新編全國通用高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題5 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用含解析

【走向高考】（全國通用）20xx高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題5 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一、選擇題1(文)曲線yxex2x1在點(diǎn)(0，1)處的切線方程為()Ay3x1By3x1Cy3x1Dy2x1答案A解析ky|x0(exxex2)|x03，切線方程為y3x1，故選A.(理)(20xx·吉林市質(zhì)檢)若函數(shù)f(x)2sinx(x0，)在點(diǎn)P處的切線平行于函數(shù)g(x)2·(1)在點(diǎn)Q處的切線，則直線PQ的斜率()A1B.C. D. 2答案C解析f(x)2cosx，x0，f(x)2,2，g(x)2，當(dāng)且僅當(dāng)x1時，等號成立，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則由題意知，2cosx1，2cosx12且2，x10，x10，y10，x21，y2，kPQ.方法點(diǎn)撥1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)f (x0)就是曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線的斜率，即kf (x0)2求曲線yf(x)的切線方程的類型及方法(1)已知切點(diǎn)P(x0，y0)，求yf(x)過點(diǎn)P的切線方程：求出切線的斜率f (x0)，由點(diǎn)斜式寫出方程；(2)已知切線的斜率為k，求yf(x)的切線方程：設(shè)切點(diǎn)P(x0，y0)，通過方程kf (x0)解得x0，再由點(diǎn)斜式寫出方程；(3)已知切線上一點(diǎn)(非切點(diǎn))，求yf(x)的切線方程：設(shè)切點(diǎn)P(x0，y0)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率f (x0)，再由斜率公式求得切線斜率，列方程(組)解得x0，再由點(diǎn)斜式或兩點(diǎn)式寫出方程3若曲線的切線與已知直線平行或垂直，求曲線的切線方程時，先由平行或垂直關(guān)系確定切線的斜率，再由kf (x0)求出切點(diǎn)坐標(biāo)(x0，y0)，最后寫出切線方程4(1)在點(diǎn)P處的切線即是以P為切點(diǎn)的切線，P一定在曲線上(2)過點(diǎn)Q的切線即切線過點(diǎn)Q，Q不一定是切點(diǎn)，所以本題的易錯點(diǎn)是把點(diǎn)Q作為切點(diǎn)因此在求過點(diǎn)P的切線方程時，應(yīng)首先檢驗(yàn)點(diǎn)P是否在已知曲線上2已知f(x)為定義在(，)上的可導(dǎo)函數(shù)，且f(x)<f (x)對于xR恒成立，且e為自然對數(shù)的底，則下面正確的是()Af(1)>e·f(0)，f(20xx)>e20xx·f(0)Bf(1)<e·f(0)，f(20xx)>e20xx·f(0)Cf(1)>e·f(0)，f(20xx)<e20xx·f(0)Df(1)<e·f(0)，f(20xx)<e20xx·f(0)答案A解析設(shè)F(x)，則F(x)，f(x)<f (x)對于xR恒成立，F(xiàn)(x)>0，即F(x)在xR上為增函數(shù)，F(xiàn)(1)>F(0)，F(xiàn)(20xx)>F(0)，即>，>，f(1)>ef(0)，f(20xx)>e20xxf(0)方法點(diǎn)撥1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f (x)>0，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增如果f (x)<0，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的步驟(1)找出函數(shù)f(x)的定義域；(2)求f (x)；(3)在定義域內(nèi)解不等式f (x)>0，f (x)<0.3求單調(diào)區(qū)間(或證明單調(diào)性)，只需在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解(或證明)不等式f (x)>0或f (x)<0.4若已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的值或取值范圍，只需轉(zhuǎn)化為不等式f (x)0或f (x)0在單調(diào)區(qū)間內(nèi)恒成立的問題求解，解題過程中要注意分類討論；函數(shù)單調(diào)性問題以及一些相關(guān)的逆向問題，都離不開分類討論思想3(20xx·新課標(biāo)理，12)設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)f(x)(xR)的導(dǎo)函數(shù)，f(1)0，當(dāng)x0時，xf(x)f(x)0，則使得f(x)0成立的x的取值范圍是()A(，1)(0,1)B(1,0)(1，)C(，1)(1,0)D(0,1)(1，)答案A解析考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用記函數(shù)g(x)，則g(x)，因?yàn)楫?dāng)x>0時，xf(x)f(x)<0，故當(dāng)x>0時，g(x)<0，所以g(x)在(0，)上單調(diào)遞減；又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)(xR)是奇函數(shù)，故函數(shù)g(x)是偶函數(shù)，所以g(x)在(，0)上單調(diào)遞減，且g(1)g(1)0.當(dāng)0<x<1時，g(x)>0，則f(x)>0；當(dāng)x<1時，g(x)<0，則f(x)>0，綜上所述，使得f(x)>0成立的x的取值范圍是(，1)(0,1)，故選A.方法點(diǎn)撥1.在研究函數(shù)的性質(zhì)與圖象，方程與不等式的解，不等式的證明等問題中，根據(jù)解題的需要可以構(gòu)造新的函數(shù)g(x)，通過研究g(x)的性質(zhì)(如單調(diào)性、極值等)來解決原問題是常用的方法如在討論f (x)的符號時，若f (x)的一部分為h(x)，f (x)的符號由h(x)所決定，則可轉(zhuǎn)化為研究h(x)的極(最)值來解決，證明f(x)>g(x)時，可構(gòu)造函數(shù)h(x)f(x)g(x)，轉(zhuǎn)化為h(x)的最小值問題等等2應(yīng)用函數(shù)與方程思想解決函數(shù)、方程、不等式問題，是多元問題中的常見題型，常見的解題思路有以下兩種：(1)分離變量，構(gòu)造函數(shù)，將不等式恒成立、方程求解等轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值(或值域)，然后求解(2)換元，將問題轉(zhuǎn)化為一次不等式、二次不等式或二次方程，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)加以解決3有關(guān)二次方程根的分布問題一般通過兩類方法解決：一是根與系數(shù)的關(guān)系與判別式，二是結(jié)合函數(shù)值的符號(或大小)、對稱軸、判別式用數(shù)形結(jié)合法處理4和函數(shù)與方程思想密切關(guān)聯(lián)的知識點(diǎn)函數(shù)yf(x)，當(dāng)y>0時轉(zhuǎn)化為不等式f(x)>0.數(shù)列是自變量為正整數(shù)的函數(shù)直線與二次曲線位置關(guān)系問題常轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布問題立體幾何中有關(guān)計(jì)算問題，有時可借助面積、體積公式轉(zhuǎn)化為方程或函數(shù)最值求解5注意方程(或不等式)有解與恒成立的區(qū)別6含兩個未知數(shù)的不等式(函數(shù))問題的常見題型及具體轉(zhuǎn)化策略：(1)x1a，b，x2c，d，f(x1)>g(x2)f(x)在a，b上的最小值>g(x)在c，d上的最大值(2)x1a，b，x2c，d，f(x1)>g(x2)f(x)在a，b上的最大值>g(x)在c，d上的最小值(3)x1a，b，x2c，d，f(x1)>g(x2)f(x)在a，b上的最小值>g(x)在c，d上的最小值(4)x1a，b，x2c，d，f(x1)>g(x2)f(x)在a，b上的最大值>g(x)在c，d上的最大值(5)x1a，b，當(dāng)x2c，d時，f(x1)g(x2)f(x)在a，b上的值域與g(x)在c，d上的值域交集非空(6)x1a，b，x2c，d，f(x1)g(x2)f(x)在a，b上的值域g(x)在c，d上的值域(7)x2c，d，x1a，b，f(x1)g(x2)f(x)在a，b上的值域g(x)在c，d上的值域4(文)已知函數(shù)yf(x)的圖象是下列四個圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)yf (x)的圖象如下圖所示，則該函數(shù)的圖象是()答案B解析本題考查原函數(shù)圖象與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，yf(x)在1,0上每一點(diǎn)處的切線斜率逐漸變大，而在0,1上則逐漸變小，故選B.(理)(20xx·石家莊市質(zhì)檢)定義在區(qū)間0,1上的函數(shù)f(x)的圖象如下圖所示，以A(0，f(0)、B(1，f(1)、C(x，f(x)為頂點(diǎn)的ABC的面積記為函數(shù)S(x)，則函數(shù)S(x)的導(dǎo)函數(shù)S(x)的大致圖象為()答案D解析A、B為定點(diǎn)，|AB|為定值，ABC的面積S(x)隨點(diǎn)C到直線AB的距離d而變化，而d隨x的變化情況為增大減小0增大減小，ABC的面積先增大再減小，當(dāng)A、B、C三點(diǎn)共線時，構(gòu)不成三角形；然后ABC的面積再逐漸增大，最后再逐漸減小，觀察圖象可知，選D.方法點(diǎn)撥1.由導(dǎo)函數(shù)的圖象研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)，應(yīng)注意導(dǎo)函數(shù)圖象位于x軸上方的部分對應(yīng)f(x)的增區(qū)間，下方部分對應(yīng)f(x)的減區(qū)間，與x軸的交點(diǎn)對應(yīng)函數(shù)可能的極值點(diǎn)，導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性決定函數(shù)f(x)增長的速度；2由函數(shù)的圖象確定導(dǎo)函數(shù)的圖象時，應(yīng)注意觀察函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值點(diǎn)，它們依次對應(yīng)f(x)的正負(fù)值區(qū)間和零點(diǎn)，圖象上開或下降的快慢決定導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性5已知常數(shù)a、b、c都是實(shí)數(shù)，f(x)ax3bx2cx34的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，f(x)0的解集為x|2x3，若f(x)的極小值等于115，則a的值是()A B.C2D5答案C解析依題意得f(x)3ax22bxc0的解集是2，3，于是有3a>0，23，2×3，b，c18a，函數(shù)f(x)在x3處取得極小值，于是有f(3)27a9b3c34115，a81，a2，故選C.二、解答題6(文)已知函數(shù)f(x)x33x2ax2，曲線yf(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.(1)求a；(2)證明：當(dāng)k<1時，曲線yf(x)與直線ykx2只有一個交點(diǎn). 分析(1)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可把斜率用a來表示，再由斜率公式可求出a的值；(2)把曲線與直線只有一個交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)只有一個零點(diǎn)作為本問的切入點(diǎn)，利用分類討論的思想和利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性來判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，從而得出此函數(shù)在每個區(qū)間的單調(diào)情況，進(jìn)而求出零點(diǎn)個數(shù)，解決本問解析(1)f(x)3x36xa，f(0)a，由題設(shè)得2，所以a1.(2)由(1)知，f(x)x33x2x2.設(shè)g(x)f(x)kx2x33x2(1k)x4.由題設(shè)知1k>0.當(dāng)x0時，g(x)3x26x1k>0，g(x)單調(diào)遞增，g(1)k1<0，g(0)4，所以g(x)0在(，0上有唯一實(shí)根當(dāng)x>0時，令h(x)x33x24，則g(x)h(x)(1k)x>h(x)h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2，)上單調(diào)遞增，所以g(x)>h(x)h(2)0，所以g(x)0在(0，)上沒有實(shí)根綜上，g(x)在R上有唯一實(shí)根，即曲線yf(x)與直線ykx2只有一個交點(diǎn)(理)已知函數(shù)f(x)exax(a為常數(shù))的圖象與y軸交于點(diǎn)A，曲線yf(x)在點(diǎn)A處的切線斜率為1.(1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值；(2)證明：當(dāng)x>0時，x2<ex；(3)證明：對任意給定的正數(shù)c，總存在x0，使得當(dāng)x(x0，)時，恒有x2<cex.分析(1)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出a的值，再根據(jù)極值的定義求解；(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)exx2證明其在(0，)上的最小值大于0；(3)根據(jù)(2)的結(jié)論可知c1時結(jié)論成立，當(dāng)c<1時，令k>1，轉(zhuǎn)化為證明x>2lnxlnk成立構(gòu)造函數(shù)h(x)x2lnxlnk求解解析(1)由f(x)exax，得f(x)exa.又f(0)1a1，得a2.所以f(x)ex2x，f(x)ex2.令f(x)0，得xln2.當(dāng)x<ln2時，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>ln2時，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；所以當(dāng)xln2時，f(x)有極小值且極小值為f(ln2)eln22ln22ln4，f(x)無極大值(2)令g(x)exx2，則g(x)ex2x.由(1)得，g(x)f(x)f(ln2)2ln4>0，即g(x)>0.所以g(x)在R上單調(diào)遞增，又g(0)1>0，所以當(dāng)x>0時，g(x)>g(0)>0，即x2<ex.(3)若c1，則excex，又由(2)知，當(dāng)x>0時x2<ex，所以當(dāng)x>0時，x2<ce2，取x00當(dāng)x(x0，)時恒有x2<cex若0<c<1，令k>1，要使不等式x2<cex成立，只要ex>kx2成立，而要使ex>kx2成立，則只要x>ln(kx2)，只要x>2lnxlnk成立，令h(x)x2lnxlnk，則h(x)1，所以當(dāng)x>2時，h(x)>0，h(x)在(2，)內(nèi)單調(diào)遞增取x016k>16，所以h(x)在(x0，)內(nèi)單調(diào)遞增又h(x0)16k2ln(16k)lnk8(kln2)3(klnk)5k易知k>lnk，k>ln2,5k>0，所以h(x0)>0.即存在x0，當(dāng)x(x0，)時，恒有x2<cex.綜上，對任意給定的正數(shù)c，總存在x0，當(dāng)x(x0，)時，恒有x2<cex.方法點(diǎn)撥函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于經(jīng)過該點(diǎn)的切線的斜率；極值點(diǎn)滿足導(dǎo)數(shù)等于0，但滿足導(dǎo)數(shù)等于0 的并不一定是極值點(diǎn)，應(yīng)注意根據(jù)極值的定義判斷；在證明有些導(dǎo)數(shù)問題時，要注意借助上問的結(jié)論7(文)(20xx·四川文，21)已知函數(shù)f(x)2xlnxx22axa2，其中a>0.(1)設(shè)g(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，討論g(x)的單調(diào)性；(2)證明：存在a(0,1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)0在區(qū)間(1，)內(nèi)有唯一解解析本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用、函數(shù)的零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想(1)由已知，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，g(x)f(x)2(x1lnxa)，所以g(x)2.當(dāng)x(0,1)時，g(x)0，g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x(1，)時，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增(2)由f(x)2(x1lnxa)0，解得ax1lnx，令(x)2xlnxx22x(x1lnx)(x1lnx)2(1lnx)22xlnx，則(1)10，(e)2(2e)0，于是，存在x0(1，e)，使得(x0)0.令a0x01lnx0u(x0)，其中u(x)x1lnx(x1)，由u(x)10知，函數(shù)u(x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增，故0u(1)a0u(x0)u(e)e21，即a0(0,1)當(dāng)aa0時，有f(x0)0，f(x0)(x0)0再由(1)知，f(x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增當(dāng)x(1，x0)時，f(x)0，從而f(x)f(x0)0；當(dāng)x(x0，)時，f(x)0，從而f(x)f(x0)0；又當(dāng)x(0,1時，f(x)(xa0)22xlnx0，故x(0，)時，f(x)0.綜上所述，存在a(0,1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)0在區(qū)間(1，)內(nèi)有唯一解(理)(20xx·江蘇，19)已知函數(shù)f(x)x3ax2b(a，bR) (1)試討論f(x)的單調(diào)性；(2)若bca(實(shí)數(shù)c是與a無關(guān)的常數(shù))，當(dāng)函數(shù)f(x)有三個不同的零點(diǎn)時，a的取值范圍恰好是(，3)，求c的值解析考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、極值、函數(shù)零點(diǎn)(1)先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，通過討論導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)求解；(2)通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)關(guān)系求解(1)f(x)3x22ax，令f(x)0，解得x10，x2.當(dāng)a0時，因?yàn)閒(x)3x20，所以函數(shù)f(x)在(，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時，x(0，)時，f(x)>0，x(，0)時，f(x)<0，所以函數(shù)f(x)在，(0，)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)a<0時，x(，0)時，f(x)>0，x時，f(x)<0，所以函數(shù)f(x)在(，0)，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)由(1)知，函數(shù)f(x)的兩個極值為f(0)b，fa3b，則函數(shù)f(x)有三個零點(diǎn)等價于f(0)·fba3b<0，從而或.又bca，所以當(dāng)a>0時，a3ac>0，或當(dāng)a<0時，a3ac<0.設(shè)g(a)a3ac，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有三個零點(diǎn)時，a的取值范圍恰好是(，3)，則在(，3)上g(a)<0，且在上g(a)>0均恒成立，從而g(3)c10，且gc10，因此c1.此時，f(x)x3ax21a(x1)x2(a1)x1a，因函數(shù)有三個零點(diǎn)，則x2(a1)x1a0有兩個異于1的不等實(shí)根，所以(a1)24(1a)a22a3>0，且(1)2(a1)1a0，解得a(，3)1，.綜上c1.方法點(diǎn)撥用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)綜合題的一般步驟：第一步，將所給問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)性質(zhì)的問題若已給出函數(shù)，直接進(jìn)入下一步第二步，確定函數(shù)的定義域第三步，求導(dǎo)數(shù)f (x)，解方程f (x)0，確定f(x)的極值點(diǎn)xx0.第四步，判斷f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性和極值，若在xx0左側(cè)f (x)>0，右側(cè)f (x)>0，則f(x0)為極大值，反之f(x0)為極小值，若在xx0兩側(cè)f (x)不變號，則xx0不是f(x)的極值點(diǎn)第五步，求f(x)的最值，比較各極值點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)f(a)，f(b)的大小，最大的一個為最大值、最小的一個為最小值第六步，得出問題的結(jié)論8濟(jì)南市“兩會”召開前，某政協(xié)委員針對自己提出的“環(huán)保提案”對某處的環(huán)境狀況進(jìn)行了實(shí)地調(diào)研，據(jù)測定，該處的污染指數(shù)與附近污染源的強(qiáng)度成正比，與到污染源的距離成反比，比例常數(shù)為k(k>0)現(xiàn)已知相距36km的A、B兩家化工廠(污染源)的污染強(qiáng)度分別為正數(shù)a、b，它們連線上任意一點(diǎn)C處的污染指數(shù)y等于兩化工廠對該處的污染指數(shù)之和設(shè)ACx(km)(1)試將y表示為x的函數(shù)；(2)若a1時，y在x6處取得最小值，試求b的值解析(1)設(shè)點(diǎn)C受A污染源污染指數(shù)為，點(diǎn)C受B污染源污染指數(shù)為，其中k為比例系數(shù)，且k>0.從而點(diǎn)C處污染指數(shù)y(0<x<36)(2)因?yàn)閍1，所以，y，yk，令y0，得x，當(dāng)x(0，)時，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)x(，)時，函數(shù)單調(diào)遞增當(dāng)x時，函數(shù)取得最小值，又此時x6，解得b25，經(jīng)驗(yàn)證符合題意所以，污染源B的污染強(qiáng)度b的值為25.方法點(diǎn)撥1.解決實(shí)際問題的關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù)，把“問題情景”轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，抽象為數(shù)學(xué)問題，選擇合適的求解方法而最值問題的應(yīng)用題，寫出目標(biāo)函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求最值是首選的方法，若在函數(shù)的定義域內(nèi)函數(shù)只有一個極值點(diǎn)，該極值點(diǎn)即為函數(shù)的最值點(diǎn)2利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的步驟審題，設(shè)未知數(shù)；結(jié)合題意列出函數(shù)關(guān)系式；確定函數(shù)的定義域；在定義域內(nèi)求極值、最值；下結(jié)論9(20xx·重慶理，20)設(shè)函數(shù)f(x)(aR)(1)若f(x)在x0處取得極值，確定a的值，并求此時曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程；(2)若f(x)在3，)上為減函數(shù)，求a的取值范圍解析第一問主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式以及極值問題，屬于簡單題型第二問屬于主要考查了導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式以及單調(diào)性的應(yīng)用，是高考?？碱}型，屬于簡單題型(1)對f(x)求導(dǎo)得f(x)， 因?yàn)閒(x)在x0處取得極值，所以f(0)0，即a0.當(dāng)a0時，f(x)，f(x)，故f(1)，f(1).從而f(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為y(x1)，化簡得3xey0.(2)由(1)知f(x)，令g(x)3x2(6a)xa，由g(x)0解得x1，x2.當(dāng)x<x1時，g(x)<0，即f(x)<0，故f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x1<x<x2時，g(x)>0，即f(x)>0，故f(x)為增函數(shù)；當(dāng)x>x2時，g(x)<0，即f(x)<0，故f(x)為減函數(shù)；由f(x)在3，)上為減函數(shù)，知x23，解得a，故a的取值范圍為.方法點(diǎn)撥1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值的一般步驟(1)求定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f (x)；(3)求極值，先解方程f (x)0，驗(yàn)證f (x)在根左右兩側(cè)值的符號確定單調(diào)性，若在xx0左側(cè)f (x)>0，右側(cè)f (x)<0，則f(x0)為極大值，反之f(x0)為極小值，若在xx0兩側(cè)f(x)的值不變號，則xx0不是f(x)的極值點(diǎn)；(4)求最值，比較各極值點(diǎn)與區(qū)間a，b的端點(diǎn)值f(a)、f(b)的大小，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值2已知f(x)在某區(qū)間上的極值或極值的存在情況，則轉(zhuǎn)化為方程f (x)0的根的大小或存在情況10(文)已知函數(shù)f(x)(ax2bxc)ex在0,1上單調(diào)遞減且滿足f(0)1，f(1)0.(1)求a的取值范圍；(2)設(shè)g(x)f(x)f(x)，求g(x)在0,1上的最大值和最小值解析(1)由f(0)1，f(1)0得c1，ab1，則f(x)ax2(a1)x1ex，f (x)ax2(a1)xaex依題意須對于任意x(0,1)，有f (x)<0.當(dāng)a>0時，因?yàn)槎魏瘮?shù)yax2(a1)xa的圖象開口向上，而f (0)a<0，所以須f (1)(a1)e<0，即0<a<1；當(dāng)a1時，對任意x(0,1)有f (x)(x21)ex<0，f(x)符合條件；當(dāng)a0時，對于任意x(0,1)，f (x)xex<0，f(x)符合條件；當(dāng)a<0時，因f (0)a>0，f(x)不符合條件故a的取值范圍0a1.(2)因?yàn)間(x)(2ax1a)ex，g(x)(2ax1a)ex，()當(dāng)a0時，g(x)ex>0，g(x)在x0處取得最小值g(0)1，在x1處取得最大值g(1)e.()當(dāng)a1時，對于任意x(0,1)有g(shù)(x)2xex<0，g(x)在x0處取得最大值g(0)2，在x1處取得最小值g(1)0.()當(dāng)0<a<1時，由g(x)0得x>0.若1，即0<a時，g(x)在0,1上單調(diào)遞增，g(x)在x0處取得最小值g(0)1a，在x1處取得最大值g(1)(1a)e.若<1，即<a<1時，g(x)在x處取得最大值g()2ae，在x0或x1處取得最小值，而g(0)1a, g(1)(1a)e，則當(dāng)<a時，g(x)在x0處取得最小值g(0)1a；當(dāng)<a<1時，g(x)在x1處取得最小值g(1)(1a)e.點(diǎn)評本題考查導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，二次函數(shù)、恒成立問題、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等，考查分類討論數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的工具作用第(1)問中不要漏掉a0，a1.第(2)問分類的依據(jù)是判定g(x)在0,1上的單調(diào)性(理)設(shè)函數(shù)f(x)axn(1x)b(x>0)，n為正整數(shù)，a、b為常數(shù)函數(shù)yf(x)在(1，f(1)處的切線方程為xy1.(1)求a、b的值；(2)求函數(shù)f(x)的最大值；(3)證明：f(x)<.分析(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點(diǎn)(1，f(1)在直線xy1上可求得a、b.(2)通過求導(dǎo)判定f(x)的單調(diào)性求其最大值(3)借用第(2)問的結(jié)論f(x)的最大值小于，構(gòu)造新的函數(shù)關(guān)系解析(1)因?yàn)閒(1)b，由點(diǎn)(1，b)在直線xy1上，可得1b1，即b0，因?yàn)閒 (x)anxn1a(n1)xn，所以f (1)a.又因?yàn)榍芯€xy1的斜率為1，所以a1，即a1，故a1，b0.(2)由(1)知，f(x)xn(1x)xnxn1，f (x)(n1)xn1(x)令f (x)0，解得x，即f (x)在(0，)上有唯一零點(diǎn)x.在(0，)上，f (x)>0，故f(x)單調(diào)遞增；而在(，)上，f (x)<0，故f(x)單調(diào)遞減故f(x)在(0，)上的最大值為f()()n(1).(3)令(t)lnt1(t>0)，則(t)(t>0)在(0,1)上，(t)<0，故(t)單調(diào)遞減；而在(1，)上(t)>0，(t)單調(diào)遞增故(t)在(0，)上的最小值為(1)0.所以(t)>0(t>1)，即lnt>1(t>1)令t1，得ln>，即ln()n1>lne，所以()n1>e，即<.由(2)知，f(x)<，故所證不等式成立點(diǎn)評本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，通過導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值，判斷函數(shù)的單調(diào)性，在判斷單調(diào)性和求函數(shù)的最大值時一定要注意函數(shù)的定義域.