材料力學(xué)：第8章彎曲變形

回回 顧：顧： 彎曲內(nèi)力在外力作用下，梁的內(nèi)力沿軸線 的變化規(guī)律。 彎曲應(yīng)力在外力作用下，梁內(nèi)應(yīng)力沿橫截面高度的分布規(guī)律。 本本 章章: : 彎曲變形在外力作用下，梁在空間位置的變化規(guī)律。研究彎曲變形的目的研究彎曲變形的目的（1）剛度計算；（2）解簡單的超靜定梁。本章的基本內(nèi)容：本章的基本內(nèi)容：一、彎曲變形的量度及符號規(guī)定；二、撓曲線及其近似微分方程三、計算彎曲變形的兩種方法 (1)積分法(2)疊加法四、剛度條件 提高梁彎曲剛度的措施五、用變形比較法解簡單的超靜定梁。一、彎曲變形的量度及符號規(guī)定 梁的撓度和轉(zhuǎn)角梁的撓度和轉(zhuǎn)角 ypxccwx1、度量彎曲變形的兩個量：（1）撓度：梁軸線上的點在垂直于梁軸線方向的所發(fā)生的線位移稱為撓度。（工程上的一般忽略水平線位移）（2）轉(zhuǎn)角：梁變形后的橫截面相對于原來橫截面繞中性軸所轉(zhuǎn)過的角位移稱為轉(zhuǎn)角。 梁的撓度和轉(zhuǎn)角梁的撓度和轉(zhuǎn)角 ypxccwx（2）撓度的符號規(guī)定：向上為正，向下為負(fù)。2、符號規(guī)定：（1）坐標(biāo)系的建立： 坐標(biāo)原點一般設(shè)在梁的左端，并規(guī)定：以變形前的梁軸線為x軸，向右為正；以y軸代表曲線的縱坐標(biāo)（撓度），向上為正。（3）轉(zhuǎn)角的符號規(guī)定：逆時針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角為正； 順時針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角為負(fù)。W（-） （- -）二、撓曲線及其近似微分方程1、撓曲線： 在平面彎曲的情況下，梁變形后的軸線在彎曲平面內(nèi)成為一條曲線，這條曲線稱為撓曲線。軸線軸線縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面FqM彎曲后梁的軸線彎曲后梁的軸線（撓曲線）（撓曲線）MABMCD0MBCconst答案答案 D D2、撓曲線的特征：光滑連續(xù)曲線(1)FA0FB0MCDconst答案答案 D DABCDpplpplpplpplFA0pplABCDMBDconstFBP答案答案C CplMMBB純彎曲純彎曲 橫力彎曲橫力彎曲（ lh5）3、撓曲線的近似微分方程(1)曲率與彎矩、抗彎剛度的關(guān)系.0175.010maxrador橫力彎曲橫力彎曲max（0.010.001）l ；MEId2 2d dx2（x）2 2owxMM0022Mdxdw選取如圖坐標(biāo)系，則選取如圖坐標(biāo)系，則 彎矩彎矩M與與 恒為同號恒為同號22dxd(2)撓曲線近似微分方程符號及近似解釋MEId2 2d dx2（x）近似解釋：（1）忽略了剪力的影響；（2）由于小變形，略去 了曲線方程中的高次項。2 22 2(3)選用不同坐標(biāo)系下的撓曲線近似微分方程 三、計算彎曲變形的兩種方法1、積分法基本方法 利用積分法求梁變形的一般步驟：（1）建立坐標(biāo)系（一般：坐標(biāo)原點設(shè)在梁的左端），求支座反力，分段列彎矩方程； 分段的原則:凡載荷有突變處（包括中間支座），應(yīng)作為分段點；凡截面有變化處，或材料有變化處，應(yīng)作為分段點；中間鉸視為兩個梁段間的聯(lián)系，此種聯(lián)系體現(xiàn)為兩部分之間 的相互作用力，故應(yīng)作為分段點；(2)分段列出梁的撓曲線近似微分方程，并對其積分 兩次對撓曲線近似微分方程積分一次，得轉(zhuǎn)角方程：再積分一次，得撓曲線方程：)(1)(cdxxMEIdxdxDcxdxxMEIx)(1)(3)利用邊界條件、連續(xù)條件確定積分常數(shù) 積分常數(shù)的數(shù)目取決于的分段數(shù) M (x) n 段 積分常數(shù)2n個舉例：)(xM分2段，則積分常數(shù)2x2=4個積分常數(shù)的確定邊界條件和連續(xù)條件： 邊界條件邊界條件：梁在其支承處的撓度或轉(zhuǎn)角是已知的，這樣的已知條件稱為邊界條件。 連續(xù)條件連續(xù)條件：梁的撓曲線是一條連續(xù)、光滑、平坦的曲線。因此，在梁的同一截面上不可能有兩個不同的撓度值或轉(zhuǎn)角值，這樣的已知條件稱為連續(xù)條件。 邊界條件積分常數(shù)2n個=2n個 連續(xù)條件00AA右左右左BBBB邊界條件： 連續(xù)條件：000CAA右左右左右左BBDDDD解：邊界條件： 連續(xù)條件： 物理意義：將x=0代入轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，得 即坐標(biāo)原點處梁的轉(zhuǎn)角，它的EI倍就是積分常數(shù)C； 即坐標(biāo)原點處梁的撓度的EI倍就是積分常數(shù)D。幾何意義：C轉(zhuǎn)角 D撓度(4)建立轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程；(5)計算指定截面的轉(zhuǎn)角和撓度值，特別注意 和 及其所在截面。oEICoEIDmaxmaxAqBLA例例題題 懸臂梁受力如圖所示。求懸臂梁受力如圖所示。求 和和 。AXyx取參考坐標(biāo)系取參考坐標(biāo)系A(chǔ)xy。解：解：1、列出梁的彎矩方程、列出梁的彎矩方程221)(qxxM)0(Lx2、22dxdzEIxM)(221qxEI積分一次：積分一次：CqxEIEI361積分二次：積分二次：DCxqxEI4241（1）（2）3、確定常數(shù)、確定常數(shù)C、D.由邊界條件：由邊界條件：0,Lx代入（代入（1）得：）得：361qLC0,yLx代入（代入（2）得：）得：481qLD代入（代入（1）（）（2）得：）得：)6161(133qLqxEI)86241(1434qLxqLqxEIEIqLA630 x代入得：代入得：將將（與（與C比較知：比較知： ）CEIAEIqLA84（與（與D比較知：比較知： ）DEIA常數(shù)常數(shù)C表示起始截面的轉(zhuǎn)角表示起始截面的轉(zhuǎn)角剛度剛度( (EI) )因此因此常數(shù)常數(shù)D表示起始截面的撓度表示起始截面的撓度剛度剛度( (EI) )例例題題 一簡支梁受力如圖所示。試求一簡支梁受力如圖所示。試求 和和 。)(),(xxmax,AALFCabAyFByFyx解：解：1、求支座反力、求支座反力,LFbFAyLFaFByx2、分段列出梁的彎矩方程、分段列出梁的彎矩方程,)(1xLFbxFxMA,1xLFbEI)(LxaBC段段x)0 (axAC段段B),()(2axFxLFbxM),(2axFxLFbEI,21211CxLFbEIEI)(LxaBC段段)0 (axAC段段,)(2222222CaxFxLFbEIEI,61131DxCxLFbEI,)(6622332DxCaxFxLFbEI3、確定常數(shù)、確定常數(shù)由邊界條件：由邊界條件：0, 0Ax（1）0,BLx（2）由光滑連續(xù)條件：由光滑連續(xù)條件：21 時，ax（3）21 時，ax（4）可解得：可解得：)(6221bLLFbC,2C021 DD則簡支梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程為則簡支梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程為),(36)(2221bLxLEIFbx)(LxaBC段段)0 (axAC段段,)(6)(2231xbLxLEIFbx,2)()(36)(22222axFbLxLEIFbx)(6)(6)(32232axLxbLxLEIFbx4、求轉(zhuǎn)角、求轉(zhuǎn)角0 x代入得：代入得：LEIbLFbxA6)(2201Lx代入得：代入得：LEIaLFabLxB6)(25、求、求 。max0dxd由求得求得 的位置值的位置值x。max, 06)(22LEIbLFbA)(03)(1baLEIbaFabaxC段。在AC00)(36)(2221bLxLEIFbx則由則由解得：解得：322bLx)(1xy代入代入 得：得：EIbLFb39)(2322max2Lba若若 則：則：EIFLLx4832maxmax積分法求梁變形舉例：用積分法求圖示梁的 、 、 、 ：BBCC8)(21qlxM2l)2(21)2(8)(2222lxlxqqlxM222)2(28lxqqllxl22分段建立彎矩方程：AB段： （0 x1 )BC段： （）EIxMdxd)(121128)(211qlxMEI1111)()(cdxxmEIxEI1128cxql111111)(DxcdxdxxMEIxEI ）11121216Dxcxql二、分段建立近似微分方程，并對其積分兩次： AB段：即： （1） （2）22222)2(28)(lxqqlxMEI2322222)2(68)(clxqxqlEIxEI2224222222)2(2416)(DxclxqxqlEIxEIBC段： （3）（4）01x0A01x0A三、利用邊界條件、連續(xù)條件確定積分常數(shù)由邊界條件確定C1、D1：當(dāng)當(dāng)時， ,由（1）式得 C1=0 ；時， ,由（2）式得 D1=0 。由連續(xù)條件確定C2、D2：212lxx)()(12xx23212)22(62828CllqlqlClql021 CC212lxx)()(12xx1122224222)2(162)22(24)2(16DlClqlDlCllqlql當(dāng)時，,即聯(lián)立(1) 、(3)式子：，當(dāng)時，即聯(lián)立(2)、(4)式： 即得：D2=01218)(xqlxEI212116)(xqlxEI32222)2(68)(lxqxqlxEI422222)2(2416)(lxqxqlxEI四、分段建立轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程：AB段： （5） （6）BC段：（7）（8）21lx EIqlB163EIqlB644lx 2EIqllqqlEIc485)2(681333EIqllqlqlEIc38423)2(24)(1614422五求梁指定截面上的轉(zhuǎn)角和撓度當(dāng)時，由（5）式得，由（6）式得， 當(dāng)時，由（7）式得， 由（8）式得， 撓度、轉(zhuǎn)角與載荷（如撓度、轉(zhuǎn)角與載荷（如P、q、M）均為一次線性關(guān)系）均為一次線性關(guān)系軸向位移忽略不計。軸向位移忽略不計。2、疊加法簡捷方法 須記住梁在簡單荷載作用下的變形撓曲線方程、轉(zhuǎn)角、撓度計算公式。疊加法的兩種處理方法：（1）荷載疊加： 疊加原理：疊加原理：在小變形和線彈性范圍內(nèi)，由幾個在小變形和線彈性范圍內(nèi)，由幾個載荷共同作用下梁的任一截面的撓度和轉(zhuǎn)角，載荷共同作用下梁的任一截面的撓度和轉(zhuǎn)角，應(yīng)等于每個載荷單獨作用下同一截面產(chǎn)生的撓應(yīng)等于每個載荷單獨作用下同一截面產(chǎn)生的撓度和轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。度和轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。www：例題www,2431EIqlBEIqlwC384541,33)(323EIqlEIlqlBEIqlwC48343,1616)(322EIqlEIlqlBEIlqlwC48)(32321BBBBEIql243EIql33EIql163EIql48113321CCCCwwwwEIql38454EIql4834EIlql48)(3EIql384114例題例題 wwwwww,631EIqlCEIqlwC841w,6)2(322EIlqBC2222lwwBBCEIlq8)2(422lBw21CCCwwwEIql84EIlq8)2(422lBEIql38441421CCCEIql63EIlq6)2(3EIql4874（2）逐段剛化法：21CCC)2(222lBBC例題例題: :試用疊加法求圖示階梯形變截面懸臂梁自由端試用疊加法求圖示階梯形變截面懸臂梁自由端C C 的撓度的撓度由于梁的抗彎剛度由于梁的抗彎剛度EI 在在B 處不連續(xù)，若由撓曲線微分方程積處不連續(xù)，若由撓曲線微分方程積分求解，須分段進(jìn)行，工作量較大?？捎茂B加法求解。分求解，須分段進(jìn)行，工作量較大?？捎茂B加法求解。1. 假定假定AB段剛化，研究自由端段剛化，研究自由端C 對截對截面面B的相對撓度的相對撓度;2. 解除解除AB段的剛化，并令段的剛化，并令BC段剛化。段剛化。ABC2EIEIl/2l/2ppcBwc1c)(243)2(331EIPlEIlPwc)(96522)2(2123)2(3232EIPlEIlplEIlPyBwBEIPlEIlPlEIlPB163222122)2(222PMB=Pl/2ABCwc2wBBBC 懸臂梁懸臂梁BCBC由梁的變形連續(xù)條件，直線由梁的變形連續(xù)條件，直線BC因因AB段的彎曲變形而移位到段的彎曲變形而移位到 的位置，使的位置，使C點有相應(yīng)的撓度點有相應(yīng)的撓度CB 將圖（將圖（b）和（）和（c）兩種情況的變形疊加后，即可求得自由）兩種情況的變形疊加后，即可求得自由端端 C 的撓度的撓度 EIplEIplEIplwwwccc1634872433321 EIpllwwBBc487232APMB=Pl/2BCwc2wBBBC pcBwc1cpEwE 1pwE 2pBPPplEIlp323EAlp2EIlpl222EAplEIpl21253WB2=CCWB3=CC四、剛度條件 提高梁彎曲剛度的措施剛度條件：剛度條件：,maxmaxw許用撓度，許用撓度， 許用轉(zhuǎn)角許用轉(zhuǎn)角工程中，工程中， w 常用梁的計算跨度常用梁的計算跨度l 的若干分之一表示，例如：的若干分之一表示，例如：對于橋式起重機(jī)梁：對于橋式起重機(jī)梁：750500ll對于一般用途的軸：對于一般用途的軸：100005100003ll在安裝齒輪或滑動軸承處，許用轉(zhuǎn)角為：在安裝齒輪或滑動軸承處，許用轉(zhuǎn)角為：rad001.0梁的變形除了與載荷與梁的約束有關(guān)外，還取決于以下因素：梁的變形除了與載荷與梁的約束有關(guān)外，還取決于以下因素：梁的變形與彈性模量梁的變形與彈性模量E E成反比；成反比；梁的變形與截面的慣性矩梁的變形與截面的慣性矩 成反比；成反比；zI梁的變形與跨長梁的變形與跨長l l的的n n次冪成正比次冪成正比例如受例如受q作用的簡支梁：作用的簡支梁：EIqly38454max)(,)(max明顯yl方法：方法：LABqLABqLABqLABq?？山档?60maxyzI )(常采用工字形、箱形截面，以提高慣性矩。與強(qiáng)度不同的是要常采用工字形、箱形截面，以提高慣性矩。與強(qiáng)度不同的是要提高全梁或大部分梁的慣性矩，才能使梁的變形有明顯改善。提高全梁或大部分梁的慣性矩，才能使梁的變形有明顯改善。maxM方法：方法：使載荷盡量靠近支座，載荷大多數(shù)由支座承擔(dān)。例如：使載荷盡量靠近支座，載荷大多數(shù)由支座承擔(dān)。例如：AlFCaEIFlwla48,5 . 03max時EIFlwla48572. 0,8 . 03max時?？山档?8 .42maxw因鋼的因鋼的E基本相同，所以材料的楊氏模量對基本相同，所以材料的楊氏模量對 變形影響不大。變形影響不大。五、用變形比較法解簡單超靜定梁1、超靜定的概念2、用變形比較法解簡單超靜定梁的基本思想：(1)解除多余約束，變超靜定梁為靜定梁；(2)用靜定梁與超靜定梁在解除約束處的變形比較，建立協(xié)調(diào)方程；(3)通過協(xié)調(diào)方程（即補(bǔ)充方程），求出多余的約束反力。3、簡單超靜定梁求解舉列。超靜梁超靜梁未知力的數(shù)目多于能列出的獨立平衡方程的數(shù)目，未知力的數(shù)目多于能列出的獨立平衡方程的數(shù)目，僅利用平衡方程不能解出全部未知力，則稱為超靜定問題（或僅利用平衡方程不能解出全部未知力，則稱為超靜定問題（或靜不定問題）。靜不定問題）。超靜次數(shù)超靜次數(shù)=未知力的數(shù)目未知力的數(shù)目- 獨立平衡方程數(shù)獨立平衡方程數(shù)BqL4 4個約束反力，個約束反力，3 3個平衡方程，個平衡方程，靜不定次數(shù)靜不定次數(shù)=1=11、超靜定的概念2 、用變形比較法解簡單超靜定梁的基本思想(1) (1) 確定超靜定次數(shù)。確定超靜定次數(shù)。(2) (2) 選擇基本靜定梁。選擇基本靜定梁。 靜定梁靜定梁(基本靜定基基本靜定基) 將超靜定梁的多余約束解除，得到相應(yīng)將超靜定梁的多余約束解除，得到相應(yīng) 的靜定系統(tǒng)，該系統(tǒng)僅用靜力平衡方程就可解出所有反力以的靜定系統(tǒng)，該系統(tǒng)僅用靜力平衡方程就可解出所有反力以 及內(nèi)力。及內(nèi)力。 多余約束多余約束 桿系在維持平衡的必要約束外所存在的多余約束桿系在維持平衡的必要約束外所存在的多余約束 或多余桿件。或多余桿件。多余約束的數(shù)目多余約束的數(shù)目=超靜定次數(shù)超靜定次數(shù)BqL多余約束的數(shù)目多余約束的數(shù)目=1靜定梁靜定梁(基本靜定基基本靜定基)選取選取( (2)2)解除解除A端阻止轉(zhuǎn)動的端阻止轉(zhuǎn)動的支座反力支座反力矩矩 作為多余約束作為多余約束, ,即選擇兩端即選擇兩端簡支的梁作為基本靜定梁。簡支的梁作為基本靜定梁。AMBqLAMA( (1)1)解除解除B支座的約束支座的約束, ,以以 代替，代替，即選擇即選擇A端固定端固定B端自由的懸臂梁端自由的懸臂梁作為基本靜定梁。作為基本靜定梁。ByFByFBqLA(2) 基本靜定基要便于計算，即要有利于建立變形協(xié)調(diào)條基本靜定基要便于計算，即要有利于建立變形協(xié)調(diào)條 件。一般來說，求解變形時，件。一般來說，求解變形時，懸臂梁最為簡單，其次懸臂梁最為簡單，其次 是簡支梁，最后為外伸梁。是簡支梁，最后為外伸梁。 基本靜定基選取可遵循的原則：基本靜定基選取可遵循的原則：(1) 基本靜定基必須能維持靜力平衡，且為幾何不變系統(tǒng)；基本靜定基必須能維持靜力平衡，且為幾何不變系統(tǒng)；ABqLByFBqLABqLAMA3 3、列出變形協(xié)調(diào)條件。、列出變形協(xié)調(diào)條件。比較原靜不定梁和靜定基在解除約比較原靜不定梁和靜定基在解除約束處的變形，根據(jù)基本靜定梁的一束處的變形，根據(jù)基本靜定梁的一切情況要與原超靜定梁完全相同的切情況要與原超靜定梁完全相同的要求，得到變形協(xié)調(diào)條件。要求，得到變形協(xié)調(diào)條件。0By0A本例：本例： ( (1)1)4 4、用積分法或疊加法求變形，并求出多余未知力。、用積分法或疊加法求變形，并求出多余未知力。僅有僅有q q作用，作用，B B點撓度為：點撓度為：EIqlyBq84僅有僅有 作用，作用，B B點撓度為：點撓度為：ByFEIlFyByBF33因此因此BqBFByyyEIql84EIlFBy330解得解得:)(83qlFByByFBqlA5 5、根據(jù)靜力平衡條件在基本靜定梁上求出其余的約束反力。、根據(jù)靜力平衡條件在基本靜定梁上求出其余的約束反力。本例：本例： ( (1)1)ByFBqLAAyFAxFAM0 xF, 0AxF0yF),(85qlFAy0AM281qlMA（ ）ByFBqLAAyFAxFAM(+)圖sF(-)ql85ql83l85圖M281ql21289qlBqL因此因此2max81qlMqlFQ85maxqlFQmax2max21qlM6 6、在基本靜定梁上按照靜定梁的方法求解內(nèi)力、應(yīng)力和變形。、在基本靜定梁上按照靜定梁的方法求解內(nèi)力、應(yīng)力和變形。例例題題 圖示靜不定梁，等截面梁圖示靜不定梁，等截面梁AC的抗彎剛度的抗彎剛度EI，拉桿，拉桿BD的抗拉的抗拉 剛度剛度EA，在，在F力作用下，試求力作用下，試求BD桿的拉力和截面桿的拉力和截面C的撓度的撓度 。BDBlwFl/2l/2ABCDl1 1、選擇基本靜定梁。、選擇基本靜定梁。解：解：Fl/2l/2ABCNF2 2、列出變形協(xié)調(diào)條件。、列出變形協(xié)調(diào)條件。NBFBFBwww而而)(485)3 (6322EIFlxlEIFxwlxBF)(3)2(3EIlFwNBFN（1）解得：解得：代入代入（1）：）：EAlFEIlFEIFlNN2448533)241 (1252AlIFFN3 3、在基本靜定梁上由疊加法求、在基本靜定梁上由疊加法求 。Cw)(33EIFlwCF在在F力單獨作用下：力單獨作用下：在在 力單獨作用下：力單獨作用下：NF)(2411(9625)3 (62322AlIEIFlxlEIxFwlxNCFNFl/2l/2ABCNF解得：解得：NCFCFCwww)241 (32251 323AlIEIFl在本例中，在在本例中，在F力作用下，拉桿力作用下，拉桿BD伸長，因而伸長，因而B處下處下移，移， B處下移的大小應(yīng)該等于拉桿的伸長量，即處下移的大小應(yīng)該等于拉桿的伸長量，即BDBFBFBlwwwN例例題題 圖示結(jié)構(gòu)，懸臂梁圖示結(jié)構(gòu)，懸臂梁AB與簡支梁與簡支梁DG均用均用No.18工字鋼制成工字鋼制成,BC為圓截面鋼桿為圓截面鋼桿,直徑直徑d=20cm, 梁與桿的彈性模量均為梁與桿的彈性模量均為E=200GPa，若載荷若載荷F=30KN，試計算梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力與桿內(nèi)的最大正，試計算梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力與桿內(nèi)的最大正應(yīng)力以及橫截面應(yīng)力以及橫截面C的鉛垂位移的鉛垂位移 。F2mBCDAG2m2m1.4m例題 圖示靜不定梁，等截面梁AC的抗彎剛度EI，拉桿BD的抗拉 剛度EA，在F力作用下，試求BD桿的拉力和截面C的撓度 。BDBlwFl/2l/2ABCDl1、選擇基本靜定梁。解：Fl/2l/2ABCNF2、列出變形協(xié)調(diào)條件。NBFBFBwww而而)(485)3 (6322EIFlxlEIFxwlxBF)(3)2(3EIlFwNBFN（1）解得：解得：代入代入（1）：）：EAlFEIlFEIFlNN2448533)241 (1252AlIFFN3 3、在基本靜定梁上由疊加法求、在基本靜定梁上由疊加法求 。Cw)(33EIFlwCF在在F力單獨作用下：力單獨作用下：在在 力單獨作用下：力單獨作用下：NF)(2411(9625)3(62322AlIEIFlxlEIxFwlxNCFNFl/2l/2ABCNF解得：解得：NCFCFCwww)241 (32251 323AlIEIFl在本例中，在在本例中，在F力作用下，拉桿力作用下，拉桿BD伸長，因而伸長，因而B處下處下移，移， B處下移的大小應(yīng)該等于拉桿的伸長量，即處下移的大小應(yīng)該等于拉桿的伸長量，即BDBFBFBlwwwN