為所求.提煉2 平面與平面平行的常用性質(zhì)(1)夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等(2)經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行(3)如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行(4)兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面.提煉3 證明線面位置關系的方法(1)證明線線平行的方法：三角形的中位線等平面幾何中的性質(zhì)；線面平行的性質(zhì)定理；面面平行的性質(zhì)定理；線面垂直的性質(zhì)定理(2)證明線面平行的方法：尋找線線平行，利用線面平行的判定定理；尋找面面平行，利用面面平行的性質(zhì)(3)證明線面垂直的方法：線面垂直的定義，需要說明直線與平面內(nèi)的所有直線都垂直；線面垂直的判定定理；面面垂直的性質(zhì)定理(4)證明面面垂直的方法：定義法，即證明兩個平面所成的二面角為直二面角；面面垂直的判定定理，即證明一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線高考真題回訪回訪1異面直線所成的角1(20xx·全國卷)如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()AA項，作如圖所示的輔助線，其中D為BC的中點，則QDAB.QD平面MNQQ，QD與平面MNQ相交，直線AB與平面MNQ相交B項，作如圖所示的輔助線，則ABCD，CDMQ，ABMQ.又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ.C項，作如圖所示的輔助線，則ABCD，CDMQ，ABMQ.又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ.D項，作如圖所示的輔助線，則ABCD，CDNQ，ABNQ.又AB平面MNQ，NQ平面MNQ，AB平面MNQ.故選A.2(20xx·全國卷)平面過正方體ABCD­A1B1C1D1的頂點A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，則m，n所成角的正弦值為()A.BC. D.A設平面CB1D1平面ABCDm1.平面平面CB1D1，m1m.又平面ABCD平面A1B1C1D1，且平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1，B1D1m1.B1D1m.平面ABB1A1平面DCC1D1，且平面CB1D1平面DCC1D1CD1，同理可證CD1n.因此直線m與n所成的角即直線B1D1與CD1所成的角在正方體ABCD­A1B1C1D1中，CB1D1是正三角形，故直線B1D1與CD1所成角為60°，其正弦值為.回訪2線面位置關系的性質(zhì)與判斷3(20xx·全國卷)已知m，n為異面直線，m平面，n平面.直線l滿足lm，ln，l，l，則()A且lB且lC與相交，且交線垂直于lD與相交，且交線平行于lD根據(jù)所給的已知條件作圖，如圖所示由圖可知與相交，且交線平行于l，故選D.4(20xx·全國卷)，是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題：如果mn，m，n，那么.如果m，n，那么mn.如果，m，那么m.如果mn，那么m與所成的角和n與所成的角相等其中正確的命題有_(填寫所有正確命題的編號)對于，可以平行，也可以相交但不垂直，故錯誤對于，由線面平行的性質(zhì)定理知存在直線l，nl，又m，所以ml，所以mn，故正確對于，因為，所以，沒有公共點又m，所以m，沒有公共點，由線面平行的定義可知m，故正確對于，因為mn，所以m與所成的角和n與所成的角相等因為，所以n與所成的角和n與所成的角相等，所以m與所成的角和n與所成的角相等，故正確熱點題型1空間位置關系的判斷與證明題型分析：空間中平行與垂直關系的判斷與證明是高考常規(guī)的命題形式，此類題目綜合體現(xiàn)了相關判定定理和性質(zhì)定理的應用，同時也考查了學生的空間想象能力及轉(zhuǎn)化與化歸的思想【例1】(1)(20xx·全國卷)在正方體ABCD­A1B1C1D1中，E為棱CD的中點，則()AA1EDC1BA1EBDCA1EBC1 DA1EACC法一：如圖，A1E在平面ABCD上的投影為AE，而AE不與AC，BD垂直，B，D錯；A1E在平面BCC1B1上的投影為B1C，且B1CBC1，A1EBC1，故C正確；(證明：由條件易知，BC1B1C，BC1CE，又CEB1CC，BC1平面CEA1B1.又A1E平面CEA1B1，A1EBC1)A1E在平面DCC1D1上的投影為D1E，而D1E不與DC1垂直，故A錯故選C.法二：(空間向量法)建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E，(0,1,1)，(1，1,0)，(1,0,1)，(1,1,0)，·0，·0，·0，·0，A1EBC1.故選C.(2)(20xx·全國卷)如圖10­1，在四棱錐P­ABCD中，ABCD，且BAPCDP90°.證明：平面PAB平面PAD；若PAPDABDC，APD90°，且四棱錐P­ABCD的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積圖10­1解證明：由已知BAPCDP90°，得ABAP，CDPD1分由于ABCD，故ABPD，從而AB平面PAD.3分又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD4分如圖，取AD的中點E，連接PE，則PEAD.由知，AB平面PAD，故ABPE，ABAD，可得PE平面ABCD6分設ABx，則由已知可得ADx，PEx.故四棱錐P­ABCD的體積VP­ABCDAB·AD·PEx3.由題設得x3，故x28分從而結(jié)合已知可得PAPDABDC2，ADBC2，PBPC210分可得四棱錐P­ABCD的側(cè)面積為PA·PDPA·ABPD·DCBC2sin 60°6212分方法指津在解答空間中線線、線面和面面的位置關系問題時，我們可以從線、面的概念、定理出發(fā)，學會找特例、反例和構(gòu)建幾何模型判斷兩直線是異面直線是難點，我們可以依據(jù)定義來判定，也可以依據(jù)定理(過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線)判定而反證法是證明兩直線異面的有效方法提醒：判斷直線和平面的位置關系中往往易忽視直線在平面內(nèi)，而面面位置關系中易忽視兩個平面平行此類問題可以結(jié)合長方體中的線面關系找出假命題中的反例變式訓練1 (1)(20xx·石家莊二模)設m，n是兩條不同的直線，是三個不同的平面，給出下列四個命題：若m，n，則mn；若，m，則m；若n，mn，則m，m；若，則.其中真命題的個數(shù)為() 【導學號：04024094】A0B1C2D3B若m，n，則m，n可能平行或異面，錯誤；若，則，又m，則m，正確；若n，mn，則m或m或m或m，錯誤；若，則，可能平行或相交，錯誤，故選B.(2)(20xx·全國卷)如圖10­2，四棱錐P­ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90°.圖10­2證明：直線BC平面PAD；若PCD的面積為2，求四棱錐P­ABCD的體積解證明：在平面ABCD內(nèi)，因為BADABC90°，所以BCAD.又BC平面PAD，AD平面PAD，故BC平面PAD.如圖，取AD的中點M，連接PM，CM.由ABBCAD及BCAD，ABC90°得四邊形ABCM為正方形，則CMAD.因為側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PMAD，PM底面ABCD.因為CM底面ABCD，所以PMCM.設BCx，則CMx，CDx，PMx，PCPD2x.如圖，取CD的中點N，連接PN，則PNCD，所以PNx.因為PCD的面積為2，所以×x×x2.解得x2(舍去)或x2.于是ABBC2，AD4，PM2.所以四棱錐P­ABCD的體積V××24.熱點題型2平面圖形的翻折問題題型分析：(1)解決翻折問題的關鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關系和度量關系的變化情況(2)找出其中變化的量和沒有變化的量，一般地翻折后還在同一個平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個平面上的性質(zhì)發(fā)生變化【例2】(20xx·全國卷)如圖10­3，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，點E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AECF，EF交BD于點H.將DEF沿EF折到DEF的位置圖10­3(1)證明：ACHD；(2)若AB5，AC6，AE，OD2，求五棱錐D­ABCFE的體積解 (1)證明：由已知得ACBD，ADCD1分又由AECF得，故ACEF2分由此得EFHD，故EFHD，所以ACHD.3分(2)由EFAC得4分由AB5，AC6得DOBO4.所以OH1，DHDH3.5分于是OD2OH2(2)2129DH2，故ODOH6分由(1)知ACHD，又ACBD，BDHDH，所以AC平面BHD，于是ACOD8分又由ODOH，ACOHO，所以OD平面ABC.又由得EF10分五邊形ABCFE的面積S×6×8××3.11分所以五棱錐D­ABCFE的體積V××212分方法指津翻折問題的注意事項1畫好兩圖：翻折之前的平面圖形與翻折之后形成的幾何體的直觀圖2把握關系：即比較翻折前后的圖形，準確把握平面圖形翻折前后的線線關系，哪些平行與垂直的關系不變，哪些平行與垂直的關系發(fā)生變化，這是準確把握幾何體結(jié)構(gòu)特征，進行空間線面關系邏輯推理的基礎3準確定量：即根據(jù)平面圖形翻折的要求，把平面圖形中的相關數(shù)量轉(zhuǎn)化為空間幾何體的數(shù)字特征，這是準確進行計算的基礎變式訓練2如圖10­4，高為1的等腰梯形ABCD中，AMCDAB1，M為AB的三等分點，現(xiàn)將AMD沿MD折起，使平面AMD平面MBCD，連接AB，AC.(1)在AB邊上是否存在點P，使AD平面MPC，請說明理由；(2)當點P為AB邊中點時，求點B到平面MPC的距離【導學號：04024095】圖10­4解 (1)當APAB時，有AD平面MPC.理由如下：連接BD交MC于點N，連接NP2分在梯形MBCD中，DCMB，.在ADB中，ADPN4分AD平面MPC，PN平面MPC，AD平面MPC6分(2)平面AMD平面MBCD，平面AMD平面MBCDDM，由題易知，在AMD中，AMDM，AM平面MBCD，又P為AB中點，VP­MBC×SMBC×××2×1×.9分在MPC中，MPAB，MC，PC，SMPC××.11分點B到平面MPC的距離為12分