2018年秋高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理 1.2 排列與組合 1.2.2 第1課時 組合與組合數(shù)公式學案 新人教A版選修2-3.doc
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第1課時 組合與組合數(shù)公式 學習目標：1.理解組合與組合數(shù)的概念．(重點)2.會推導組合數(shù)公式，并會應用公式求值．(重點)3.理解組合數(shù)的兩個性質，并會求值、化簡和證明．(難點、易混點) [自 主 預 習探 新 知] 1．組合的概念 一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合． 思考：怎樣理解組合，它與排列有何區(qū)別？ [提示] (1)組合要求n個元素是不同的，被取的m個元素也是不同的，即從n個不同的元素中進行m次不放回地取出． (2)取出的m個元素不講究順序，也就是說元素沒有位置的要求，無序性是組合的特點． (3)辨別一個問題是排列問題還是組合問題，關鍵看選出的元素與順序是否有關，若交換某一問題中某兩個元素的位置對結果產生影響，則是排列問題，否則就是組合問題． 2．組合數(shù)的概念 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)． 思考：如何理解組合與組合數(shù)這兩個概念？ [提示] 同“排列”與“排列數(shù)”是兩個不同的概念一樣，“組合”與“組合數(shù)”也是兩個不同的概念，“組合”是指“從n個不同元素中取m(m≤n)個元素合成一組”，它不是一個數(shù)，而是具體的一件事；“組合數(shù)”是指“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)”，它是一個數(shù)．例如，從3個不同元素a，b，c中每次取出兩個元素的組合為ab，ac，bc，其中每一種都叫一個組合，這些組合共有3個，則組合數(shù)為3. 3．組合數(shù)公式及其性質 (1)公式：C＝＝. (2)性質：C＝C_，C＋C＝C. (3)規(guī)定：C＝1. [基礎自測] 1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同． ( ) (2)從a1，a2，a3三個不同元素中任取兩個元素組成一個組合，所有組合的個數(shù)為C. ( ) (3)從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加某兩個鄉(xiāng)鎮(zhèn)的社會調查，有多少種不同的選法是組合問題． ( ) (4)從甲、乙、丙3名同學中選出2名，有3種不同的選法． ( ) (5)現(xiàn)有4枚2015年抗戰(zhàn)勝利70周年紀念幣送給10人中的4人留念，有多少種送法是排列問題． ( ) [解析] (1)√ 因為只要兩個組合的元素相同，不論元素的順序如何，都是相同的組合． (2)√ 由組合數(shù)的定義可知正確． (3) 因為選出2名同學還要分到不同的兩個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，這是排列問題． (4)√ 因為從甲、乙、丙3人中選兩名有：甲乙，甲丙，乙丙，共3個組合，即有3種不同選法． (5) 因為將4枚紀念幣送與4人并無順序，故該問題是組合問題． [答案] (1)√ (2)√ (3) (4)√ (5) 2．若C＝28，則n＝( ) 【導學號：95032046】 A．9 B．8 C．7 D．6 B [C＝＝28，解得n＝8.] 3．甲、乙、丙三地之間有直達的火車，相互之間的距離均不相等，則車票票價的種數(shù)是________． 3 [甲、乙、丙三地之間的距離不等，故票價不同，同距離兩地票價相同，故該問題為組合問題，不同票價的種數(shù)為C＝＝3.] 4．C＝________，C＝________. 【導學號：95032047】 15 18 [C＝＝15，C＝C＝18.] [合 作 探 究攻 重 難] 組合的概念 (1)判斷下列問題是組合問題還是排列問題： ①設集合A＝{a，b，c，d，e}，則集合A的子集中含有3個元素的有多少個？ ②某鐵路線上有5個車站，則這條線上共需準備多少種車票？多少種票價？ ③2018年元旦期間，某班10名同學互送賀年卡，表示新年的祝福，賀年卡共有多少張？ (2)已知A，B，C，D，E五個元素，寫出每次取出3個元素的所有組合. 【導學號：95032048】 [思路點撥] 要確定是組合還是排列問題，只需確定取出的元素是否與順序有關． [解] (1)①因為本問題與元素順序無關，故是組合問題． ②因為甲站到乙站，與乙站到甲站車票是不同的，故是排列問題，但票價與順序無關，甲站到乙站，與乙站到甲站是同一種票價，故是組合問題． ③甲寫給乙賀卡，與乙寫給甲賀卡是不同的，所以與順序有關，是排列問題． (2)可按AB→AC→AD→BC→BD→CD順序寫出，即 所以所有組合為ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE. [規(guī)律方法] 1．區(qū)分一個問題是排列問題還是組合問題，關鍵是看它有無“順序”，有順序就是排列問題，而無順序就是組合問題．而要判定它是否有順序的方法是：先將元素取出來，看交換元素的順序對結果有無影響，有影響就是“有序”，也就是排列問題；沒有影響就是“無序”，也就是組合問題． 2．寫組合時，一般先將元素按一定的順序排好，然后按照順序用圖示的方法逐個地將各個組合表示出來，如本題的作法，這樣做直觀、明了、清楚，以防重復和遺漏． [跟蹤訓練] 1．(1)判斷下列問題是排列問題還是組合問題： ①把當日動物園的4張門票分給5個人，每人至多分一張，而且票必須分完，有多少種分配方法？ ②從2,3,5,7,11這5個質數(shù)中，每次取2個數(shù)分別作為分子和分母構成一個分數(shù)，共能構成多少個不同的分數(shù)？ ③從9名學生中選出4名參加一個聯(lián)歡會，有多少種不同的選法？ (2)已知a，b，c，d這四個元素，寫出每次取出2個元素的所有組合． [解] (1)①是組合問題．由于4張票是相同的(都是當日動物園的門票)，不同的分配方法取決于從5人中選擇哪4人，這和順序無關． ②是排列問題，選出的2個數(shù)作分子或分母，結果是不同的． ③是組合問題，選出的4人無角色差異，不需要排列他們的順序． (2)可按a→b→c→d順序寫出，即 所以所有組合為ab，ac，ad，bc，bd，cd. 組合數(shù)公式的應用 (1)計算C－CA； (2)計算C＋C. 【導學號：95032049】 [思路探究] 解答此類問題要恰當選擇組合數(shù)公式，并注意使用組合數(shù)公式的隱含條件． [解] (1)原式＝－(321)＝210－210＝0. 當n＝4時，原式＝C＋C＝5， 當n＝5時，原式＝C＋C＝16. [規(guī)律方法] 1．在具體選擇公式時，要根據(jù)原題的特點，一般地，公式C＝常用于n為具體數(shù)的數(shù)目，偏向于組合數(shù)的計算，公式C＝常用于n為字母的題目，偏向于解不等式或證明恒等式． 2．解題時，一定不要忘記組合數(shù)的意義． [跟蹤訓練] 2．求值：C＋C. [解] 由組合數(shù)的公式的性質， 解得n＝6. 所以，原式＝C＋C ＝C＋C ＝12＋19＝31. 組合數(shù)的性質應用 [探究問題] 1．試用兩種方法求：從a，b，c，d，e 5人中選出3人參加數(shù)學競賽，2人參加英語競賽，共有多少種選法？你有什么發(fā)現(xiàn)？你能得到一般結論嗎？ [提示] 法一：從5人中選出3人參加數(shù)學競賽，剩余2人參加英語競賽，共C＝＝10(種)選法． 法二：從5人中選出2人參加英語競賽，剩余3人參加數(shù)學競賽，共C＝＝10(種)不同選法． 經求解發(fā)現(xiàn)C＝C.推廣到一般結論有C＝C. 2．從含有隊長的10名排球隊員中選出6人參加比賽，共有多少種選法？ [提示] 共有C＝＝210(種)選法． 3．在探究2中，若隊長必須參加，有多少種選法？若隊長不能參加有多少種選法？由探究2、3，你發(fā)現(xiàn)什么結論？你能推廣到一般結論嗎？ [提示] 若隊長必須參加，共C＝126(種)選法．若隊長不能參加，共C＝84(種)選法． 由探究2、3發(fā)現(xiàn)從10名隊員中選出6人可分為隊長參賽與隊長不參賽兩類，由分類加法計數(shù)原理可得：C＝C＋C. 一般地：C＝C＋C. (1)計算：C＋C＋C＝________； (2)若C>C，則n的取值集合是________. 【導學號：95032050】 [思路探究] 恰當選擇組合數(shù)的性質進行求值、解方程與解不等式． (1)5 050 (2){6,7,8,9} [(1)C＋C＋C＝C＋C＝C＝C＝＝5 050. (2)由C>C，得>，所以n2－9n－10<0，得－1
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