2019高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2.1合情推理與演繹證明2.1.1合情推理第1課時(shí)歸納推理課后訓(xùn)練案鞏固提升含解析新人教A版選修.doc

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第1課時(shí)　歸納推理 課后訓(xùn)練案鞏固提升 1.觀察下列各式:1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,……可以得出的一般性結(jié)論是(　　) A.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=n2 B.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2 C.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=n2 D.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=(2n-1)2 解析:觀察各等式的構(gòu)成規(guī)律可以發(fā)現(xiàn),各等式的左邊是2n-1(n∈N*)項(xiàng)的和,其首項(xiàng)為n,右邊是項(xiàng)數(shù)的平方,故第n個(gè)等式首項(xiàng)為n,共有2n-1項(xiàng),右邊是(2n-1)2,即n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2. 答案:B 2.已知不等式1+,1+,1+,……均成立,照此規(guī)律,第五個(gè)不等式應(yīng)為1+<(　　) A. B. C. D. 解析:觀察不等式的左邊發(fā)現(xiàn),第n個(gè)不等式的左邊=1++…+,右邊=,所以第五個(gè)不等式為1+. 答案:C 3.設(shè)n是自然數(shù),則(n2-1)[1-(-1)n]的值(　　) A.一定是零 B.不一定是偶數(shù) C.一定是偶數(shù) D.是整數(shù)但不一定是偶數(shù) 解析:當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),(n2-1)[1-(-1)n]=0為偶數(shù);當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)(n=2k+1,k∈N),(n2-1)[1-(-1)n]=(4k2+4k)2=k(k+1)為偶數(shù).所以(n2-1)[1-(-1)n]的值一定為偶數(shù). 答案:C 4.已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N*),則可歸納猜想{an}的通項(xiàng)公式為(　　) A.an= B.an= C.an= D.an= 解析:由已知得a1=1,a2=,a3=,a4=,……由此可猜想an=. 答案:B 5.設(shè)f(x)=,記f1(x)=f(x),若fn+1(x)=f(fn(x)),則f2 016(2 016)等于(　　) A.2 016 B.- C.- D. 解析:由已知可得f1(x)=,f2(x)=-,f3(x)=,f4(x)=x,f5(x)=,f6(x)=-,f7(x)=,f8(x)=x,……可得fn(x)是以4為周期的函數(shù),因此f2 016(x)=f5044(x)=f4(x)=x,故f2 016(2 016)=2 016. 答案:A 6.一個(gè)蜂巢里有1只蜜蜂,第一天,它飛出去帶回了5只蜜蜂;第二天,6只蜜蜂飛出去各自又帶回了5只蜜蜂,……如果這個(gè)過(guò)程繼續(xù)下去,那么第6天所有蜜蜂歸巢后,蜂巢中共有蜜蜂(　　) A.只 B.66只 C.63只 D.62只 解析:根據(jù)題意,可知第一天共有蜜蜂1+5=6(只),第二天共有蜜蜂6+65=62(只),第三天共有蜜蜂62+625=63(只),……故第6天所有蜜蜂歸巢后,蜂巢中共有蜜蜂65+655=66(只),故選B. 答案:B 7.給出若干個(gè)數(shù):,…… 由此可猜測(cè)第n個(gè)數(shù)為　　　　. 解析:給出的每個(gè)數(shù)都是根式,被開(kāi)方數(shù)都是兩個(gè)數(shù)相加,第一個(gè)數(shù)恰好比序號(hào)多1,第二個(gè)數(shù)是分式,分子也是比序號(hào)多1,分母則是分子的平方減去1,由此可得第n個(gè)數(shù)為. 答案: 8.下圖是用同樣規(guī)格的灰、白兩色正方形瓷磚鋪設(shè)的若干圖案,則按此規(guī)律,第(n)個(gè)圖案中需用灰色瓷磚　　　　　　塊(用含n的代數(shù)式表示). 解析:第(1),(2),(3),…個(gè)圖案中灰色瓷磚數(shù)依次為15-3=12,24-8=16,35-15=20,…… 由此可猜測(cè)第(n)個(gè)圖案中灰色瓷磚數(shù)為(n+2)(n+4)-n(n+2)=4(n+2)=4n+8. 答案:4n+8 9.某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù). ①sin213+cos217-sin 13cos 17; ②sin215+cos215-sin 15cos 15; ③sin218+cos212-sin 18cos 12; ④sin2(-18)+cos248-sin(-18)cos 48; ⑤sin2(-25)+cos255-sin(-25)cos 55. (1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè),求出這個(gè)常數(shù); (2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式,并證明你的結(jié)論. 解:(1)選擇②式計(jì)算如下:sin215+cos215-sin 15cos 15=1-sin 30=. (2)三角恒等式為sin2α+cos2(30-α)-sin αcos(30-α)=. 證法一:sin2α+cos2(30-α)-sin αcos(30-α) =sin2α+(cos 30cos α+sin 30sin α)2-sin α(cos 30cos α+sin 30sin α) =sin2α+cos2α+sin αcos α+sin2α-sin αcos α-sin2α =sin2α+cos2α=.故上式成立. 證法二:sin2α+cos2(30-α)-sin αcos(30-α) =-sin α =1+sin 2α-(1-cos 2α) =1-cos 2α-cos 2α=1-. 故上式成立. 10.導(dǎo)學(xué)號(hào)40294007已知下列等式成立:,……試根據(jù)以上等式,歸納出一個(gè)一般性結(jié)論,用等式表示,并用數(shù)列中的方法加以證明. 解:從給出的各個(gè)等式可以看出:第1個(gè)等式左邊有1項(xiàng),右邊為;第2個(gè)等式左邊有2項(xiàng),右邊為;第3個(gè)等式左邊有3項(xiàng),右邊為;第4個(gè)等式左邊有4項(xiàng),右邊為, 由此可以歸納得出一般性的結(jié)論為+…+(n∈N*). 以下用數(shù)列的方法證明該等式成立: +…+ =+…+ =+…+=.